Revolution Festkörpervolumen, Typen, gelöste Übungen

Er Revolution solide Es ist die dreidimensionale Figur, die durch Drehung einer flachen Oberfläche um die axiale Achse oder die Revolutionsachse erzeugt wird. Abbildung 1 zeigt eine Animation einer soliden Revolution, die auf diese Weise erzeugt wird.

Ein weiteres sehr einfaches Beispiel zur Visualisierung besteht darin, einen geraden kreisförmigen Zylinder zu erzeugen und ein Rechteck aus Höhen oder langem H und Radio R um die positive X -Achse zu drehen (Abbildung 2). Um das Volumen zu finden, gibt es eine gut bekannte Formel:

V = Grundfläche x Höhe

Abbildung 1. Die Figur erzeugt durch die Rotation einer Senxkurve. Quelle: Wikimedia Commons. Macks/CC BY-SA (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/2.5).

Andere Revolutionskräfte sind die Kugel, der gerade kreisförmige Kegel und verschiedene Figuren gemäß der in Drehung platzierten Oberfläche und natürlich der ausgewählten Achse.

Figur 2. Erzeugung eines geraden kreisförmigen Zylinders und einer Kugel. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel.

Für den Zylinder, den Kegel, die Kugel, sowohl Massive als auch Löcher gibt es Formeln, die das Volumen finden, das vom Radius und der Höhe abhängt. Wenn jedoch von anderen Oberflächen erzeugt wird, wird das Volumen durch definierte Integrale berechnet.

[TOC]

Arten von Revolution Feststoffen

Revolution Feststoffe können nach der Kurve klassifiziert werden, die sie erzeugt:

Kugel

Es reicht aus, um einen Halbkreis um eine Achse zu drehen, die der Durchmesser der Funkkugel ist. Sein Volumen ist:

V_Kugel = (4/3) πr³

Muschi

Um einen H- und Radio -R -Kegel zu erhalten, muss die Oberfläche, die muss. Sein Volumen ist:

V_Muschi = (1/3) πHR²

Zylinder

Drehen Sie ein Rechteck um eine axiale Achse, die durch eine Seiten fließt, die die kurze Seite oder die lange Seite sein kann, ein gerader kreisförmiger Zylinder aus Radius R und Höhe H wird erhalten, dessen Volumen lautet:

Kann Ihnen dienen: Seil (Geometrie): Länge, Satz und Übungen

V_Zylinder = πr²H

Toroid

Der Stier hat die Form eines Donuts. Es wird erhalten, indem ein kreisförmiger Bereich um eine Linie in der Ebene gedreht wird, die den Kreis nicht schneidet. Sein Volumen ist gegeben durch:

V_Toroid = 2πa²R

Wobei a der Radius des Querschnitts und R der Radius des Toroids gemäß dem in der Abbildung dargestellten Schema ist:

Figur 3. Toroidabmessungen. Quelle: Wikimedia Commons.

Methoden zur Berechnung des Volumens eines Revolution Solid

In der integralen Berechnung sind diese beiden Methoden häufig:

-Discs und Unterlegscheiben

-Muscheln

Disc -Methode oder Unterlegscheiben

Wenn ein fester Revolution in Scheiben schneiden, kann der Querschnitt ein Album sein, wenn der Feststoff fest ist oder es eine Art Waschmaschine sein kann (ein Album mit einem Loch in der Mitte), wenn es sich um ein solides Loch handelt.

Angenommen, ein flacher Bereich wird um die horizontale Achse gedreht. Aus diesem flachen Bereich nehmen wir ein kleines Δx -Breiten -Rechteck, das senkrecht um die axiale Achse umgedreht wird.

Die Höhe des Rechtecks ​​liegt zwischen der äußersten Kurve R (x) und dem internen r (x). Sie entsprechen dem externen Radius bzw. des internen Funks.

Bei dieser Rotation wird eine ΔV -Volumen -Waschmaschine erzeugt, gegeben durch:

ΔV = Vollvolumen - Lochvolumen (falls vorhanden)

Denken Sie daran, dass das Volumen eines geraden kreisförmigen Zylinders π beträgt. Radio² x Höhe haben wir:

ΔV = π [r²(x) - r²(x)] Δx

Der Feststoff kann in eine Vielzahl kleiner Teile des Volumens ΔV unterteilt werden. Wenn wir sie alle hinzufügen, haben wir das volle Volumen.

Dazu neigen wir dazu, das Volumen ΔV, das ebenfalls sehr klein wird, zu einem DX -Differential wird.

