Reihe von Leistungsbeispielen und Übungen

A Power -Serie Es besteht aus einer Summe von Begriffen in Form von Befugnissen der Variablen X, oder allgemeiner von von X-c, Wo C Es ist eine konstante reelle Zahl. In der Summe der Summe wird eine Reihe von Mächten wie folgt ausgedrückt:

∑a_N (X -c)^N = a_entweder + Zu₁ (x - c) + a₂ (X - c)² + Zu₃ (X - c)³ +… + A_N (X - c)^N

Wo die Koeffizienten zu_entweder, Zu₁, Zu₂… Es sind echte Zahlen und die Serie beginnt bei n = 0.

Abbildung 1. Definition einer Power -Serie. Quelle: f. Zapata.

Diese Serie konzentriert sich auf Wert C Das ist konstant, aber Sie können das wählen C Gleich 0 sein, in diesem Fall werden die Befugnisse vereinfacht:

∑a_N X^N = a_entweder + Zu₁ x + a₂ X² + Zu₃ X³ +… + A_N X^N

Die Serie beginnt mit Zu_entweder(X-c)⁰ Und Zu_entwederX⁰ bzw. Aber das wissen wir:

(X-c)⁰= x⁰ = 1

Deshalb Zu_entweder(X-c)⁰ = Zu_entwederX⁰ = Zu_entweder (Unabhängiger Begriff)

Das Gute an den Befugnissen der Mächte ist, dass Sie mit ihnen Funktionen ausdrücken können und dies viele Vorteile hat, insbesondere wenn Sie mit einer komplizierten Funktion arbeiten möchten.

Wenn dies der Fall ist, wird ihre Leistungsentwicklung verwendet, anstatt die Funktion direkt zu verwenden, was einfacher abgeleitet, integriert oder numerisch arbeiten kann.

Natürlich ist alles auf die Konvergenz der Serie konditioniert. Eine Serie konvergiert, wenn durch Hinzufügen einer bestimmten Anzahl von Begriffen ein fester Wert erhalten wird. Und wenn wir mehr Begriffe hinzufügen, erhalten wir diesen Wert weiterhin.

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Funktionen als Befugnisse der Mächte

Als Beispiel für eine Funktion, die als eine Reihe von Macht ausgedrückt wird f (x) = e^X.

Diese Funktion kann in Bezug auf eine Reihe von Mächten wie folgt ausgedrückt werden:

Und^X  ≈ 1 + x + (x² / 2!) + (X³ / 3!) + (x⁴ / 4!) + (x⁵ / 5!) +..

Wo! = n. (N-1). (N-2). (N-3)… und es wird 0 genommen 0! = 1.

Wir werden mit Hilfe eines Taschenrechners nachgehen, den die Serie effektiv mit der explizit gegeben. Lassen Sie uns zum Beispiel x = 0 machen.

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Wir wissen das e⁰ = 1. Mal sehen, was die Serie tut:

Und⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

Und jetzt versuchen wir es mit x = 1. Ein Taschenrechner wirft das aus Und¹ = 2.71828, Und dann vergleichen wir mit der Serie:

Und¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

Mit nur 5 Begriffen haben wir bereits einen genauen Zufall in E ≈ 2.71. Unsere Serie fehlt nur ein wenig mehr, aber wenn mehr Begriffe hinzugefügt werden, konvergiert die Serie mit aller Sicherheit den genauen Wert von Und. Die Darstellung ist genau, wenn N → ∞.

Wenn die vorherige Analyse wiederholt wird für n = 2 Es werden sehr ähnliche Ergebnisse erzielt.

Auf diese Weise sind wir sicher, dass die exponentielle Funktion f (x) = e^X Es kann durch diese Kräftereihe dargestellt werden:

Figur 2. In dieser Animation wird sie angesehen, da die Kräfte der exponentiellen Funktion näher sind, wenn weitere Begriffe genommen werden. Quelle: Wikimedia Commons.

Geometrische Mächte von Mächten

Die Funktion f (x) = e^X Es ist nicht die einzige Funktion, die eine serielle Darstellung von Befugnissen zulässt. Zum Beispiel die Funktion  F(x) = 1/1 - x  Es sieht dem bekannten sehr ähnlich aus Konvergente geometrische Serie:

∑a.R^N = A / 1 - r

Machen Sie einfach a = 1 und r = x, um eine geeignete Reihe zu dieser Funktion zu erhalten, die auf C = 0 zentriert ist:

Es ist jedoch bekannt, dass diese Serie für │r│ konvergent ist<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Wenn Sie diese Funktion in einem anderen Intervall definieren möchten, konzentriert sie sich einfach auf einen angemessenen Wert und bereit.

