Verhältnismäßigkeitsbeziehungen Konzept, Beispiele und Übungen

Der Verhältnismäßigkeitsbeziehungen Dies sind Verbindungen zwischen zwei oder mehr Variablen, so dass, wenn eine der Mengen variiert, ebenso wie der Wert der anderen. Wenn man beispielsweise zunimmt, können andere erhöhen oder verringern, jedoch in einheitlicher Menge.

Die alten griechischen Mathematiker erkannten, dass einige Variablen sehr genau verwandt waren. Sie stellten fest, dass ein Kreis doppelt soem Durchmesser als ein anderer ist, er einen Kreis mit doppelter Länge hat.

Abbildung 1. Die Länge eines Kreises ist direkt proportional zu seinem Durchmesser d. Quelle: f. Zapata

Und wenn sich der Durchmesser verdreifacht, dann verdreifacht sich auch die Kontur des Umfangs. Dies bedeutet, dass ein Anstieg des Durchmessers zu einem proportionalen Anstieg der Umfangsgröße führt.

Und so können wir bestätigen, dass die Länge des Umfangs L proportional zum Durchmesser D ist, was wie folgt ausgedrückt wird:

L ∝ d

Wo das Symbol ∝ gelesen wird "direkt proportional zu". Um das Verhältnismäßigkeitsymbol für die Gleichheit zu ändern und numerische Werte einzubeziehen, muss die Verbindung zwischen den Variablen ermittelt werden, die genannt werden Proportionalitätskonstante.

Nach vielen Messungen stellten die alten Mathematiker fest, dass die Konstante der Verhältnismäßigkeit zwischen der Größe L des Umfangs und des Durchmessers d der Nummer 3 war.1416… Die Suspendierpunkte zeigen eine unendliche Menge an Dezimalstellen an.

Dieser Wert ist kein anderer als der der berühmten Zahl π (pi) und auf diese Weise schreiben wir:

L = π.D

Auf diese Weise ist der Grund zwischen Länge und Durchmesser eines Kreises der Grund zwischen Länge und Durchmesser eines anderen. Und das Beste ist, dass wir jetzt eine Möglichkeit haben, die Länge eines jeden Umfangs zu berechnen, indem wir seinen Durchmesser kennen.

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Beispiele für Verhältnismäßigkeitsbeziehungen

In der Wissenschaft (und im Alltag auch) ist es sehr wichtig, Beziehungen zwischen den Variablen zu finden, um zu wissen, wie sich Veränderungen in einem von ihnen auf das andere auswirken. Zum Beispiel:

Kann Ihnen dienen: Wie viele Durchmesser hat einen Umfang??

-Wenn Sie ein Dutzend Kekse machen, werden 3 Mehlbecher benötigt. Wie viele Tassen werden benötigt, um 2einhalb Dutzende zu machen??.

-Zu wissen, dass ein Objekt auf dem Planeten Quecksilber 4 -mal weniger wiegt als auf der Erde, wie viel wird ein 1 -Auto in Quecksilber.5 Tonnen?

-Wie wirkt sich die in der Beschleunigung des Körpers angewendete Veränderung der Kraft aus, auf die sie gilt??

-Wenn ein Fahrzeug mit gleichmäßiger geradliniger Bewegung auf einer Autobahn fährt und wir wissen, dass es 30 km in 10 Minuten fährt, was ist die Entfernung nach 20 Minuten, was abgelaufen ist?

-Wenn wir einen Draht haben, durch den ein elektrischer Strom durchläuft, wie variiert die Spannung zwischen ihren Enden, wenn er zunimmt?

-Wenn sich der Durchmesser eines Kreises verdoppelt, wie ist Ihr Bereich betroffen??

-Wie wirkt sich der Abstand zur Intensität des durch eine pünktlichen Belastung erzeugten elektrischen Feldes aus??

Die Antwort ist in Verhältnismäßigkeitsbeziehungen, aber nicht alle Beziehungen sind der gleiche Typ. Dann finden wir sie für alle hier aufgenommenen Situationen.

Direkte Verhältnismäßigkeit und inverse Verhältnismäßigkeit

Zwei Variablen x und y sind in direktem Verhältnis, wenn sie verwandt sind durch:

y = kx

Wobei K die Verhältnismäßigkeitskonstante ist. Ein Beispiel ist die Beziehung zwischen den Mengen von Mehl und Keksen. Wenn wir diese Variablen grafisch grafisch drapieren, wird eine gerade Linie als die in der Abbildung gezeigt erhalten:

Figur 2. 2.5 Dutzend Kekse brauchen 7.5 Mehlbecher (Punkt C). Quelle: f. Zapata.

Ja und sind die Mehlbecher und X -Dutzende von Keksen, die Beziehung zwischen ihnen ist:

y = 3x

Für x = 1 Dutzend brauchen wir y = 3 Tassen Mehl. Und für x = 2.5 Dutzend, y = 7 sind erforderlich.5 Mehlbecher.

