Teleskopischer Sommer, wie es gelöst wird und gelöst wird Übungen

Der Summe Teleskopisch Es ist ein Zweig der Operationen mit numerischen Serien. Befasst sich mit den Zusammenfassungen von Elementen von einem Anfangswert zu „n“ von Ausdrücken, deren Argument auf eines der folgenden Muster zurückzuführen ist:

(F_X - F_x+1); F_x+1  - F_X)

Wo sein zusammenfassender Ausdruck wie folgt definiert ist:

Sowie:

Quelle: Pixabay.com

Sie repräsentieren eine Summe von Elementen, die bei der Entwicklung einer Stornierungen entgegengesetzter Begriffe unterliegen. Verursacht die folgende Gleichheit für teleskopische Summierungen:

Sein Name stammt aus der Beziehung mit dem Erscheinungsbild eines klassischen Teleskop. In ähnlicher Weise können teleskopische Summen, die in ihrer Natur unendlich sind, in einem vereinfachten Ausdruck zusammengefasst werden:

F₁ - F_N+1

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Demonstration

Bei der Entwicklung der Summe der Begriffe ist die Beseitigung von Faktoren ziemlich offensichtlich. Wo für jeden der Fälle entgegengesetzte Elemente in der folgenden Iteration erscheinen.

Der erste Fall wird als Beispiel (f_X - F_x+1), da der Prozess homolog funktioniert (f_x+1-F_X).

Entwicklung der ersten 3 Werte 1, 2, 3 Die Vereinfachungsneigung wird beobachtet

X₁     (F₁ - F₁₊₁) = F₁ - F₂

X₂     (F₂ - F₂₊₁) = F₂ - F₃

X₃     (F₃ - F₃₊₁) = F₃ - F₄

Wo durch Ausdrücken der Summe der beschriebenen Elemente:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂ + F₂ - F₃ + F₃ - F₄

Es wird beobachtet, dass die Begriffe f₂ und f₃ Sie werden mit ihren Gegensätzen beschrieben, was ihre Vereinfachung unvermeidlich macht. Auf die gleiche Weise wird beobachtet, dass die Begriffe f₁ und f₄ bleiben.

Wenn die Summe aus x = 1 bis x = 3 hergestellt wurde, bedeutet dies, dass Element f₄ entspricht dem generischen Begriff f_N+1.

So zeigen Sie Gleichheit:

Wie wird es gelöst??

Der Zweck teleskopischer Summierungen besteht darin, die Arbeit zu erleichtern, damit es nicht erforderlich ist, eine unendliche Menge an Begriffen zu entwickeln oder eine zu lange Kette zu vereinfachen.

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Für die Lösung wird es nur notwendig sein, die Begriffe f zu bewerten f₁ und f_N+1. Diese einfachen Substitutionen machen das Endergebnis der Summe aus.

Die Gesamtheit der Begriffe wird nicht ausgedrückt und wird für die Demonstration des Ergebnisses notwendig, jedoch nicht für den normalen Berechnungsprozess.

Das Wichtigste ist, die Konvergenz der numerischen Serie zu bemerken. Manchmal wird das Argument der Summe nicht auf teleskopische Weise ausgedrückt. In diesen Fällen ist die Implementierung alternativer Faktorisierungsmethoden sehr häufig.

Die charakteristische Faktorisierungsmethode in Teleskopzusammenfassungen ist die von einfachen Brüchen. Dies tritt auf, wenn sich eine ursprüngliche Fraktion in eine Summe mehrerer Fraktionen zersetzt, bei denen das Teleskopmuster beobachtet werden kann (F_X - F_x+1) oder (f)_x+1  - F_X).

Zersetzung in einfachen Brüchen

Um die Konvergenz numerischer Serien zu überprüfen, ist es sehr häufig, rationale Ausdrücke mit der einfachen Fraktionenmethode zu transformieren. Ziel ist es, das Argument bis zur Form einer teleskopischen Summe zu modellieren.

Beispielsweise repräsentiert die folgende Gleichheit eine Zerlegung in einfachen Fraktionen:

Bei der Entwicklung der numerischen Reihe und der Anwendung der entsprechenden Eigenschaften dauert der Ausdruck wie folgt:

Wo die teleskopische Form zu sehen ist (f_X - F_x+1).

Das Verfahren ist ziemlich intuitiv und besteht darin, die Werte des Zählers zu finden, die ohne die Gleichheit zu ermöglichen, die Produkte zu trennen, die im Nenner enthalten sind. Die Gleichungen, die bei der Bestimmung dieser Werte entstehen, werden nach Vergleiche zwischen beiden Seiten der Gleichheit angehoben.

