Fourier -Serienanwendungen, Beispiele und Übungen gelöst

Der die Fourierreihe Sie bestehen aus einer Summe unendlicher Begriffe, die aus harmonischen Funktionen, Sinus und Cosinus bestehen, deren Argument ein ganzer Grund für eine grundlegende Häufigkeit ist.

Die Sinus- und Cosinusfunktionen werden mit Wertenkoeffizienten multipliziert, so dass die Summe mit einer Funktion mit einer Periode t identisch ist, die zweimal PI (2π) geteilt durch die grundlegende Winkelfrequenz ω ω ist.

Abbildung 1. Hier sind (in Blau) die ersten Nicht -Null -Harmonischen der Fourier -Serie, die einem quadratischen Wellenformsignal entspricht. Die Summe, die diese Harmonischen entstehen, führt zum roten Signal. Quelle: Wikimedia Commons.

Mathematisch würde es wie folgt ausgedrückt:

Wo Ω Es ist die grundlegende Frequenz, die mit der Periode zusammenhängt T der Funktion f (t) Durch die Beziehung: 

Ω = 2π / t

Für die periodische Periode T, die Funktion f (t) erfüllt diesen Zustand:

f (t) = f (t + k t)

Wo k Es ist eine Ganzzahl und die Koeffizienten zu₀ , Zu_N und B_N Sie werden das genannt Fourier -Koeffizienten.

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Bedeutung und Verwendung der Fourier -Serie

Der Name der Fourier -Serie ist darauf zurückzuführen, dass sein Entdecker die französische Mathematik war.

Diese Entdeckung war für die Mathematik grundlegend.

Fouriers Koeffizienten einer periodischen Funktion, auch genannt Zeichen, Sie sind das Spektrum desselben.

Daher ist das Spektrum der Satz von Frequenzen, die ein Signal ausmachen, das durch die Amplitude jeder Frequenz gekennzeichnet ist, was den Werten der Fourier -Koeffizienten entspricht.

Signalkomprimierungssysteme oder Audio- und Videowellenformen im Rücken deutlich geringere Bits als das ursprüngliche digitalisierte Signal.

Die Fourier -Serie eines Signals ist wie sein Fingerabdruck in dem Sinne, dass Sie immer wissen, welches Zeichen sie hingehören, immer wissen, welches Zeichen sie.

Obwohl die Verwendung der Fourier -Serie oder ihrer allgemeinsten Form, die Fourier-Transformation, Als Signalkomprimierungsmethode ist es schon seit einiger Zeit bekannt. Die Verwendung in der Praxis musste auf die schnelle genug numerische Prozessoren warten, die es ermöglichte, die Signale in "Echtzeit" komprimiert und dekomprimiert zu werden.

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Beispiel für Fourier -Serie 

Als nächstes ein Beispiel für die Funktion F (t) und seine Fourier -Serie.

Die Funktion ist:

 f (t) = 0 ja 0 ≤ t  < π y 1 si π ≤  t   < 2π

Und hat seine entsprechende Fourier -Serie gegeben durch:

f (t) = ½ - 2/πëse (t) - 2/(3π) ·se (3t) - 2/(5π) ≤Ssen (5T) - 2/(7π) ≤Ssen (7T) -…

Die folgende Abbildung zeigt die Funktion und die teilweise Summe der Fourier -Serie:

Figur 2. Die ersten 19 Begriffe von Fouriers Summe, die der Schrittfunktion entspricht. Quelle: f. Zapata.

Bestimmung der Koeffizienten

Im Folgenden finden Sie die Koeffizienten von Fourier:

Angenommen, die Funktion ist f (x) in einem Intervall definiert, das von t stammt_Yo zu t_Yo + T, wo das Kapital der Zeitraum der Funktion sein wird. Dann lautet seine Fourier -Serie:

f (t) = a₀/2 + a₁ cos (ω t) + a₂ cos (2 ω t) +… + a_N Cos (n ω t) +…

.. .+ b₁ sin (ω t) +b₂ sin (2 ω t) +… +b_N Sünde (n ω t) +..

Berechnung des unabhängigen Begriffs

Um den unabhängigen Begriff zu finden, integrieren wir beide Gleichstellung von Gleichheit in das Definitionsintervall der Funktion:

[T_Yo , T_Yo+ T]

Deshalb:

Dasselbe_N ∫cos (n ω t) dt +…

.. .+ B₁ ∫sen (ω t) dt +b₂ ∫sen (2 ω t) dt +… +b_N ∫sen (n ω t) dt +…

Hier bedeutet das Symbol ∫ Integral definiert aus t_Yo zu t_Yo + T.

Das Integral des ersten Terms ist t, was bei der Bewertung in den oberen Grenze Ergebnissen:

T_Yo + T

Beim Subtrahieren der unteren Grenze t_Yo, in endgültigem t.

Alle anderen Begriffe sind 0, da dies Cosinus- oder Sinusfunktionen sind, die in einer vollen Zeit bewertet wurden, wie wir unten zeigen:

∫cos (nω t) dt = (1/ nω) ∫cos (nω t) d (nω t)

Denken Sie daran, dass das Symbol ∫ Integration zwischen t bedeutet_Yo zu t_Yo + T. 

Um die Integration der Begriffe mit Cosinus oder Brust vorzunehmen, werden wir die folgende Änderung der Variablen vornehmen:

x = ω (t - t_Yo)

Das X -Differential von X ist also gleich dem D -Differential D (ωt).

Das Integral ist also:

Da n eine Ganzzahl ist, gibt das definierte Integral immer Null. Gleiches gilt für die Sinusfunktion.

