Beispiele für quadratische Folgen, Regel und Übungen gelöst

Der Quadratische Folgen, In mathematischer Begriffen bestehen sie aus Sequenzen von Zahlen, die einer bestimmten arithmetischen Regel folgen. Es ist interessant zu wissen, dass diese Regel die Bestimmungen einer Nachfolge bestimmen.

Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, den Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Begriffen zu bestimmen und festzustellen, ob der erhalten. Wenn so, wird gesagt, dass es ein ist Regelmäßige Nachfolge.

Numerische Folgen sind eine Möglichkeit, Zahlensequenzen zu organisieren. Quelle: Pixabay.com

Aber wenn es nicht wiederholt wird, können Sie versuchen, die zu untersuchen Unterschied zwischen Unterschieden Und prüfen Sie, ob dieser Wert konstant ist. Wenn ja, dann ist es ein Quadratische Nachfolge. 

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Beispiele für reguläre Folge und quadratische Folge

Die folgenden Beispiele helfen zu klären, was bisher erklärt wurde:

Beispiel für die reguläre Nachfolge

Sei die Nachfolge s = 4, 7, 10, 13, 16, ...

Diese von S bezeichnete Nachfolge ist in diesem Fall von ganzen Zahlen ein unendlicher numerischer Satz.

Es ist zu erkennen, dass es sich um eine regelmäßige Nachfolge handelt, da jeder Term durch Hinzufügen von 3 zum vorherigen Term oder Element hinzugefügt wird:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

13+3 = 16

Mit anderen Worten: Diese Nachfolge ist regelmäßig, da der Unterschied zwischen dem folgenden und dem vorherigen einen festen Wert ergibt. Im Beispiel ist dieser Wert 3.

Die regulären Folgen, die durch Hinzufügen eines festen Betrags zur vorherigen Laufzeit erhalten wurden, werden ebenfalls aufgerufen Arithmetische Fortschritte. Und zu dem Unterschied - konstant - zu den aufeinanderfolgenden Begriffen, die es genannt wird Grund Und es wird als r bezeichnet.

Beispiel für nicht -reguläre und quadratische Nachfolge

Siehe jetzt die folgende Nachfolge:

S = 2, 6, 12, 20, 30, .. .

Wenn die aufeinanderfolgenden Unterschiede berechnet werden, werden die folgenden Werte erhalten:

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6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Ihre Unterschiede sind nicht konstant, daher kann gesagt werden, dass es sich um eine nicht reguläre Nachfolge handelt.

Wenn wir jedoch die Unterschiede berücksichtigen, gibt es eine weitere Nachfolge, die als s bezeichnet wird_Diff:

S_Diff = 4, 6, 8, 10, .. .

Diese neue Nachfolge ist a Regelmäßige Nachfolge, Da jeder Term erhalten wird, indem der feste Wert r = 2 zu den vorherigen hinzugefügt wird. Deshalb können wir bestätigen, dass S ist Quadratische Nachfolge.

Allgemeine Regel, um eine quadratische Nachfolge zu erstellen

Es gibt eine allgemeine Formel, um eine quadratische Nachfolge zu erstellen:

T_N = A ∙ n² + B ∙ n +c

In dieser Formel t_N Es ist der Begriff der N der Nachfolge. A, B und C sind feste Werte, während N nacheinander variiert, das sind 1, 2, 3, 4, ..

In Folge des vorherigen Beispiels a = 1, b = 1 und c = 0. Von dort aus folgt die Formel, die alle Begriffe erzeugt_N = n² + N

Das heißt:

T₁ = 1² + 1 = 2

T₂ = 2² + 2 = 6

T₃ = 3² + 3 = 12

T₅ = 5² + 5 = 30

T_N = n² + N

Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Begriffen einer quadratischen Nachfolge

T_N+1 - T_N = [A ∙ (n+1)² + B ∙ (n + 1) + c] - [a ∙ n² + B ∙ n +c]

Entwicklung des Ausdrucks durch bemerkenswerte Produktreste:

T_N+1 - T_N = A ∙ n² + A ∙ 2 ∙ n + a + b ∙ n + b + c - a ∙ n² - B ∙ n - c

Indem Sie es vereinfachen, erhalten Sie:

T_N+1 - T_N = 2 ∙ a ∙ n + a + b

Dies ist die Formel, die die Nachfolge der Unterschiede s ergibt_Diff Das kann so geschrieben werden:

Diff_N = A ∙ (2n+1)+b

Wo eindeutig der folgende Begriff 2 ∙ manchmal der vorherige ist. Das heißt, der Grund für die Nachfolge der Unterschiede s s_Diff Es: r = 2 ∙ a.

