Axiale Symmetrieeigenschaften, Beispiele und Übungen

Der Axiale Symmetrie Es tritt auf, wenn die Punkte einer Figur mit den Punkten einer anderen Zahl über eine gerade Meditrix namens Symmetrieachse zusammenfallen. Es wird auch als radiale, rotations- oder zylindrische Symmetrie bezeichnet.

Es wird normalerweise in geometrischen Figuren angewendet, ist jedoch in der Natur leicht zu beobachten.

In diesem Foto des Horizonts der Stadt Toronto und dessen Reflexion in der wasser -axialen Symmetrie wird gezeigt. (Quelle: Pixabay)

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So finden Sie das symmetrische Axial

Um den symmetrischen axialen p 'eines P -Punkts in Bezug auf eine Linie (l) zu finden, werden die folgenden geometrischen Operationen durchgeführt:

1.- Der senkrecht zur Linie (l) verfolgte, der durch Punkt p fließt.

2.- Das Abfangen der beiden Zeilen bestimmt einen Punkt oder.

3.- Die Länge des PO -Segments wird gemessen, dann wird diese Länge auf der Linie (PO) aus oder in Richtung P a oder festgelegt oder den Punkt P.

4.- Punkt p.

Abbildung 1. Zwei Punkte P und P 'sind axial symmetrisch zu einer Achse (l), wenn diese Achse Mediattrix des PP -Segments ist

Eigenschaften der axialen Symmetrie

- Die axiale Symmetrie ist isometrisch, dh die Abstände einer geometrischen Figur und ihre entsprechende symmetrische Figur.

- Das Maß eines Winkels und das seiner symmetrischen Winkel sind gleich.

- Das symmetrische Axial eines Punktes auf der Symmetrieachse ist der Punkt selbst.

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- Die symmetrische Linie einer Linie parallel zur Symmetrieachse ist ebenfalls ein Stand parallel zur Achse.

- Eine Sekantenlinie zur Symmetrieachse ist symmetrisch.

- Das symmetrische Bild einer Linie ist eine andere Linie, die einen Winkel mit der symmetrischen Achse wie die der ursprünglichen Linie bildet.

- Das symmetrische Bild einer Linie senkrecht zur Symmetrieachse ist eine weitere Zeile, die die erste überlappt.

- Eine Linie und ihre axiale symmetrische Linie bilden einen Winkel, dessen Halbiersektor die Achse der Symmetrie ist.

Figur 2. Axiale Symmetrie bewahrt Entfernungen und Winkel.

Beispiele für axiale Symmetrie

Die Natur zeigt reichlich Beispiele für axiale Symmetrie. Zum Beispiel können Sie die Symmetrie der Gesichter, Insekten wie Schmetterlinge, die Reflexion auf Oberflächen von ruhigem Wasser und Spiegeln oder den Blättern der Pflanzen sehen, unter anderem auf Oberflächen.

Figur 3. Dieser Schmetterling zeigt eine fast perfekte axiale Symmetrie. (Quelle: Pixabay) Figur 4. Das Gesicht dieses Mädchens hat eine axiale Symmetrie. (Quelle: Pixabay)

Axiale Symmetrieübungen

Übung 1

Sie haben das Dreieck der Eckpunkte A, B und C, deren kartesische Koordinaten jeweils a = (2, 5), b = (1, 1) und c = (3,3) sind. Finden Sie die kartesischen Koordinaten des symmetrischen Dreiecks in Bezug auf die Y -Achse (Achse der Ordinaten).

Lösung: Wenn ein Punkt P Koordinaten (x, y) hat, dann ist es symmetrisch in Bezug auf die Achse der Ordinaten (y Achse) p '= (-x, y). Mit anderen Worten.

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In diesem Fall wird das symmetrische Dreieck von Scheitelpunkten A ', B' und C 'Koordinaten haben:

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) und c' = (-3, 3), wie in Abbildung 6 überprüft werden kann.

Abbildung 6. Wenn ein Punkt die Koordinaten (x, y) in Bezug auf die y-Achse (Achse der Ordinaten) symmetrisch hat, hat Koordinaten (-x, y).