Dieses Verfahren wird Schritt für Schritt bei der Entwicklung von Übung 2 beobachtet.

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Geschichte

Es ist ziemlich ungewiss, in der Lage zu sein, den historischen Moment zu definieren, in dem die teleskopischen Summierungen vorgestellt wurden. Die Umsetzung beginnt jedoch im 17. Jahrhundert in numerischen Serienstudien von Leibniz und Huygens zu beobachten.

Beide Mathematiker werden bei der Erforschung der Summierungen der dreieckigen Zahlen auf die Konvergenz bestimmter Reihe aufeinanderfolgender Elemente aufmerksam machen. Noch interessanter ist der Beginn der Modellierung dieser Ausdrücke, in Elementen, die nicht unbedingt passieren.

Tatsächlich bezieht sich der Ausdruck, der zuvor verwendet wurde, um sich auf einfache Fraktionen zu beziehen:

Es wurde von Huygens präsentiert und sofort Leibnizs Aufmerksamkeit bezeichnet. Wer im Laufe der Zeit die Konvergenz zu Wert 2 beobachten könnte. Ohne es zu wissen, implementierte es die teleskopische Summierung.

Übungen

Übung 1

Definieren Sie, welcher Begriff die folgende Summe konvergiert:

Wenn die Summe manuell entwickelt wird, wird das folgende Muster beobachtet:

(2³ - 2⁴) + (2⁴ - 2⁵) + (2⁵ - 2⁶)… (2¹⁰ - 2^elf)

Wo die Faktoren von 2⁴ bis zu 2¹⁰ Sie präsentieren positive und negative Teile, wodurch ihre Stornierung erkennbar ist. Dann sind die einzigen Faktoren, die nicht vereinfacht werden, die ersten „2³"Und das letzte" 2^elf".

Auf diese Weise wird bei der Implementierung der Teleskopzusammenfassungskriterien erhalten:

Übung 2

Verwandeln Sie das Argument in eine Teleskopsumme und definieren Sie die Konvergenz der Serie:

Wie in der Aussage angegeben, wird es als erstes darin bestehen, sich in einfachen Brüchen zu zersetzen, um das Argument zu überdenken und es in teleskopischer Form auszudrücken.

2 Brüche, deren Nenner jeweils „N“ und „N+1“ sind.

Die Werte von A und B sind definiert. Es wird eine erste Summe von Brüchen gemacht.

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Dann werden Nenner vereinfacht und eine lineare Gleichung festgelegt.

Im nächsten Schritt wird der Ausdruck der rechten betrieben, bis ein mit der „3“ vergleichbarer Muster links vergleichbar ist.

Um die zu verwendenden Gleichungen zu definieren, müssen die Ergebnisse beider Seiten der Gleichheit verglichen werden. Das heißt, auf der linken Seite werden keine Variablen -n -Werte beobachtet, auf diese Weise muss A +B gleich Null sein.

A + b = 0; A = -b

Andererseits muss der konstante Wert gleich dem konstanten Wert 3 sein.

A = 3

Deshalb.

A = 3 und b = -3

Bereits definierte die Werte des Zählers für einfache Fraktionen, die Summe ist überdenken.

Wo die generische Form der teleskopischen Summierung bereits erreicht wurde. Die Teleskopserie wird entwickelt.

Wo durch eine sehr große Anzahl das Ergebnis immer mehr annähern wird und die Konvergenz der Serie auf Wert 3 beobachtet.

Diese Art von Serien konnte aufgrund der unendlichen Anzahl von Iterationen, die das Problem definieren, mit anderen Worten nicht gelöst werden. Diese Methode rahmen jedoch zusammen mit vielen anderen den Studienzweig der numerischen Reihe ein, dessen Ziel es ist, die Konvergenzwerte zu bestimmen oder die Divergenz dieser Serien zu definieren.

Verweise

1. Infinitesimale Berechnungsunterricht. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. Editum, 1994.
2. Umfassende Berechnung: Folge und Reihe von Funktionen. Antonio Rivera Figueroa. Patria Redaktionsgruppe, 21. Oktober. 2014.
3. Ein Kurs in Kalkül und reale Analyse. Sudhir r. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. Juni. 2006.
4. Unendliche Serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Elemente der Theorie der unendlichen Prozessionen. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorpan, 1923.