So finden Sie die Serienentwicklung von Kräften einer Funktion

Jede Funktion kann in einer Reihe von Kräften entwickelt werden, die sich auf C konzentrieren, solange Sie von allen Bestellungen bei x = C abgeleitet sind. Das Verfahren nutzt den folgenden Satz, genannt Taylor Theorem:

Sei f (x) eine Funktion mit Auftragsderivaten N, bezeichnet als F^(N), Dies gibt eine serielle Entwicklung von Befugnissen im Intervall zu Yo. Seine Entwicklung in Taylor -Serie Ist:

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So dass:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)² /2 + f "(c) (x-c)³ /6 +… r_N

Wo r_N, Welches ist das N -te der Serien, es heißt Rückstand:

Wenn c = 0 die Serie heißt Maclaurin -Serie.

Diese hier angegebene Serie ist identisch mit der zu Beginn angegebenen Serie. Erst jetzt gibt es eine Möglichkeit, die Koeffizienten jedes Begriffs ausdrücklich zu finden, das durch:

Es muss jedoch sichergestellt werden, dass die Serie die Funktion vermittelt, die Sie darstellen möchten. Es kommt vor, dass nicht jede Taylor -Serie notwendigerweise zum F (x) konvergiert Zu_N.

Dies geschieht, weil vielleicht diejenigen, die aus der Funktion stammen, bewertet in x = c übereinstimmen mit dem gleichen Wert derjenigen, die von einem anderen stammen, auch in x = c. In diesem Fall wären die Koeffizienten gleich, aber die Entwicklung wäre mehrdeutig, wenn nicht die Gewissheit entspricht, welche Funktion entspricht.

Zum Glück gibt es eine Art zu wissen:

Konvergenzkriterien

Unklarheit zu vermeiden, wenn r_N → 0 Wenn n → ∞ für alle x in Intervall I, konvergiert die Serie zu f (x).

Übung

- Übung gelöst 1

Finden Sie die geometrischen Funktionen für die Funktion f (x) = 1/2 - x konzentriert sich auf c = 0.

Lösung

Die angegebene Funktion muss so ausgedrückt werden, dass mit 1/1- x so weit wie möglich übereinstimmt, deren Serie bekannt ist. Daher schreiben wir Zähler und Nenner neu, ohne den ursprünglichen Ausdruck zu verändern:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Da die ½ konstant ist, geht es aus der Summe, und dies ist in Bezug auf die neue Variable x/2 geschrieben:

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Beachten Sie, dass x = 2 nicht zur Domäne der Funktion und gemäß den im Abschnitt angegebenen Konvergenzkriterien gehört Power Geometrische Serie, Die Entwicklung gilt für │x/2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Übung gelöst 2

Finden Sie die ersten 5 Terme von Maclaurins Serienentwicklung der Funktion f (x) = sen x.

Lösung

Schritt 1

Erstens sind die Derivate:

-Abgeleitet aus der Reihenfolge 0: Es ist die gleiche Funktion f (x) = sen x

-Erstesivat: (sin x) '= cos x

-Zweite Ableitung: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Dritte Ableitungen: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Viertes Ableitungsbereich: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Schritt 2

Dann wird jedes Derivat bei x = c bewertet, ebenso wie eine Entwicklung von Maclaurin, C = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sen 0 = 0; -Cos 0 = -1; sin 0 = 0

Schritt 3

Die Koeffizienten sind gebaut, um_N;

Zu_entweder = 0/0! = 0; Zu₁ = 1/1! = 1; Zu₂ = 0/2! = 0; Zu₃ = -1 / 3!; Zu₄ = 0/4! = 0

Schritt 4

Schließlich wird die Serie gemäß:

Sünde x ≈ 0.X⁰ + 1. X¹ + 0 .X² - (1/3!) X³ + 0.X⁴... = x - (1/3!)) X³  +..

Braucht der Leser mehr Begriffe?? Wie viel mehr ist die Serie näher an der Funktion.

Beachten Sie, dass ein Muster in den Koeffizienten vorhanden ist, der folgende nicht -null -Term ist zu₅ Und der gesamte seltsame Index unterscheidet sich auch von 0, die die Zeichen abwechseln, so dass:

Sen x ≈ x - (1/3!)) X³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +.. .

Es bleibt als Übung, um dies zu überprüfen. Sie können die verwenden Verhältnis des Quotienten Für die Serienkonvergenz.

Verweise

1. CK-12 Foundation. Power -Serie: Darstellung von Funktionen und Operationen. Erholt von: CK12.Org.
2. Engler, a. 2019. Integralrechnung. Nationale Universität der Küste.
3. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
4. Kostenlose Mathematiktexte. Power -Serie. Erholt von: Mathematik.Liibretrettextexte.Org.
5. Wikipedia. Power -Serie. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.