Summe der Riemann -Geschichte, Formeln und Eigenschaften, Übungen

Der Riemann Sum Es ist der Name, der die ungefähre Berechnung eines definierten Integrals mittels einer diskreten Summe mit einer endlichen Begriffszahl erhält. Eine gemeinsame Anwendung ist der Ansatz des Funktionsbereichs in einer Grafik.

Es war der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), der zum ersten Mal eine strenge Definition des Integrals einer Funktion in einem bestimmten Intervall anbot. Er kündigte es in einem 1854 veröffentlichten Artikel an. 

Abbildung 1. Die Summe von Riemann ist auf einer F -Funktion und einer Partition im Intervall [x0, x1] definiert. Quelle: Fanny Zapata.

Die Summe von Riemann ist auf einer y = f (x) -Funktion definiert, wobei X zum geschlossenen Intervall gehört [a, b]. In diesem Intervall wird eine Partition p von N -Elementen gemacht:

P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_N= B

Dies bedeutet, dass das Intervall wie folgt unterteilt ist:

 Hier t_k ist zwischen x_K-1 und x_k:

X_K-1 ≤ t_k ≤ x_k

Abbildung 1 zeigt die Summe von Riemann der F -Funktion im Intervall [x₀, X₄] Auf einer Partition von vier Subintervallen, grauen Rechtecken.

Die Summe repräsentiert die Gesamtfläche der Rechtecke, und das Ergebnis dieser Summe nähert sich numerisch an die Fläche unter der Kurve F, unter den Abscissas x = x₀ y x = x₄.

Natürlich verbessert sich der Ansatz in den Gebiet unter der Kurve stark, soweit die Zahl N von Partitionen ist größer.  Auf diese Weise konvergiert die Summe in die Fläche unter der Kurve, wenn die Zahl N Partitionen neigen zur Unendlichkeit.

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Formeln und Eigenschaften

Riemanns Summe der F (x) -Funktion auf der Partition:

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P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_N= B

Auf dem Intervall [a, b] definiert, wird es gegeben durch:

S (p, f) = ∑_{K = 1}^N f (t_k) (X_k - X_K-1) 

Wo t_k Es ist ein Wert im Intervall [x_k, X_K-1]. In der Summe von Riemann werden normalerweise regelmäßige Intervalle von Breiten verwendet Δx = (b - a)/n, wobei a und b die minimalen und maximalen Werte der Abszisse sind, während n die Anzahl der Unterabschnitte ist.

In diesem Fall der Riemanns richtige Summe Ist:

SD (f, n) = [f (a+Δx)+f (a+2δx)+…+f (a+(n-1) Δx)+f (b)]*Δx

Figur 2. Riemanns richtige Summe. Quelle: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)]].

Während Riemanns linke Summe Es wird ausgedrückt als:

Ja (f, n) = [f (a)+f (a+Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)*Δx

Figur 3. Summe von Riemann ging. Quelle: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)]]

Endlich, das Riemann Central Sum Ist:

Sc (f, n) = [f (a+Δx/2)+f (a+3δx/2)+…+f (b-Δx/2)]*Δx

Figur 4. Zwischensumme von Riemann. Quelle: Wikimedia Commons. 09Glasgow09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)]]

Abhängig davon, wo sich Punkt t befindet_k Im Intervall [x_k, X_K-1] Riemanns Summe kann den genauen Wert der Fläche unter der Funktionskurve von Y = F (x) überschätzen oder unterschätzen. Das heißt, die Rechtecke können sich aus der Kurve auszeichnen oder etwas darunter sein.

Der Bereich unter der Kurve

Die Haupteigenschaft der Summe von Riemann und von der seine Bedeutung wird, ist, dass, wenn die Anzahl der Unterabteilungen tendenziell unendlich ist, das Ergebnis der Summe zum definierten Integral der Funktion konvergiert:

Der vorherige Ausdruck entspricht der Definition von Riemanns Integral und gilt, sofern die F -Funktion kontinuierlich und weich ist. Für besondere Funktionen gibt es andere Definitionen des Integrals (Integral de Stieldjes und Integral de Lebesgue).

