Zähltechniken Techniken, Anwendungen, Beispiele, Übungen

Der Zähltechniken Sie handelt. Diese werden verwendet, wenn Konten manuell durch die große Anzahl von Objekten und/oder Variablen kompliziert werden.

Zum Beispiel ist die Lösung für dieses Problem sehr einfach: Stellen Sie sich vor, Ihr Chef bittet Sie, die neuesten Produkte zu zählen, die in der letzten Stunde angekommen sind. In diesem Fall könnten Sie die Produkte nacheinander zählen.

Stellen Sie sich jedoch vor, das Problem ist Folgendes: Ihr Chef bittet Sie zu zählen, wie viele Gruppen von 5 Produkten desselben Typs mit denen gebildet werden können, die in der letzten Stunde angekommen sind. In diesem Fall ist die Berechnung kompliziert. Für diese Arten von Situationen werden so genannte Zähltechniken verwendet.  

Diese Techniken sind mehrere, aber die wichtigsten sind in zwei Grundprinzipien unterteilt, die multiplikativ und additiv sind. Permutationen und Kombinationen.

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Multiplikatives Prinzip

Anwendungen

Das multiplikative Prinzip zusammen mit dem Additiv ist grundlegend, um den Betrieb von Zähltechniken zu verstehen. Im Falle des Multiplikativen besteht es aus folgenden:

Stellen Sie sich eine Aktivität vor, die eine bestimmte Anzahl von Schritten (die Gesamtsumme, die wir als "r" markieren), bei der der erste Schritt in N1 -Formularen, dem zweiten Schritt von N2 und dem Schritt "r" von NR -Formularen durchgeführt werden kann. In diesem Fall könnte die Aktivität in der Anzahl der Formulare erfolgen, die sich aus dieser Operation ergeben: N1 x N2 x .. .x nr Formen

Deshalb wird dieses Prinzip als multiplikativ bezeichnet und impliziert, dass jeder einzelne der für die Ausführung der Aktivität erforderlichen Schritte nach dem anderen durchgeführt werden muss. 

Beispiel

Stellen wir uns eine Person vor, die eine Schule bauen möchte. Bedenken Sie dazu, dass die Basis des Gebäudes auf zwei verschiedene Arten gebaut werden kann, Zement oder Beton. Was die Wände betrifft, können sie Adobe, Zement oder Ziegelstein sein.

Das Dach kann aus Zement oder verzinktem Blatt gebaut werden. Schließlich kann das endgültige Gemälde nur in gewisser Weise durchgeführt werden. Die Frage, die sich wie folgt stellt?

Zunächst betrachten wir die Anzahl der Schritte, die die Basis, die Wände, das Dach und das Gemälde sein würden. Insgesamt 4 Schritte, also r = 4.

Kann Ihnen dienen: Rolle der Rolle

Das Folgende wäre, das N aufzulisten:

N1 = Möglichkeiten, die Basis zu bauen = 2

N2 = Möglichkeiten, die Wände zu bauen = 3

N3 = Möglichkeiten, das Dach zu machen = 2

N4 = Möglichkeiten zur Ausführung von Farbe = 1

Daher würde die Anzahl der möglichen Möglichkeiten durch die oben beschriebene Formel berechnet:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 Möglichkeiten zur Durchführung der Schule.

Additivprinzip

Anwendungen

Dieses Prinzip ist sehr einfach und es ist, dass bei mehreren Alternativen zur Ausführung der gleichen Aktivitäten die möglichen Möglichkeiten aus der Summe der verschiedenen möglichen Möglichkeiten der Ausführung aller Alternativen bestehen.

Mit anderen Worten, wenn wir eine Aktivität mit drei Alternativen ausführen wollen, bei denen die erste Alternative in m -Formen, die zweite von n Formen und die letzten W -Formen durchgeführt werden kann, kann die Aktivität aus durchgeführt werden: m + n + … + W forms.

Beispiel

Stellen Sie sich diesmal vor, eine Person, die einen Tennisschläger kaufen möchte. Dazu haben Sie drei Marken zur Auswahl: Wilson, Babolat oder Head.

Wenn er in den Laden geht, sieht er, dass der Wilson -Schläger in vier verschiedenen Modellen mit zwei verschiedenen Größen, L2 oder L3.

Der Babolat -Schläger hingegen hat drei Mangos (L1, L2 und L3), es gibt zwei verschiedene Modelle und können auch gebunden oder ohne Sticken gebunden werden.

Der Kopfschläger ist inzwischen nur mit einer Mango, L2, in zwei verschiedenen Modellen und nur ohne Stick. Die Frage ist: Wie viele Möglichkeiten muss diese Person ihren Schläger kaufen??

M = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl eines Wilson -Schlägers

N = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl eines Babolat -Schlägers

W = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl eines Kopfregals auswählen

Wir führen das Multiplikator -Prinzip durch:

M = 2 x 4 x 2 = 16 Formen

N = 3 x 2 x 2 = 12 Formen

W = 1 x 2 x 1 = 2 Formen

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 Möglichkeiten zur Auswahl eines Schlägers.

Zu wissen, wann das multiplikative Prinzip und der Additiv müssen.

Permutationen

Anwendungen

Um zu verstehen, was eine Permutation ist, ist es wichtig zu erklären, was eine Kombination ist, um sie zu unterscheiden und zu wissen, wann sie verwendet werden müssen.

Eine Kombination wäre eine Anordnung von Elementen, an denen wir nicht an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

Eine Permutation andererseits wäre eine Anordnung von Elementen, an denen wir an der Position interessiert sind, die jeder von ihnen einnimmt.

