Konische Abschnitte Typen, Anwendungen, Beispiele

Der konische Abschnitte Sie sind die Kurven, die durch Abfangen einer Ebene mit einem Kegel erhalten werden. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun. Wenn beispielsweise die Ebene senkrecht an die axiale Achse des Kegels übergeben wird, wird ein Umfang erhalten.

Ein wenig in Bezug auf die axiale Achse des Kegels kippt die Ebene eine Ellipse, eine geschlossene Kurve, aber wenn wir es noch mehr eine Parabel oder eine Hyperbel erhalten haben, wird er erhalten, wie in der Animation von Abbildung 1 zu sehen ist.

Animation, die zeigt, wie die vier konischen Abschnitte erhalten werden: Umfang, Gleichnis und Hyperbola -Ellipse. Quelle: Wikimedia Commons. Linien / CC0

Die konischen Abschnitte sind Teil der Natur und der Welt um uns herum. Ingenieurwesen, Architektur und Astronomie sind wichtige Wissenszweige, die Nutzung von Conics nutzen.

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Bedingungen für konische Abschnitte

Die konischen Abschnitte werden als geometrische Orte definiert, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

Gleichnis

Es ist der geometrische Ort aller Punkte, die in einer äquidistanten Ebene zu einem festgelegten Punkt liegen Fokus F und eine gerade Linie auch festgelegt, genannt Richtlinie.

Ellipse

Ein Flugzeugpunkt gehört zu einer Ellipse, wenn die Summe der Entfernungen zwischen diesem Punkt und zwei anderen Fixpunkten genannt wird Focos und befindet sich auf der Hauptachse der Ellipse bleibt konstant.

Das Gleichnis nach links und die Ellipse nach rechts mit ihren jeweiligen Elementen. Die Schwerpunkte sind Punkte mit vielen Anwendungen. Quelle: Wikimedia Commons.

Umfang

Es ist der geometrische Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand zu einem anderen Punkt namens Centro aufrechterhalten. Diese Entfernung ist die Radio des Umfangs.

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Hyperbel

Set von Punkten in der Ebene so, dass der Unterschied zwischen dem Abstand und zwei festgelegten Punkten genannt wird Focos, Es ist konstant.

Hyperbel mit Schwerpunkt F und F. Quelle: Wikimedia Commons.

Anwendungen

Schauen wir uns einige der Anwendungen der konischen Abschnitte an:

Gleichnisse  

-Wenn ein Objekt gestartet wird, hat die folgende Flugbahn eine parable Form.

-Die Gleichnisse haben bemerkenswerte technische Anwendungen, beispielsweise in den suspendierten Brücken, die die Kabel in Form von Gleichnissen beeilen.

-Die Gleichnisse sind auch gut, um Reflektoren und Teleskope herzustellen. Dies ist einer interessanten Eigenschaft zu verdanken: Wenn Sie einen Leuchten im Fokus einer parabolischen Querschnittoberfläche platzieren, wandert das Licht in parallelen Strahlen zur Gleichniserachse.

-Wenn sich die leuchtenden Strahlen parallel zur Symmetrieachse der parabolischen Oberfläche nähern, konzentriert sie sie in dem Fokus, ein Umstand, der zur Herstellung von Reflektor -Teleskopen verwendet wird, wie das Hale de Monte Palomar -Teleskop.

Ellipsen

-Die Planeten des Sonnensystems bewegen. Die Sonne ist nicht in der Mitte, sondern in einem der Scheinwerfer.

Die Planeten des Sonnensystems bewegen sich in elliptischen Umlaufbahnen mit der Sonne in einem der Scheinwerfer. Quelle: Wikimedia Commons.

-Die Ellipse wird in der Architektur als dekoratives und Designelement häufig verwendet.

-Indem ein Reflektor in einen der Scheinwerfer einer Ellipse gelegt wird, spiegelt sich das Licht dem anderen Fokus wider. Das gleiche passiert mit Ton. Deshalb werden in Ellipse -veranlagten Hallen, die sich stillschweigend in einem Fokus befinden.

