System von Gleichungslösungsmethoden, Beispielen, Übungen

Der Ekluationssysteme Sie bestehen aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, die eine gemeinsame Lösung haben müssen. Sie sind häufig, denn in der Praxis gibt es zahlreiche Situationen, die von vielen Faktoren abhängen, die auf verschiedene Weise zusammenhängen.

Im Allgemeinen hat ein Gleichungssystem die folgende Form, wobei jede Funktion eine der Bedingungen darstellt, die die Lösung erfüllen muss:

Abbildung 1. Ein Gleichungssystem besteht aus M -Funktionen und n Unbekannten. Quelle: f. Zapata.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Angenommen, Sie müssen rechteckige Papierblätter herstellen, deren Bereich 180 cm beträgt² und einen Umfang von 54 cm haben. Was sollte die Abmessungen des Blattes sein??

Um die Frage zu beantworten, berücksichtigen wir, dass die Abmessungen eines rechteckigen Blattes zwei sind: breit und hoch. Dies bedeutet, dass wir 2 Variablen haben, denen wir die üblichen Namen von geben werden X Und Und.

Und diese Variablen müssen die beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllen:

-Erster Zustand: Das Gebiet der Lamina beträgt 180 cm². Dies wird die erste Funktion sein: F₁.

-Zweiter Zustand: Der Umfang oder die Kontur des Blattes muss 54 cm betragen. Dies ist die zweite F -Funktion₂.

Für jede Bedingung wird eine Gleichung unter Verwendung der algebraischen Sprache festgelegt. Bereich A eines rechteckigen Blattes wird durch Multiplizieren von Breiten erhalten:

A = x.y = 180 cm²

Und Umfang P ergibt sich aus dem Hinzufügen der Seiten. Da der Umfang die Summe der Seiten ist:

P = 2x + 2y = 54 cm

Das System, das aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten resultiert, lautet:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Wir brauchen zwei Zahlen, deren Produkt 180 ist und dass das Doppelprodukt seiner Summe 54 beträgt, oder was gleich ist: Zusätzlich müssen 27 geben. Diese Zahlen sind 12 und 15.

In dem Abschnitt "Aufgelöste Übungen" bieten wir die detaillierte Methode, um diese Werte zu finden.

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Beispiele für Anwendungen von Gleichungssystemen

Die oben vorgeschlagene Situation enthält 2 Variablen, und mindestens 2 Gleichungen sind erforderlich, um sie zu finden. Es gibt Systeme mit viel mehr Variablen, aber auf jeden Fall, wenn das System hat N Von diesen ist es zumindest erforderlich N Unabhängige Gleichungen (man kann keine lineare Kombination der anderen sein), um die Lösung zu finden, wenn sie vorhanden ist.

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Bewerbungen sind zahlreich. Hier einige, in denen Gleichungssysteme ihre Nützlichkeit demonstrieren:

-Finden Sie die Ströme, die durch die Gesetze von Kirchoff durch einen Schaltkreis zirkulieren.

-Im Land- und Luftverkehr, um die Ausstiegs- und Ankunftspläne festzulegen.

-Finden Sie die Größen von Kräften in dynamischen oder statischen Systemen, die mehreren Wechselwirkungen unterliegen.

-Um die Anzahl der verkauften Gegenstände zu kennen, die für einen bestimmten Zeitraum oder in den Fabriken verkauft werden, werden die Dimensionen von Objekten festgelegt, um bestimmte Bedingungen in Bezug auf Oberfläche oder Volumen zu erfüllen.

-Bei der Feststellung, wie ein Kapital in mehreren Investitionen verteilen kann.

-Legen Sie die Tarife für verschiedene Dienste fest, z. B. Telekommunikation oder zeigt die Menge des gesammelten Geldes (siehe Beispiel gelöst 2)

Gleichungssystem -Lösungsmethoden

Methode Ersatz

-Eine Gleichung wird ausgewählt und eine der Variablen wird gelöscht.

-Dann müssen Sie die klare Variable in einer anderen Gleichung ersetzen. Dann verschwindet diese Variable von dort und wenn das System zwei Gleichungen und zwei Unbekannte hat, gibt es eine Gleichung mit einer Variablen, die bereits klar sein kann.

-Wenn das System über mehr als zwei Variablen verfügt, müssen Sie ein drittes Unbekanntes aus einer anderen Gleichung löschen und es auch ersetzen.

Ein Beispiel für die Anwendung dieser Methode ist im Jahr gelöst 1.

Reduktions- oder Eliminierungsmethode

Diese Methode besteht darin, Gleichungen hinzuzufügen oder zu subtrahieren, um eine oder mehrere Variablen zu beseitigen und eine einzelne zu hinterlassen. Dazu ist es zweckmäßig, die Gleichungen mit einem Faktor zu multiplizieren, so dass das Unbekannte durch Hinzufügen mit einer anderen Gleichung verschwindet. Schauen wir uns ein Beispiel an:

3x² - Und² = 11

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X² + 4y² = 8

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 4:

12x² - 4y² = 44

X² + 4y² = 8

Indem Sie sie hinzufügen, verschwindet das Unbekannte Und, bleiben:

13x² = 52

X² = 4

Deshalb x₁ = 2 und x₂ = -2. Mit diesen Werten kann der Leser das überprüfen und₁ = 1 und₂ = -1

Ausgleichsmethode

Wenn das System zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ist:

-Ein Unbekannter wird ausgewählt und ist aus beiden Gleichungen gelöscht.

