Summe der Vektoren Grafikmethode, Beispiele, gelöste Übungen

Der Summe von Vektoren Es ist der Additionsbetrieb zwischen Vektoren, der zu einem anderen Vektor führt. Vektoren sind durch Größe und auch Richtung und Bedeutung gekennzeichnet. Daher ist es im Allgemeinen nicht möglich, sie hinzuzufügen, wie es mit skalaren Mengen geschehen würde, das heißt, Zahlen hinzuzufügen.

Der aus der Summe von mehreren Vektoren erhaltene Vektor heißt resultierender Vektor. In der Mechanik sprechen wir über die resultierende Kraft, Welches ist die Vektorsumme aller Kräfte auf einem Körper. Dieses Ergebnis entspricht dem Satz oder dem System von Kräften.

Um den Summenvektor vollständig anzugeben, ist es notwendig, die Größe und Einheit, Richtung und Bedeutung anzuzeigen.

Es ist wichtig hervorzuheben, dass diese durch Hinzufügen von Vektoren die gleiche physikalische Größe darstellen müssen. Daher ist die Vektorsumme eine homogene Operation. Dies bedeutet, dass wir eine Kraft mit einer anderen hinzufügen können, aber keine Kraft mit einer Verschiebung, da das Ergebnis bedeutungslos ist.

Es stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, um den resultierenden Vektor zu finden: Grafik und Analyse. Um Vektorsummen mit grafischen Methoden zu finden, basiert es auf einer einfachen Darstellung für einen Vektor, nämlich einem segmentorientierten oder Pfeil wie folgt:

Grafische Darstellung eines Vektors in der Ebene. Quelle: f. Zapata.

Die Vektoren werden durch schwarze Buchstaben in gedrucktem Text oder mit einem Pfeil über den Buchstaben bezeichnet, um sie von ihren jeweiligen Größen oder der Skalarmengen zu unterscheiden. Zum Beispiel die Größe des Vektors v Es ist einfach v.

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Grafikmethode zum Hinzufügen von Vektoren

Um mehr als zwei Couplet -Vektoren hinzuzufügen, die Polygon -Methode entweder Polygon, das besteht darin, sich auf jeden der angesprochenen Vektoren zu übertragen. Ein Merkmal der Vektoren ist, dass sie in Bezug auf die Übersetzung unveränderlich sind. Daher werden wir diese Eigenschaft verwenden, um die Summe festzulegen.

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Es beginnt mit einem der Vektoren, da der Vektorabzug kommutativ ist und die Reihenfolge der Ergänzungen die Summe nicht verändert. Der zweite Vektor bewegt sich unten und entspricht seinem Ursprung mit dem Ende des ersten.

Dann wird es zum nächsten Vektor gebracht und dann das gleiche Verfahren einlegen, das mit dem Ende des vorherigen den Ursprung entspricht. Wir gehen auf diese Weise vor, um den letzten Vektor zu positionieren.

Der resultierende Vektor ist derjenige, der sich dem Ursprung des ersten mit dem freien Ende des letzten verbindet. Der Name dieser Methode stammt aus der Abbildung, die sich ergibt: ein Polygon.

Beispiel

Summenbeispiel von zwei Vektoren in der Ebene nach der grafischen Methode. Quelle: Wikimedia Commons

Nehmen wir als Beispiel die Summe von zwei Vektoren oder Und v das ist in der oberen Abbildung gezeigt.

Beginnend mit dem Vektor oder, Er wechselte zum Vektor v Um seinen Ursprung mit dem Ende des ersten zu entsprechen. Der resultierende Vektor W Es wird aus dem Ursprung von entnommen oder bis zum Ende von v, Bilden einer Dreieck -Abbildung: ein Dreieck. Deshalb wird in diesem Sonderfall das Verfahren aufgerufen Dreiecksmethode.

Beachten Sie ein wichtiges Detail, die Größe oder das Modul des resultierenden Vektors ist nicht die Summe der Module der zusätzlichen Vektoren. Tatsächlich ist es fast immer weniger, es sei denn, die Vektoren sind parallel.

Mal sehen, was in diesem Fall passiert.

Sonderfall: Summe paralleler Vektoren

Die beschriebene Methode kann auch auf den Sonderfall angewendet werden, in dem Vektoren parallel sind. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Kann Ihnen dienen: Boltzmann Konstante: Geschichte, Gleichungen, Berechnung, ÜbungenSumme paralleler Vektoren. Quelle: f. Zapata.