Es kann Ihnen dienen: gegenseitig nicht exklusive Ereignisse: Eigenschaften und Beispiele

Somit haben wir ein Integral:

V = ∫_Zu^B π [r²(x) - r²(x)] dx

Figur 3. Unterlegscheibenmethoden. Quelle: Larson. R. Berechnung.

Für den Fall, dass der Feststoff fest ist, ist die Funktion r (x) = 0, die Scheibe des erzeugten Feststoffs ist eine Scheibe und das Volumen bleibt:

V = ∫_Zu^B πr²(x) dx

Wenn die Revolutionsachse vertikal ist, nehmen die vorherigen Gleichungen die Form an:

V = ∫_Zu^B π [r² (Y) - r² (y)] dy und v = ∫_Zu^B πr²(Y) dy

Schicht

Wie der Name hervorgeht, wird diese Methode davon ausgehen, dass der Feststoff aus differentiellen dicken Schichten besteht. Die Schicht ist ein dünnes Rohr, das aus der Drehung eines Rechtecks ​​parallel zur Rotationsachse stammt.

Figur 4. Eine zylindrische Schicht der Höhe 2, lang H und Radius p. Quelle: Larson, R. Berechnung.

Wir haben die folgenden Dimensionen:

-Die Höhe des Rechtecks W

-Seine Länge H

-Der Abstand von der Mitte des Rechtecks ​​zur Rotationsachse P

Zu wissen, dass das Volumen der Schicht ist Outdoor -Volumen - Innenvolumen:

π (p + w/2)²H - π (p - w/2)²H

Bei der Entwicklung bemerkenswerter Produkte und der Vereinfachung wird es erhalten:

Schichtvolumen = 2 & pgr; · p·woge

Lassen Sie uns nun die Höhe des Rechtecks ​​ΔY machen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Abbildung 5. Horizontale Revolution Achse -Schichtmethode. Quelle: Larson, R. Berechnung einer Variablen.

Damit ist das Volumen ΔV:

ΔV = 2π p x h x ΔY

Und die Anzahl der Schichten machen N Seien Sie sehr groß, ΔY wird zu einem differentiellen DY, so dass das Gesamtvolumen das Integral ist:

V = ∫_C^D 2π P (y) H (y) dy

Das beschriebene Verfahren wird ähnlich angewendet, wenn die Revolutionsachse vertikal ist:

Abbildung 6. Schichtmethode für die vertikale Revolutionachse. Quelle: Larson, R. Berechnung einer Variablen.

Übung gelöst

Finden Sie das Volumen, das durch die Drehung des flachen Bereichs zwischen den Kurven erzeugt wird:

y = x²;  y = 0; x = 2

Um die Achse und.

Kann Ihnen dienen: Negative Homotecia

Lösung

-Das erste, was zu tun ist, ist die Region, die die Revolution solide erzeugt und auf die Drehachse hinweist. Wir haben es in der folgenden Grafik:

Abbildung 7. Grafik der Kurven für die Übung gelöst. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

-Jetzt werden die Kreuzungen zwischen der Kurve y = x gesucht² und die Zeile x = 2. Für ihren Teil ist die Linie y = 0 kein anderer als die x -Achse.

Es ist leicht zu warnen, dass sich das Gleichnis und die Linie am Punkt (2,4) kreuzen, was durch Ersetzen von x = 2 auf y = bestätigt wird².

-Anschließend wird eine der Methoden zur Berechnung des Volumens ausgewählt, beispielsweise die Schichtmethode mit vertikaler Revolutionachse:

V = ∫_Zu^B 2π p (x) h (x) dx

Schritt 1: Zeichnen Sie das Rechteck

Abbildung 8. Rechteck für das gelöste Beispiel. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Wichtig: In der Schichtmethode ist die lange Seite des Rechtecks ​​parallel zur Rotationsachse.

Schritt 2: Bestimmen Sie P (x)

Die Schicht der Schicht ist X

Schritt 3: Bestimmen Sie H (x)

Die Höhe des Rechtecks ​​wird durch Gleichnis x bestimmt².

Schritt 4: Festlegen und lösen Sie das Volumenintegral

Die Integrationsvariable ist x, die zwischen 0 und 2 variiert. Damit haben wir die Integrationsgrenzen. Ausdrücke für P (x) und H (x) ersetzen

 Einige Übungen können mit beiden Methoden gelöst werden. Kann der Leser dies mit der Waschmaschinenmethode lösen??

Verweise

1. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
2. Purcell, e. 2007. Berechnung mit analytischer Geometrie. 9na. Auflage. Pearson Ausbildung.
3. Wikipedia. Solide der Revolution. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.
4. Wikipedia. Toroid. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
5. Wolfram Mathworld. Solide der Revolution. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.