-Die Ergebnisse sind ausgeglichen, was es ermöglicht, eine einzelne Gleichung mit einem einzigen Unbekannten zu erhalten.

-Diese Gleichung wird behoben und das Ergebnis wird in einer der vorherigen Löschen ersetzt, um den Wert des anderen Unbekannten zu erhalten.

Diese Methode wird im Jahr 2 des folgenden Abschnitts angewendet.

Grafikmethode

Diese Methode besteht aus der Grafik der Kurven, die jede Gleichung darstellt. Der Schnittpunkt ist die Systemlösung. Das folgende Beispiel zeigt die grafische Lösung des Systems:

X² + Und ² = 1

2x + 4y = 0

Figur 2. Die grafische Lösung des Systems gleichzeitig Gleichungen besteht darin, den Schnittpunkt der Kurven zu finden. Quelle: Wikimedia Commons.

Die erste der Gleichungen ist ein Kreis von Radius 1, der sich auf den Ursprung konzentriert, und die zweite ist eine Linie.

Der Schnittpunkt beider sind die beiden in Blau gezeigten Punkte. Der Leser kann überprüfen, dass durch Ersetzen der Koordinaten der Punkte in den obigen Gleichungen eine Gleichheit erhalten wird.

Übungen

- Übung gelöst 1

Sie müssen rechteckige Blätter im Bereich von 180 cm herstellen² und mit 54 cm Umfang. Was sollte die Abmessungen des Blattes sein??

Lösung

Das zu behebende System ist:

Xy = 180

2 (x + y) = 54

Die zweite Gleichung kann auf x + y = 27 vereinfacht werden, daher:

Xy = 180

x + y = 27

Eines der Unbekannten der zweiten Gleichung wird gelöscht:

y = 27 - x

Die Freigabe wird im ersten ersetzt:

(27 -x) = 180

Anwendung von Verteilungseigenschaften:

-X² + 27x = 180

Multiplizieren Sie mit (-1) auf beiden Seiten der Gleichung und senden Sie 180 an die linke Seite:

X² - 27x +180 = 0

Es handelt sich um eine Gleichung zweiten Grades in x, die durch die Formel gelöst wird:

Es kann Ihnen dienen: Gegenwinkel vom Scheitelpunkt (mit einer gelösten Übung)

Mit a = 1, b = -27 und c = 180

 Die Lösungen sind: x₁ = 15 cm und x₂ = 12, daher sind die Dimensionen von y und₁ = 12 cm und und und₂ = 15 cm.

- Übung gelöst 2

Ein Vergnügungspark hat die folgenden Preise pro Eingang: Kinder 1.5 und Erwachsene $ 4. An einem Tag gab es 2200 Besucher, die 5050 US -Dollar sammelten. Finden Sie die Anzahl der Kinder und Erwachsenen, die an diesem Tag den Park besucht haben.

Figur 3. Das Gleichungssystem dient dazu, die Sammlung des Vergnügungsparks an einem Tag abzubauen. Quelle: Pixabay.

Lösung

Sei X Die Anzahl der Kinder und Und Die Anzahl der Erwachsenen. Wir können den ersten der Gleichungen festlegen, wenn wir wissen, dass die Summe von beiden 2200 betragen muss:

x + y = 2200.

Jetzt gehen wir mit dem gesammelten Geld. Der Ticketpreis für Kinder beträgt 1.5 $ für jedes Kind, indem wir diesen Wert mit x, der Anzahl der Kinder, multiplizieren, haben wir den Betrag für den Kindereintritt:

1.5x = Geld, das durch Kindertickets gesammelt wird

Und wenn wir 4 US -Dollar pro Erwachsener für die Menge und erwachsene Besucher multiplizieren, wird das Gesamtgeld von allen Erwachsenen erhalten:

4y = Geld, das von Erwachsenen Tickets gesammelt wird

Wir fügen dies hinzu, um 5050 US -Dollar zu erhalten:

1.5x + 4y = 5050

Unser Gleichungssystem ist:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Lassen Sie es uns durch Ausgleich lösen. Wir löschen die Variable und die erste und die zweite Gleichung:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

Wir sind beide Ausdrücke gleich:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

Wir multiplizieren alles mit 4, um den Bruch zu beseitigen:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

Wir gruppieren die Begriffe mit X links und die reinen Zahlen rechts:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 Kinder.

Wir ersetzen diesen Wert bei y = 2200 - x, um die Anzahl der Erwachsenen zu kennen:

y = 2200 - 1500 = 700 Erwachsene.

Verweise

1. CK-12. Gleichungssysteme und Ungleichheiten. Erholt von: CK12.Org.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.