Der Vektor bleibt übrig v In seiner ursprünglichen Position und bewegt sich zum Vektor oder so, dass sein Ursprung mit dem Ende von übereinstimmt  v. Jetzt wird ein Vektor aus dem Ursprung von von entnommen v Und das Ende von oder.

Dies ist der resultierende Vektor W und seine Größe ist die Summe der Größen der Anzeigen. Die Richtung und Richtung der drei Vektoren ist gleich.

Der resultierende Vektor hat ein maximales Modul, wenn die Addoren einen Winkel von 0 ° bilden, z. B. die des Beispiels. Wenn die Vektoren einen Winkel von 180 ° miteinander bilden, hat der resultierende Vektor ein Mindestmodul.

Beispiele für die Summe von Vektoren

- Verschiebungen

Ein Radfahrer reist zuerst 3 km nach Norden und dann 4 km westlich. Ihre Verschiebung, die wir nennen R, Es ist leicht mit der Dreiecksmethode sowie einem Referenzsystem zu finden, bei dem Kardinalpunkte gekennzeichnet sind:

Resultiert aus zwei Verschiebungen. Quelle: f. Zapata.

Schritte zum Hinzufügen von Vektor

-Der Ausgangspunkt fällt mit dem Ursprung des Referenzsystems zusammen.

-Auf den Koordinatenachsen wird eine Skala ausgewählt, die in diesem Fall 1 cm = 1 km beträgt

-Die erste Verschiebung wird im Maßstab gezeichnet D_1.

-Dann ein D₁ Die zweite Verschiebung wird gezeichnet D₂, Auch im Maßstab.

-Die resultierende Verschiebung R Es ist ein Vektor, der vom Ursprung bis zum Ende von führt D₂.

-Die Größe von R Es wird mit einer abgestuften Regel gemessen, es ist leicht zu überprüfen, ob r = 5.

-Endlich der Winkel der R Form mit der Horizontalen wird mit Hilfe eines Transporters gemessen und stellt sich als θ = 37 heraus ⁰

- Resultierende Geschwindigkeit

Ein Schwimmer möchte einen Fluss überqueren und für dieses Nichts mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h, senkrecht zum Ufer, sondern eine Strömung, die eine Geschwindigkeit von 4 km/h hat, weicht ihn ab.

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Um seine resultierende Geschwindigkeit zu kennen, werden die Schwimmergeschwindigkeitsvektoren hinzugefügt, die vertikal und aktuell gezogen wurden, was horizontal ist.

Nach der grafischen Methode wird die resultierende Geschwindigkeit erhalten v_R:

Resultierende Geschwindigkeit. Quelle: f. Zapata.

Die Abweichung des Schwimmers kann berechnet werden durch:

θ = arctg (4/6) = 33.7. rechts von Ihrer ersten Adresse

Die Größe seiner Geschwindigkeit wird erhöht, da die Geschwindigkeit des Flusses Vektorly verleiht. Sie können eine Skala sorgfältig finden, wie im vorherigen Beispiel.

Oder mit Hilfe der trigonometrischen Gründe von 33.7.:

Sen 33.7th = 4/v_R

v_R = 4/ sin 33.7. = 7.21 km/h

Übung gelöst

Auf einem Teilchen handeln die folgenden Kräfte, deren Größen unten aufgeführt sind:

F₁= 2.5 n; F₂= 3 n; F₃= 4 n; F₄= 2.5 n

Finden Sie die resultierende Kraft.

Das koplanare Kräftesystem. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Wir können grafisch mit einem der Vektoren grafisch hinzufügen, da die Vektorsumme kommutativ ist.

In Abbildung A begann mit F₁. Einrichtung einer Skala und mit Hilfe von Regel und Kader werden die anderen Vektoren übertragen, um sie nacheinander zu platzieren.

Der Vektor F_R ist aus dem Ursprung von gerichtet F₁ bis zum Ende von F₄. Seine Größe beträgt 5.2 n und bildet einen Winkel von 26.5. in Bezug auf die Horizontale.

Vektorgrafiksumme. Quelle: f. Zapata.

In Abbildung B wurde das gleiche Problem gelöst, beginnend mit F₃ und enden mit F₄, Dasselbe bekommen F_R .

Die Polygone sind unterschiedlich, aber das Ergebnis ist das gleiche. Der Leser kann die Reihenfolge der Vektoren erneut testen.

Verweise

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2. Bedford, 2000. ZU. Mechanik für das Engineering: Statisch. Addison Wesley.
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4. Giambattista, a. 2010. Physik. 2. Ed. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 1.