Übung 2

In Bezug auf das ABC -Dreieck und seine symmetrischen A'b'c 'von Übung 1 prüfen Sie, dass die entsprechenden Seiten des ursprünglichen Dreiecks und dessen symmetrisch die gleiche Länge haben.

Lösung: Um die Entfernung oder Länge der Seiten zu finden, verwenden wir die euklidische Abstandsformel:

d (a, b) = √ ((bx-ax)^2 + (by-ay)^2) = √ ((1-2)^2 + (1-5)^2) = √ ((-1) )^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4,123

Als nächstes wird die Länge der symmetrischen Seite berechnet:

D (a ', b') = √ ((bx'-ax ')^2 +(by'-y^2) = √ ((-1 +2)^2 +(1-5)^2) = √ ((1)^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4,123

Auf diese Weise wird erwiesen, dass die axiale Symmetrie den Abstand zwischen zwei Punkten bewahrt. Die Prozedur kann für die beiden anderen Seiten des Dreiecks und seine symmetrisch wiederholt werden, um die Invarianz in der Länge zu überprüfen. Zum Beispiel | AC | = | A'c '| = √5 = 2,236.

Übung 3

Überprüfen Sie in Bezug auf das ABC -Dreieck und seine symmetrischen A'b'c 'von Übung 1, dass die entsprechenden Winkel des ursprünglichen Dreiecks und deren symmetrisch das gleiche Winkelmaß haben.

Lösung: Um die Messungen der Winkel BAC und B'a'c zu bestimmen, wird das Skalarprodukt der Vektoren zuerst berechnet Ab mit AC und dann das skalare Produkt von A'b ' mit A'c '.

Erinnern Sie sich daran:

A = (2, 5), b = (1, 1) und c = (3,3)

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) und c' = (-3, 3).

Du hast:

Ab = y AC =

ähnlich

A'b ' = y AC =

Kann Ihnen dienen: Lamy Theorem

Dann werden die folgenden skalaren Produkte gefunden:

AB · AC = ⋅ = -1oge1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ähnlich

A'b'ëa'c ' = ⋅ = 100 (-1) + (-4) ≤ (-2) = -1 + 8 = 7

Das Maß des BAC -Winkels ist:

∡bac = arccos ( AB · AC / (|AB |⋅ |Ac |)) = 

ARCCOS (7 / (4,123 · 2,236) = 40,6º

In ähnlicher Weise lautet das Maß des Winkels b'a'c ':

∡b'a'c '= arccos ( A'b'ëa'c ' / (|A'b '|⋅ |A'c '|)) = 

ARCCOS (7 / (4,123 · 2,236) = 40,6º

Schluss.

Übung 4

Ein Punkt p der Koordinate sein (a, b). Finden Sie die Koordinaten seines symmetrischen axialen p 'in Bezug auf die Linie y = x.

Lösung: Wir werden (a ', b') in Bezug. Der Mittelpunkt M des Segments PP 'hat Koordinaten ((A+A')/2, (B+B ')/2) und befindet sich auch in der Linie y = x, sodass die folgende Gleichheit erfüllt ist:

A + A '= B + B'

Andererseits hat das Segment PP '-1 ausstehend, um senkrecht zur Linie y = x der Steigung 1 zu sein, sodass die folgende Gleichheit erfüllt ist:

B - b '= a' -a

Wenn Sie die beiden Gleichungen vor 'und B' löschen, wird der Schluss gezogen, dass:

a '= b und was B' = a.

Das heißt, bei einem Punkt p (a, b) ist sein symmetrisches Axial in Bezug auf die Linie y = x p '(b, a).

Verweise

1. Arce m., Blázquez S und andere. Flugzeugtransformationen. Erholt von: EducUtmxli.Dateien.WordPress.com
2. CC -Berechnung. Axiale Symmetrie. Wiederhergestellt von: Berechnung.DC
3. Superprof. Axiale Symmetrie. Erholt von: Superprof.Ist
4. Wikipedia. Axiale Symmetrie. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Symmetriekreis. Abgerufen von: in.Wikipedia.com