Daher enthalten das definierte Integral, das in einer vollständigen Zeit aller Begriffe bewertet wurde. 

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Es wird daher der Schluss gezogen, dass der Begriff A₀ wie folgt berechnet wird:

Berechnung der Koeffizienten zu's

Um die Koeffizienten zu berechnen, die sich mit den Kosinusfunktionen multiplizieren, müssen beide Mitglieder der Gleichheit multipliziert werden:

f (t) = a₀/2 + a₁ cos (ω t) + a₂ cos (2 ω t) +… + a_N Cos (n ω t) +…

.. .+ b₁ sin (ω t) +b₂ sin (2 ω t) +… +b_N Sünde (n ω t) +..

Durch die in der entsprechenden Harmonik befindliche Kosinusfunktion, die in einem in vollen Zeitraum definierten Integral für beide Mitglieder angewendet wird, wird angewendet. 

Zum Beispiel berechnen_M Beide Mitglieder werden mit COS (Mωt) multipliziert:

f (t) cos (m ω t) = a₀/2 cos (m ω t) + a₁ cos (ω t) cos (m ω t) + a₂ cos (2 ω t) cos (m ω t) +… + Zu_N Cos (n ω t) cos (m ω t) +…

.. .+ B₁ sin (ω t) cos (m ω t) +b₂ sin (2 ω t) cos (m ω t) +… +b_N Sin (n ω t) cos (m ω t) +..

Dann in einen vollständigen Zeitraum integrieren, dh in dem von t stehenden Intervall_Yo zu t_Yo + T.

Das Integral des Begriffs, der A₀ enthält. 

Integrale, die das Produkt cos (n ω t) cos (M ω t) enthalten. Nur für den Fall, dass n = m das Integral hat:

Alle Begriffe, die einen mit Cosinus multiplizierten Sinus haben, dh diejenigen, die mit den B -Koeffizienten multipliziert werden, die Integrale des Sen -Typs (N ω t) cos (M ω t) enthalten Zeitraum. 

Von hier aus wird der Schluss gezogen, dass:

Berechnung der Koeffizienten Bs

Um die B -Koeffizienten zu finden, wird ein ähnliches Verfahren angewendet, aber diesmal werden beide Mitglieder der Funktion mit der Fourier -Serie mit der SEN -Funktion multipliziert (M ω t).

Aus den gleichen Gründen, die bereits für den Fall erläutert wurden, in dem der einzige Begriff, der nach der Integration in eine vollständige Zeit nicht annulliert wird, nicht annulliert ist:

n = m

Und wo das Integral von [sen (m ω t)] erscheint]², Das in einer vollständigen Periode führt zu π.

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Auf diese Weise werden die Koeffizienten der B gemäß der folgenden Formel berechnet:

Übungen

- Übung 1

Führen Sie die explizite Berechnung der Funktionskoeffizienten der Funktion durch

 f (t) = 0 ja 0 ≤ t  < π y 1 si π ≤  t   < 2π

Lösung

Zuerst identifizieren wir den Zeitraum t dieser Funktion als 2π, so dass die Grundfrequenz ω = 2π/ t in diesem Beispiel gleich der Einheit ist, dh:

Ω = 1

Die Funktion ist im Intervall [0, 2π] definiert, sodass alle Integrationen in diesem Intervall durchgeführt werden. 

Dann wird der unabhängige Term wie folgt berechnet:

Die Koeffizienten, die sich mit den Kosinusfunktionen multiplizieren, werden auf diese Weise berechnet:

Wie zu sehen ist, sind alle Koeffizienten zu Null, was geschehen wird, vorausgesetzt, die Funktion f (t) ist ungerade.

In ähnlicher Weise werden die B -Koeffizienten wie folgt berechnet:

- Übung 2

Finden Sie die Koeffizienten der Funktion, die Abbildung 1 entspricht, nämlich:

f (t) = -1 ja 0 ≤ t

Lösung 

Da die Funktion Werte zwischen -1 und +1 nimmt, können wir intuitiv, dass der unabhängige Term ungültig ist. Wir werden ihn jedoch explizit berechnen:

Aufgrund der Tatsache, dass die Funktion eine ungerade Symmetrie hat, müssen alle Koeffizienten für die harmonischen Begriffe mit der Cosinusfunktion ungültig sein. Wir überprüfen es unten:

Schließlich finden wir die Koeffizienten der B, die die harmonischen Begriffe multiplizieren, die die Sinusfunktion enthalten:

Wo können alle B -Begriffe mit dem UP -Index festgestellt werden, sind 0. Die ersten merkwürdigen Begriffe sind:

B₁= -4/(π); B₃= -4/(3π); B₅= -4/(5π); B₇= -4/(7π) und b₉= -4/(9π)

https: // youtu.BE/737YAGWSZYA

Verweise

1. Amererror, ich. 2013. Beherrschen der diskreten Fourier -Transformation in einer, zwei oder mehreren Dimensionen: Fallstricke und Artefakte. Springer Science & Business Media.
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3. Chu, e. 2008. Diskrete und kontinuierliche Fourier -Transformationen: Analyse, Anwendungen und schnelle Algorithmen. CRC Press.
4. Guoaner Bi, Yonghong Zeng. 2012. Transformationen und schnelle Algorithmen für Signalanalysen und Darstellungen. Springer Science & Business Media.
5. Sundararajan, d. 2003. Digitale Signalverarbeitung: Theorie und Praxis.Welt wissenschaftlich. 
6. Wikipedia. die Fourierreihe. Geborgen von: ist.Wikipedia.com