Es kann Ihnen dienen: Die 8 Arten von Messfehlern (mit Beispielen)

Aber wir haben auch:

-Beschleunigung Zu Das erlebt ein Körper ist proportional zur Kraft F Das wirkt auf ihn, die Masse des Körpers ist, genannt M, Die Verhältnismäßigkeitskonstante:

F = mZu

Je größer die angewendete Kraft ist, desto größer ist die beschleunigte Beschleunigung.

-In ohmischen Leitern ist die V -Spannung zwischen ihren Enden proportional zum angelegten Strom und. Die Verhältnismäßigkeitskonstante ist der Widerstand des Fahrers:

V = ri

-Wenn sich ein Objekt mit gleichmäßiger geradliniger Bewegung bewegt, der Abstand D ist proportional zum Zeitpunkt T, Geschwindigkeit sein v Die Verhältnismäßigkeitskonstante:

d = v.T

Manchmal finden wir zwei Mengen, so dass eine Zunahme von a a erzeugt a verringern proportional in den anderen. Diese Einheit heißt Umgekehrter Anteil.

In der vorherigen Gleichung ist beispielsweise die Zeit t, die erforderlich ist, um einen bestimmten Abstand D zu bereisen, umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit V der Route:

T = d/v

Und so ist die Geschwindigkeit v, desto weniger Zeit benötigt das Auto die Entfernung D. Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit verdoppelt wird, wird die Zeit um die Hälfte reduziert.

Wenn zwei Variablen x und y umgekehrt sind, können wir schreiben:

y = k / x

Die Verhältnismäßigkeitskonstante sein. Die Grafik dieser Einheit ist:

Figur 3. 1/x -Diagramm, das umgekehrte Verhältnismäßigkeit darstellt. Quelle: Wikimedia Commons.

Andere Arten von Verhältnismäßigkeit

In einem der zuvor erwähnten Beispiele fragten wir uns, was mit dem Kreisbereich passiert, wenn der Radius zunimmt. Die Antwort ist, dass die Fläche direkt proportional zum Quadrat des Radius ist, wobei die Verhältnismäßigkeitskonstante π ist:

A = πr²

Wenn sich der Radius verdoppelt, wird die Fläche um einen Faktor 4 zunehmen.

Und im Fall des elektrischen Feldes UND erzeugt durch eine pünktliche Belastung Q, Es ist bekannt, dass die Intensität mit der Umkehrung zum Abstandsquadrat abnimmt R zur Last Q:

E = k_Und Q/r²

Kann Ihnen dienen: Warum ist Algebra in bestimmten täglichen Lebenssituationen wichtig??

Wir können aber auch bestätigen, dass die Intensität des Feldes direkt proportional zur Größe der Last ist und die Konstante der Proportionalität k ist_Und, Die elektrostatische Konstante.

Andere Proportionalitäten, die ebenfalls in der Wissenschaft auftreten. Im ersten Fall sind die Variablen X und Y durch:

y = k.Zu^X

Wobei a die Basis ist, eine positive Anzahl von 0, die normalerweise 10 oder die Zahl E beträgt. Zum Beispiel hat das exponentielle Wachstum von Bakterien diese Form.

Im zweiten Fall lautet die Beziehung zwischen den Variablen:

y = k.Protokoll_Zu X

Wieder ist A die Basis des Logarithmus, der häufig 10 (Dezimal -Logarithmus) oder E (neperianer Logarithmus) ist.

Übungen

- Übung 1

Zu wissen, dass ein Objekt auf dem Planeten Quecksilber 4 -mal weniger wiegt als auf der Erde, wie viel würde ein 1 -Auto in Quecksilber.5 Tonnen?

Lösung  

Quecksilbergewicht = (1/4) Gewicht in der Erde = (1/4) x 1.5 Tonnen = 0.375 Tonne.

- Übung 2

Für eine Party beschließen einige Freunde, Saft aus fruchtigem Konzentrat vorzubereiten. In den Verpackungsanweisungen heißt es, dass 15 Gläser Saft aus einem Glas Konzentrat hergestellt werden. Wie viel Konzentrat wird benötigt, um 110 Gläser Saft herzustellen??

Lösung

Lassen Sie und die Menge an Saft und X -Gefäßen die Menge der Konzentratgefäße. Sie sind verwandt durch:

y = kx

Beim Ersetzen der Werte y = 15 und x = 1 wird die Konstante K gelöscht:

K = y/x = 15/1 = 15

Deshalb:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7.33 Gläser Obstkonzentrat.

Verweise

1. Baldor, a. 1974. Algebra. Venezolanische kulturelle s.ZU.
2. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6. Ed Prentice Hall.
3. Uni -Tutorrs. Verhältnismäßigkeitsbeziehungen. Abgerufen von: WarsityTorm.com
4. Wikipedia. Verhältnismäßigkeit. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.