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Gelöste Übungen

- Übung 1

Berechnen Sie den Wert des zwischen a = -2 bis b = +2 der Funktion definierten Integrals:

f (x) = x²

Nutzen Sie eine Summe von Riemann. Finden Sie dazu die Summe für reguläre Partitionen des Intervalls [a, b] und nehmen Sie dann die mathematische Grenze für den Fall, dass die Anzahl der Partitionen in Unendlichkeit speichert. 

Lösung

Dies sind die folgenden Schritte:

-Erstens ist das Partitionsintervall definiert als: 

Δx = (b - a)/n. 

-Dann ist die Summe von Riemann auf der rechten Seite der Funktion F (x) wie folgt:

-Jetzt werden sie a = -2 und b =+2 ersetzt, so dass das Intervall oder der Schritt Δx = 4/n. Das heißt, dass die Summe von Riemann für die Funktion f (x) = x² Ist:

-Dann wird das quadratische Binomial entwickelt: 

[-2 +(4i/n)]² = 4 - (16 I /N) + (4 /N)² Yo²

-Und dann wird es sorgfältig in der Summe ersetzt:

-Der nächste Schritt besteht darin, die Zusammenfassungen zu trennen und die konstanten Mengen als häufiger Faktor jeder Summe zu entfernen. Es ist notwendig zu berücksichtigen, dass der Index i ist, daher die Zahlen und die Begriffe mit N Sie werden als konstant angesehen:

-Jede Summe wird bewertet, da es für jede von ihnen geeignete Ausdrücke gibt. Zum Beispiel die erste der Zusammenfassungen da n:

Der zweite ist:

 Und der dritte ist:

 -Ersetzt die Ergebnisse der Zusammenfassungen in der Summe von Riemann und wird schließlich erhalten:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²

-Schließlich müssen Sie das Integral berechnen, ist:

= lim_N➝∞ [16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²] =

= 16 -(64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333

Der Leser kann überprüfen.

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- Übung 2

Bestimmen Sie ungefähr die Fläche unter der Funktion: 

f (x) = (1/√ (2π) e^(-X2/2)

Zwischen x = -1 und x =+1 unter Verwendung einer zentralen Summe von Riemann mit 10 Partitionen. Vergleichen Sie mit dem genauen Ergebnis und schätzen Sie die prozentuale Differenz ab.

Lösung

Der Schritt oder die Erhöhung zwischen zwei aufeinanderfolgenden diskreten Werten ist:

Δx = (1 - (-1)/10 = 0,2

So dass die P -Partition, auf der die Rechtecke definiert sind, wie folgt ist:

P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0

Aber wie Sie die zentrale Summe wollen, wird die Funktion f (x) in den mittleren Punkten der Subintervalen bewertet, dh im Set:

T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.

Riemanns Summe (zentral) ist wie folgt:

S = f (-0,9)*0,2 +f (-0,7)*0,2 +f (-0,5)*0,2 +… +F (0,7)*0,2 +F (0,9)*0,2

Da die F -Funktion symmetrisch ist, ist es möglich, die Summe auf nur 5 Begriffe zu reduzieren, und das Ergebnis wird mit zwei multipliziert:

S = 2*0,2*f (0,1)+ f (0,3)+ f (0,5)+ f (0,7)+ f (0,9)

S = 2*0,2*0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683

Die in diesem Beispiel angegebene Funktion ist nichts anderes als die gut bekannte Gauß -Glocke (normalisiert, mit einem Durchschnitt von Null und Standardabweichung. Es ist bekannt, dass die Fläche unter der Kurve im Intervall [-1,1] für diese Funktion 0,6827 beträgt.

Abbildung 5. Fläche unter einer ungefähren Gauß -Glocke durch eine Summe von Riemann. Quelle: f. Zapata.

Dies bedeutet, dass die ungefähre Lösung mit nur 10 Begriffen mit der genauen Lösung bis zu drei Dezimalstellen übereinstimmt. Der prozentuale Fehler zwischen dem ungefähren Integral und dem Genau beträgt 0,07%.

Verweise

1. Casteleiro, J. M., & Gómez-Alvarez, R. P. (2002). Umfassende Berechnung (dargestellt ED.). Madrid: ESIC Editorial.
2. Unican. Geschichte des Konzepts des Integrals. Wiederhergestellt von: Repository.Unican.Ist
3. Uis. Riemann Summen. Erholt von: Mathematik.Uis.Edu.CO
4. Wikipedia. Riemann Sum. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Integration von Riemann. Geborgen von: ist.Wikipedia.com