Aufgelöste Übungen von quadratischen Folgen

Übung 1

Sei die Nachfolge s = 1, 3, 7, 13, 21,…. Bestimmen Sie ja:

i) es ist regelmäßig oder nicht

ii) ist quadratisch oder nicht

iii) war quadratisch, die Folge von Unterschieden und deren Grund

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Antworten

i) Berechnen wir den Differenz der folgende und die vorherige Begriff:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Wir können bestätigen, dass die Nachfolge S nicht regelmäßig ist, da der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen nicht konstant ist.

ii) Die Nachfolge der Unterschiede ist regelmäßig, da der Unterschied zwischen seinen Begriffen der Konstante Wert 2 ist. Daher ist die ursprüngliche Nachfolge quadratisch.

iii) Wir haben bereits festgestellt, dass S quadratisch ist, die Nachfolge der Unterschiede lautet:

S_Diff = 2, 4, 6, 8,… und sein Grund ist r = 2.

Übung 2

Seien Sie die Nachfolge s = 1, 3, 7, 13, 21,… des vorherigen Beispiels, wo es überprüft wurde, dass es quadratisch ist. Bestimmen:

i) die Formel, die den allgemeinen Begriff t bestimmt t_{N .}

ii) Überprüfen Sie die dritte und fünfte Amtszeit.

iii) den Wert des zehnten Terms.

Antworten

i) die allgemeine Formel von t_N ist ein ∙ n² + B ∙ n +c. Dann ist es bekannt, dass die Werte von a, b und c.

Die Folge der Unterschiede ist richtig 2. Zusätzlich zu jeder quadratischen Nachfolge beträgt R 2 ∙ A, wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt.

R = 2 ∙ a = 2, was uns zu dem Schluss bringt, dass a = 1.

Der erste Term der Nachfolge der Unterschiede s s_Diff Es ist 2 und muss bei ∙ (2n+1)+b mit n = 1 und a = 1 einhalten, dh:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1+1)+B

Clearing B wird erhalten: B = -1

Dann der erste Term von s (n = 1) Vale 1, dh: 1 = a ∙ 1² + B ∙ 1 + c. Da wir bereits wissen, dass A = 1 und B = -1 uns ersetzt, sind wir übrig:

1 = 1 ∙ 1² + (-1) ∙ 1 +c

Clearing C wird erhalten sein Wert: C = 1.

In Summe:

A = 1, b = -1 und c = 1

Dann ist der Begriff nur_N = n² - N + 1

ii) der dritte Term t₃ = 3² - 3 + 1 = 7 und wird verifiziert. Das fünfte t₅ = 5² - 5 + 1 = 21, das wird ebenfalls verifiziert.

iii) Der zehnte Term wird t sein₁₀ = 10² - 10 + 1 = 91.

Übung 3

Abfolge von Bereichen für Übung 3. Quelle: Selbst gemacht.

Die Abbildung zeigt eine Abfolge von fünf Figuren. Das Retikulat repräsentiert die Längeeinheit.

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i) Bestimmen Sie die Nachfolge für den Bereich der Figuren.

i) Zeigen Sie, dass es eine quadratische Nachfolge ist.

iii) Ermitteln Sie den Bereich von Abbildung 10 (nicht gezeigt).

Antworten

i) Die Nachfolge s entspricht der Fläche der Abfolge der Figuren:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) Die Nachfolge entspricht den aufeinanderfolgenden Unterschieden der Begriffe von S:

S_Diff = 2, 4, 6, 8,…

Da die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen nicht konstant sind, ist S keine regelmäßige Nachfolge. Es muss wissen, ob es quadratisch ist, für das wir wieder die Abfolge der Unterschiede machen und erhalten:

2, 2, 2, .. .

Da alle Begriffe der Sequenz wiederholt werden, wird bestätigt, dass S eine quadratische Nachfolge ist.

iii) Nachfolge s_Diff ist regelmäßig und sein Grund R ist 2. Unter Verwendung der zuvor nachgewiesenen Gleichung r = 2 ∙ A bleibt:

2 = 2 ∙ A, was impliziert, dass a = 1.

Der zweite Term der Nachfolge der Unterschiede s s_Diff Es ist 4 und das n-erd von s_Diff Ist

A ∙ (2n+1)+b.

Der zweite Term hat n = 2. Es wurde auch festgestellt, dass a = 1, sodass die vorherige Gleichung und das Ersetzen: sie ist:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2+1)+B

Clearing B wird erhalten: B = -1.

Es ist bekannt, dass die zweite Amtszeit von S 2 wert ist und dass die Formel des allgemeinen Begriffs mit n = 2 erfüllen muss:

T_N = A ∙ n² + B ∙ n +c; n = 2; A = 1; B = -1; T₂ = 2

Das heißt

2 = 1 ∙ 2² - 1 ∙ 2 + c

Es wird der Schluss gezogen, dass C = 0, das heißt, dass die Formel, die die allgemeine Begriff der Nachfolge s Angibt, lautet:

T_N = 1 ∙ n² - 1 ∙ n +0 = n² - N

Jetzt wird die fünfte Amtszeit verifiziert:

T₅ = 5² - 5 = 20

iii) Abbildung 10, die hier nicht gezogen wurde, wird den Bereich, der dem zehnten Term der S -Nachfolge entspricht, entspricht:

T₁₀ = 10² - 10 = 90

Verweise

1. https: // www.GeogeBra.Org