Zentrale Symmetrieeigenschaften, Beispiele und Übungen

Zwei Punkte a und 'haben Zentrale Symmetrie In Bezug auf einen Punkt oder wenn das AA -Segment es durchläuft und auch der Mittelpunkt von AA ist. Auf den Punkt oder heißt es Symmetriezentrum.

Der zentrale Symmetrie eines ABC -Dreiecks in Bezug auf einen Punkt oder ein anderes Dreieck A'b'c ', das die folgenden Eigenschaften aufweist:

-Homologe Segmente sind die gleiche Länge 

-Ihre entsprechenden Winkel haben das gleiche Maß.

Abbildung 1. ABC -Dreieck und sein symmetrisches A'b'c '. Quelle: f. Zapata.

In Abbildung 1 ein ABC -Dreieck (rot) und sein zentrales symmetrisches A'b'c '(grün) in Bezug auf das Zentrum der Symmetrie oder. 

In derselben Abbildung würde ein aufmerksamer Beobachter erkennen, dass dasselbe Ergebnis durch Anwenden einer ursprünglichen Dreiecksrotation erzielt wird, solange es 180 ° ist und sich auf oder konzentriert.

Daher entspricht eine zentrale Symmetrie einer Umdrehung von 180 ° in Bezug auf das Zentrum der Symmetrie.

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Eigenschaften der zentralen Symmetrie

Eine zentrale Symmetrie hat die folgenden Eigenschaften:

-Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt des Segments.

-Ein symmetrischer Punkt eines anderen, der sich im Symmetriezentrum befindet, fällt mit dem Zentrum der Symmetrie zusammen.

-Der zentrale Symmetrische eines Dreiecks ist ein kongruentes Dreieck (gleich) dem Original.

-Das Bild durch zentrale Symmetrie eines Umfangs ist ein weiterer Umfang des gleichen Radius.

-Ein Kreis hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein eigenes Zentrum.

Figur 2. Design mit zentraler Symmetrie. Quelle: Pixabay.

-Die Ellipse hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf ihr Zentrum.

-Ein Segment hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf seinen Mittelpunkt.

-Das gleichseitige Dreieck hat keine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein Zentrum.

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-Quadrate haben eine zentrale Symmetrie in Bezug auf ihr Zentrum.

-Ein Pentagon fehlt eine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein Zentrum.

-Regelmäßige Polygone haben eine zentrale Symmetrie, wenn sie eine Reihe von Drehmomentseiten haben.

Beispiele

Die Symmetriekriterien haben viele Anwendungen in Wissenschaft und Ingenieurwesen. Zentrale Symmetrie ist in der Natur vorhanden, zum Beispiel Eiskristalle und Spinnweben haben diese Art von Symmetrie.

Darüber hinaus sind viele Probleme leicht zu lösen, wenn die Existenz einer zentralen Symmetrie und anderer Arten von Symmetrie verwendet wird. Daher ist es bequem, sich schnell zu identifizieren, wenn es auftritt.

Figur 3. Eiskristalle haben eine zentrale Symmetrie. Quelle: Pixabay.

Beispiel 1

Bei einem Punkt P von Koordinaten (a, b) müssen Sie die Koordinaten seines symmetrischen P 'bezüglich des Ursprungs oder der Koordinaten (0, 0) finden.

Das erste ist, das p 'p' zu bauen, für das eine Linie gezogen wird, die durch den Ursprung oder durch Punkt P verläuft. Die Gleichung dieser Linie ist y = (b/a) x.

Nennen wir nun (a ', b') die Koordinaten des symmetrischen Punktes P '. Punkt p. Darüber hinaus muss die OP -Entfernung gleich OP 'sein, was analytisch wie folgt schreibt:

√ (a² + B²) = √ (a '² + B '² )

Das Folgende ist zu ersetzen b '= [(b/a).A '] im vorherigen Ausdruck und Quadrat auf beiden Seiten der Gleichheit, um die Quadratwurzel zu beseitigen: (a² + B²) = [a '² + (B²/Zu²).Zu'²]

Durch Extrahieren des gemeinsamen Faktors und der Vereinfachung ist es erreicht zu '² = a². Diese Gleichung hat zwei reale Lösungen: a '= +a oder a' = -a. 

Um B 'zu erhalten, verwenden wir erneut B' = (b/a) a '. Wenn die positive Lösung von a ersetzt wird, ist es erreicht, dass B '= b. Und wenn die negative Lösung ersetzt wird, dann b '= -b. 

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Die positive Lösung gibt für p 'denselben Punkt p, so dass sie ausgeschlossen ist. Die negative Lösung bietet definitiv die Koordinaten des symmetrischen Punktes:

P ': (-a, -b)

Beispiel 2

Es ist erforderlich zu zeigen, dass ein AB -Segment und sein symmetrisches zentrales A'b 'die gleiche Länge haben.

