Zufällige Auswahl mit oder ohne Ersatz

Der zufällige Auswahl Es besteht aus zufällig ein Element oder eine Stichprobe, basierend auf einer Reihe von Daten oder Objekten. Mit dem Ersatz bedeutet dies, das Element an den ursprünglichen Satz zurückzugeben, und ohne Ersatz bedeutet es, dass es nicht zurückgibt.

Im ersten Fall wird das ausgewählte Element nicht geändert, wenn das ausgewählte Element zum Ursprung zurückkehrt, und lässt die Möglichkeit offen, dass das Element mehr als einmal ausgewählt wird. Auf diese Weise können unendliche Extraktionen an derselben Bevölkerung durchgeführt werden, auch wenn sie aus N -Elementen besteht, die endlich sind.

Wenn die Auswahl jedoch ohne Ersatz getroffen wird, ändert sich die ursprüngliche Elementmenge jedes Mal, wenn ein Element aus der Probe extrahiert wird. Und die extrahierten Elemente haben keine Möglichkeit, wieder ausgewählt zu werden.

Wenn die Bevölkerung abnimmt, ist die Anzahl der Extraktionen, die darauf durchgeführt werden können.

Wenn die Populationsgröße N gering ist, gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen der Auswahl von zufälligen Elementen mit oder ohne Ersatz. Andererseits ist der Unterschied, wenn N sehr groß ist, viel niedriger, wie später zu sehen ist.

Auswahl mit Ersatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes X -Ereignis auftritt, ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der günstigen Fälle und den Gesamtfällen:

P (x) = günstig/Gesamtfälle.

Wenn die Bevölkerung aus verschiedenen Elementen besteht: x₁, X₂, X₃…, Die Wahrscheinlichkeit, Element X zu wählen₁ ist p (x₁) = 1/n.

Da es Ersatz gibt, bleibt die Bevölkerungsgröße n weiterhin die Wahrscheinlichkeit, das nächste Element X zu wählen₂ ist p (x₂) = 1/n.

Auf die gleiche Weise hat jedes der verbleibenden Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden:

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P (x_N) = 1/n

Da die unabhängigen Ereignisse miteinander sind, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit des Auftretens das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen von ihnen:

P (x₁, X₂, X₃... X_N) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Auswahl ohne Ersatz

Bei der Auswahl eines bestimmten Elements ohne Ersatz einer Population von Größe N ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Element ausgewählt wird,:

P (x₁) = 1/n

Sobald dies erledigt ist, bleiben n - 1 Elemente in der Bevölkerung. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, das nächste zu wählen,:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Ausgewählt für dieses Element, besteht die Bevölkerung nun aus N - 2 Elementen, in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, Folgendes zu wählen,:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Usw. Die Wahrscheinlichkeit für das einzige Element ist:

P (x_N) = 1/[n-(n-1)]

Schließlich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Elemente x auszuwählen₁, X₂, X₃… Als Teil der Stichprobe ist es das Produkt jeder Wahrscheinlichkeit:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n– (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n –2) ×… × [n-(n-1)]

Beispiele

In der Statistik ist die Wirkung der Auswahl der Probe ein Experiment, der Satz möglicher Ergebnisse ist der Stichprobenraum und die Ergebnisse des Experiments sind ein Ereignis.

Beispiel 1

Eine Schachtel mit Murmeln verschiedener Farben ist erhältlich: 12 Rot, 7 Blau und 5 Grün. Das Experiment besteht darin, einen einzelnen zufälligen Marmor zu extrahieren.

Wie insgesamt gibt es 24 Murmeln in der Schachtel, von denen 12 rot sind, die Wahrscheinlichkeit, einen roten Marmor herauszunehmen, bezeichnet P (R), beträgt:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Danach möchten Sie die Wahrscheinlichkeit wissen, einen grünen Marmor zu extrahieren, dh p (v).

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Diese Wahrscheinlichkeit hängt davon ab, ob der rote Marmor, der an erster Stelle extrahiert wurde. Wenn der rote Marmor mit den anderen erneut in die Box gesteckt wird, ist die Auswahl mit Ersatz oder Ersatz und ansonsten eine Auswahl ohne Ersatz.

Bei einer Auswahl mit Ersatz ändert sich der Probenraum nicht, es gibt immer noch 24 Murmeln in der Box und die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Marmor zu extrahieren, beträgt:

P (v) = 5/24 = 0.einundzwanzig

Und wenn der anfängliche rote Marmor nicht in die Schachtel zurückgegeben wird, gibt es 23 Murmeln, und die Wahrscheinlichkeit, ein Grün zu extrahieren, sollte etwas größer sein:

P (v) = 5/23 = 0.22

Beispiel 2

In einem anderen Experiment mit der Marmorbox möchten Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass, wenn zwei Murmeln extrahiert werden, der erste rot ist und der nächste blau ist. Sie können auf zwei Arten fortfahren:

a) mit Ersatz

Beide Ereignisse sind unabhängig, dh die Farbe des zuerst extrahierten Marmors beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, einen weiteren Marmor einer bestimmten Farbe zu bekommen.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Kein Ersatz

Wenn der erste Marmor draußen verließ, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Blau beim zweiten Mal zu extrahieren, etwas größer:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Beispiel 3

Eine Stadt hat 30.000 Einwohner, von denen 15.423 sind Frauen. Sie möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Frauen durch Auswahl von zwei Bewohnern Frauen sind.

a) mit Ersatz

Sei P (m) die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Bewohner eine Frau ist, dann:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

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Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person ausgewählt wurde, ist also auch eine Frau:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Kein Ersatz

Wenn die ausgewählte erste Person nicht "zurückgegeben" wird, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Frau im zweiten Versuch zu wählen,:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Es gibt keinen signifikanten Unterschied zum vorherigen Fall. Und Produkt 0.51410 × 0.51408 entspricht fast 0.2643 kann der Leser es mit dem Taschenrechner überprüfen.

Übung gelöst

Eine Schachtel hat 5 grüne Gläubige, 2 blaue Gläubige und 3 rote Gläubige, alle neue und identische. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass durch Extrahieren von zwei Gläubigen aus der Box keine von ihnen rot ist:

a) mit Ersatz. Sind diese Ereignisse unabhängig?

b) ohne Ersatz, um anzuzeigen, ob die Ereignisse unabhängig sind oder nicht.

Lösung für

Es gibt 10 Überzeugung ansgesamt, von denen 3 rot und 7 nicht sind. Die Wahrscheinlichkeit P (r^*) Dass die erste glauben, nicht rot ist:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Die Annahme wird in die Box zurückgegeben und die zweite Extraktion erfolgt mit dem gleichen Ergebnis:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Die Ereignisse sind daher unabhängig, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Experiment kein Glaube rot ist:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Lösung b

Die Wahrscheinlichkeit, einen Glauben zu erhalten, der im ersten Versuch nicht rot ist, ist der gleiche wie in Abschnitt A). In der zweiten Extraktion gibt es jedoch bereits 9 Gläubige in der Box: deshalb:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Und in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, ein Glauben zu extrahieren, der nicht rot ist,:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Die Ereignisse sind nicht unabhängig.