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Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um den Unterschied besser zu verstehen.

Beispiel

Stellen Sie sich eine Klasse mit 35 Schülern und mit den folgenden Situationen vor:

1. Der Lehrer möchte, dass drei seiner Schüler ihm helfen, die Klasse sauber zu halten oder Materialien an die anderen Schüler zu liefern, wenn er sie braucht.
2. Der Lehrer möchte Klassendelegierte (einen Präsidenten, einen Assistenten und ein Finanzmittel) ernennen.

Die Lösung wäre wie folgt:

1. Stellen Sie sich vor, Juan, María und Lucía werden ausgewählt, um die Klasse zu reinigen oder die Materialien zu liefern. Offensichtlich hätten sich andere Gruppen von drei Personen unter den 35 möglichen Studenten bilden können.

Wir müssen uns Folgendes fragen: Ist die Reihenfolge oder Position von jedem der Schüler wichtig, um sie auszuwählen?

Wenn wir darüber nachdenken, sehen wir, dass es wirklich nicht wichtig ist, da sich die Gruppe gleichermaßen um die beiden Arbeiten kümmert. In diesem Fall handelt es sich um eine Kombination, da wir uns nicht für die Position der Elemente interessieren.

2. Stellen wir uns nun vor, Juan wird als Präsident Maria als Assistent und Lucia als Finanzmittel gewählt.

In diesem Fall würde die Bestellung eine Rolle spielen? Die Antwort lautet Ja, da wenn wir die Elemente ändern, ändern Sie das Ergebnis. Das heißt, wenn wir Juan als Präsident als Assistent und Maria als Präsident einsetzen, würde sich das Endergebnis ändern. In diesem Fall ist es eine Permutation.

Sobald der Unterschied verstanden ist, erhalten wir die Formeln der Permutationen und Kombinationen. Bevor Sie jedoch den Begriff „N definieren müssen!”(Ene Factorial), wie es in den verschiedenen Formeln verwendet wird.

N!= zum Produkt von 1 bis n.

N!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

Verwenden Sie es mit realen Zahlen:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3,628.800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Die Permutationsformel wäre wie folgt:

Npr = n!/(N-r)!

Damit können wir die Arrangements herausfinden, wo die Reihenfolge wichtig ist und wo die Elemente unterschiedlich sind.

Kombinationen

Anwendungen

Wie wir oben erwähnt haben, sind die Kombinationen die Arrangements, bei denen wir uns nicht um die Position der Elemente kümmern.

Seine Formel ist wie folgt:

Ncr = n!/(N-r)!R!

Beispiel

Wenn es 14 Studenten gibt, die Freiwillige sein möchten, um das Klassenzimmer zu reinigen, wie viele Reinigungsgruppen können gebildet werden, wenn jede Gruppe 5 Personen sein muss?

Die Lösung wäre daher die folgende:

N = 14, r = 5

14c5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 Gruppen

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Gelöste Übungen

Übung 1

Quelle: Pixabay.com

Natalia wird von ihrer Mutter beauftragt, in ein Food -Geschäft zu gehen und ein Soda zu kaufen, um sich abzukühlen. Als Natalia das abhängige Trinken fragt, erzählt er ihm, dass es vier Aromen von Limonaden, drei Arten und drei Größen gibt.

Die Aromen von Erfrischungsgetränken können sein: Schwanz, Zitrone, Orange und Minze.

Arten von Schwanz -Erfrischungsgetränken können: normal, ohne Zucker, ohne Koffein.

Die Größen können sein: klein, mittel und groß.

Natalias Mutter gab nicht an?

Lösung

M = Größe und Typ Nummer Sie können bei der Auswahl des Hecksatones auswählen.

N = Größe und Typ Nummer Sie können bei der Auswahl des Zitronen -Soda auswählen.

W = Größe und Typzahlen Sie bei der Auswahl des Orangen -Soda auswählen können.

Y = Größe und Typ Nummer Sie können bei der Auswahl des Minz -Soda auswählen.

Wir führen das Multiplikator -Prinzip durch:

M = 3 × 3 = 9 Formen

N = 3 × 3 = 9 Formen

W = 3 × 3 = 9 Formen

Y = 3 × 3 = 9 Formen

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 Möglichkeiten zur Auswahl des Soda.

Übung 2

Quelle: Pixabay.com

Ein Sportclub kündigt Workshops mit freien Zugang an, damit Kinder zum Skaten lernen. 20 Kinder sind registriert, daher beschließen zwei Gruppen von zehn Personen, sich zu teilen, damit die Ausbilder den Unterricht komfortabler geben können.

Wiederum beschließen sie zu überwinden, welche Gruppe jedes Kind fallen wird. In wie vielen verschiedenen Gruppen könnte ein Kind eintreten.

Lösung

In diesem Fall ist der Weg, eine Antwort zu finden!/(N-r)!R!

n = 20 (Anzahl der Kinder)

  R = 10 (Gruppengröße)

20c10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 Gruppen.

Verweise

1. Jeffrey, r.C., Wahrscheinlichkeit und Kunst des Gerichts, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen“, (Band 1), 3. Auflage, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logische Grundlagen und Messung der subjektiven Wahrscheinlichkeit". Psychologische Handlung.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Einführung in die mathematische Statistik (6. Aufl.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, j. (2001) Die Wissenschaft der Vermutung: Beweise und Wahrscheinlichkeit vor Pascal,Johns Hopkins University Press.