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-Dieselbe Eigenschaft hat eine überraschende Anwendung im Bereich der Medizin. Nierenberechnungen können durch Klang zerstört werden. Ultraschallwellen mit großer Intensität werden in einem der Schwerpunkte einer elliptischen Wanne voller Wasser erzeugt, und der Patient befindet sich im anderen Fokus. Schallwellen beeinflussen und reflektieren die Berechnung und mit ihrer Energie fragmentieren sie sie in kleinen Stücken, die die Person dann während des Wasserlassens leicht ausstrahlt.

Hyperbel

-Einige Kometen im Sonnensystem folgen hyperbolischen Trajektorien, immer mit der Sonne in einem der Schwerpunkte.

-Hyperbolas konzentrieren sich auch sehr interessant, um die Phänomene der Wellenreflexion zu untersuchen. Wenn Sie beispielsweise einen Lichtstrahl in den Fokus eines Parabolspiegels lenken, spiegelt er sich in dem anderen Fokus wider, einer sehr nützlichen Eigenschaft für den Bau von Teleskopen, da sich das Licht auf einen parabolischen Spiegel konzentrieren und an einen anderen angemesseneren Ort umgeleitet werden kann Nach Design.

-Die Kühltürme von Kernpflanzen haben hyperbolas geformte Silhouette.

-Vor dem Aufkommen von GPS wurden Hyperbolas in der Navigation verwendet, um Boote zu lokalisieren. Die Schiffe, die in den Signalen des Boards gleichzeitig vom Radio A- und B -Stationen ausgestellt wurden, und ein Computer war für die Registrierung der Unterschiede der Ankunftszeiten der Signale verantwortlich, um sie in Unterschiede in Abständen von Entfernungen zu verwandeln. Auf diese Weise befindet sich das Schiff im Zweig einer Hyperbel.

Die Prozedur wird mit zwei anderen Radio -C- und D -Stationen wiederholt, die das Schiff in den Zweig von platzieren Eine weitere Hyperbel. Die endgültige Position des Bootes ist der Schnittpunkt beider Hyperbel.

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Umfang

-Die Ankunft des Rades veränderte den Verlauf der Geschichte.

-Die kreisförmige Bewegung ist sehr häufig, viele Teile drehen sich, um verschiedene Effekte zu erzeugen, von Mühlen bis zu Fans.

-Obwohl die Flugbahnen der Hauptplaneten elliptisch sind, sind die kreisförmigen Flugbahnen in vielen Fällen gute Ansätze.

-Zirkunferenzen sind häufige Elemente in Architektur, Design, Ingenieurwesen und Bau. Die Liste der kreisförmigen oder Scheibenformen ist endlos: Münzen, CDs, Uhren und mehr.

Beispiele

Dann gibt es zwei Conics in der Ebene, einen Kreis und eine Ellipse.

Beispiele für konische Abschnitte: ein Kreis und eine Ellipse. Quelle: Stewart, J. Vorkalkulation.

Jeder hat eine analytische Gleichung:

Umfang

(X-h)² + (Y-k)² = R²

Wo H und K die Koordinaten des Zentrums und R das Radio sind. Für den in der Abbildung gezeigten Umfang lautet die Gleichung:

(x+2)² + (Y-2)² = 4

Ellipse

Die Ellipse -Gleichung, deren Zentrum der Koordinatenpunkt ist (h, k):

[(X-h)² /Zu² ]+ [(y-k)² /B² ] = 1

Wo a und b die Semi -Kabel der Ellipse sind. Für die gezeigte Ellipse liegt das Zentrum an Punkt 0,0, das größte Halb. Daher ist seine Gleichung:

(X² /25)+ (und² / 16) = 1

Verweise

1. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Wikipedia. KONIC -Abschnitt. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.