Beginnend mit den Koordinaten von Punkt A, die (AX, AY) und denen von Punkt B: (bx, by) sind, wird die Länge des AB gegeben durch:

D (ab) = √ ((bx - ax)² + (Von - ay)² )

In Analogie wird das symmetrische Segment A'B 'eine Länge haben, die von:

d (a'b ') = √ ((bx' - ax ')² + (Von ' - ay')² )

Die Koordinaten des symmetrischen Punktes a 'sind ax' = -Ax und ay '= -ay. Ebenso sind die von b 'bx' = -bx und von '= -by. Wenn diese Koordinaten in der Gleichung von Distanz D (a'b ') ersetzt werden, haben Sie:

D (a'b ') = √ ((-bx + ax)² + (-By + ay)²) Das entspricht:

 √ ((bx - ax)² + (Von - ay)²) = D (ab)

Nachgewiesen werden, dass beide Segmente die gleiche Länge haben.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Analytisch zeigen, dass der zentrale symmetrische oder ein Kreis von Radius R und Zentrum der gleiche ursprüngliche Umfang ist.

Lösung

Die Gleichung eines Radius R- und Mittelkreises (0,0) lautet:

X² + Und² = R² (Umfangsgleichung c)

Wenn an jedem Punkt p des Umfangs und der Koordinaten (x, y) seine symmetrische Koordinate p ') gefunden wird, ist die Gleichung des symmetrischen Umfangs:

X '² + Und'² = R² (Symmetrische Umfangsgleichung C ')

Jetzt beziehen wir uns auf das Ergebnis von Beispiel 1, das zu dem Schluss kommt, dass die Koordinaten eines Punktes P ', symmetrisch zu P und Koordinaten (a, b), (-a, -b) ist. 

In dieser Übung hat Point P jedoch Koordinaten (x, y), so dass sein symmetrischer P 'Koordinaten x' = -x e y '= -y hat. Dies in der symmetrischen Umfangsgleichung zu ersetzen ist:

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(-X)² + (-Und)² = R²

Das entspricht: x²+ Und² = R², Zuschließend, dass der zentrale Symmetrische Kreis in Bezug auf sein Zentrum der Umfang selbst ist.

- Übung 2

Auf geometrische Weise demonstrieren, dass die zentrale Symmetrie die Winkel bewahrt.

Lösung

Figur 4. Konstruktion symmetrischer Punkte für Übung 2. Quelle: f. Zapata.

Es gibt drei Punkte A, B und C im Flugzeug. Seine symmetrische A ', B' und C 'werden in Bezug auf das Zentrum der Symmetrie oder, wie in Abbildung 4 gezeigt, gebaut. 

Jetzt müssen wir nachweisen, dass der Winkel ∡abc = β das gleiche Maß wie der Winkel ∡a'b'c '= β' 'hat.

Da C und C 'symmetrisch sind, dann oc = oc'. Ebenso ob = ob 'y oa = oa' '. Andererseits der Winkel ∡Boc = ∡b'oc ', um dem Scheitelpunkt abgelehnt zu werden.

Dann sind die Dreiecke Boc und B'oc 'kongruent, weil sie einen gleichen Winkel zwischen zwei Seiten gleich haben.

Weil BOC mit B'oc übereinstimmt, dann die Winkel  γ Und γ ' Sie sind gleich. Aber diese Winkel zusätzlich zu Erfüllung γ = γ ' Sie sind interne Alternative zwischen den BC- und B'C '-Linien, was impliziert, dass die BC -Linie parallel zu B'c ist.

In ähnlicher Weise stimmt BAA mit dem, was befolgt wird, überein α = α ' . Aber  α Und α ' Sie sind interne alternative Winkel zwischen den Ba- und B'a '-Linien, von denen der Schluss gezogen wird, dass die Linie BA parallel zu B'a ist.

Da der Winkel ∡abc = β seine parallelen Seiten mit dem Winkel ∡a'b'c '= β' hat, und beide sind akut, wird der Schluss gezogen:

∡abc = ∡a'b'c '= β = β' '' '

Auf diese Weise demonstrieren, dass die zentrale Symmetrie das Maß für Winkel behält.

Verweise

1. Baldor, j. ZU. 1973.Flache und Raumgeometrie. Zentralamerikanische Kultur. 
2. Mathematische Gesetze und Formeln. Winkelmesssysteme. Abgerufen von: Ingemecanica.com.
3. Wentworth, g. Planet Geometrie. Erholt von: Gutenberg.Org.
4. Wikipedia. Zentrale Symmetrie. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Förderer. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
6. Zapata f. Interne und externe konjugierte Winkel. Abgerufen von: Lifer.com