Theorie der Mengen Eigenschaften, Elemente, Beispiele, Übungen

Der Mengenlehre Es ist ein Zweig der Logikmathematik, der für das Untersuchung von Beziehungen zwischen als Sets bezeichneten Sets verantwortlich ist. Die Sets sind durch Sammlungen von Objekten der gleichen Natur gekennzeichnet. Diese Objekte sind die Elemente des Satzes und können: Zahlen, Buchstaben, geometrische Figuren, Wörter, die Objekte, die Objekte selbst und andere darstellen.

Es war Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts, der die Sets vorschlug. Während andere bemerkenswerte Mathematiker im 20. Jahrhundert ihre Formalisierung machten: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel unter anderem.

Abbildung 1. Venn -Diagramm der Sets A, B und ihrer Kreuzung A⋂ B. (Eigene Ausarbeitung).

Venn -Diagramme sind die grafische Methode, um einen Satz darzustellen, und besteht aus einer geschlossenen flachen Figur, in der die Elemente des Satzes sind.

Zum Beispiel zeigt Abbildung 1 zwei Sätze A und B, die Elemente gemeinsam haben, die Elemente, die A und B gemeinsam sind. Diese bilden einen neuen Satz, der als Schnittsatz von A und B bezeichnet wird und symbolisch wie folgt geschrieben ist:

A ∩ B

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Eigenschaften

Der Satz ist ein primitives Konzept, wie es in der Geometrie das Konzept von Punkt, gerade oder flach ist. Es gibt keinen besseren Weg, um das Konzept auszudrücken, als auf Beispiele hinzuweisen: 

Das Set und gebildet durch die Farben der Flagge Spaniens. Diese Art, das Set auszudrücken, wird durch Verständnis aufgerufen. Das gleiche und geschriebene Set und geschrieben ist:

E = rot, gelb

In diesem Fall sind Rot und Gelb Elemente des Sets und. Es ist zu beachten, dass die Elemente zwischen den Schlüsseln aufgeführt sind und nicht wiederholt werden. Im Falle der spanischen Flagge gibt es drei Farbenstreifen (rot, gelb, rot). Zwei werden wiederholt, aber die Elemente werden nicht wiederholt, wenn der Satz ausgedrückt wird.

Angenommen, Set V, das durch die ersten drei Stimmbuchstaben gebildet wird:

V = a, e, i

Die Kraft von V, die mit P (v) bezeichnet wird, ist der Satz aller Sätze, die mit den Elementen von V gebildet werden können:

P (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i

Arten von Sätzen

Endliche Menge

Es ist ein Satz, in dem seine Elemente zählbar sind. Beispiele für endliche Sätze sind die Buchstaben des spanischen Alphabets, die Vokale der Spanisch, die Planeten des Sonnensystems unter anderem. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Satzes heißt seine Kardinalität.

Infinite Set

Unendliches Ensemble, jeder, der die Anzahl seiner Elemente unberührt ist, da die Anzahl seiner Elemente unabhängig davon, wie groß die Anzahl seiner Elemente ist, immer möglich ist, mehr Elemente zu finden.

Ein unendliches Set -Beispiel ist der Satz natürlicher Zahlen n, das wie folgt ausgiebig ausgedrückt wird:

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N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . ist eindeutig ein unendliches Set, da es keine Rolle spielt, wie groß eine natürliche Zahl sein kann, kann das folgende Hauptfach immer in einem endlosen Prozess finden. Offensichtlich ist die Kardinalität eines unendlichen Satzes ∞.

Leeres Set

Es ist der Satz, der kein Element enthält. Der leere Satz V wird durch Ø oder durch ein Paar Schlüssel ohne Elemente bezeichnet:

V = = Ø.

Das leere Set ist eindeutig, daher muss es falsch sein, "ein leeres Set" zu sagen. Die richtige Form lautet: "Das leere Set" zu sagen.

Unter den Eigenschaften des leeren Satzes befindet sich die Untergruppe eines beliebigen Satzes:

Ø ⊂ a

Wenn ein Satz der leere Set unter Teilmenge ist, ist dieser Satz notwendigerweise die Leere:

A ⊂ Ø ⇔ a = Ø

Einheitliche Set

Es wird als einheitliche Set bezeichnet, das ein einzelnes Element enthält. Zum Beispiel ist die Menge der natürlichen Satelliten der Erde ein Einheitssatz, dessen einziges Element der Mond ist. SET B der ganzen Zahlen kleiner als 2 und größer als Null hat nur Element 1, daher handelt es sich daher um ein Einheitssatz.

Binärer Satz

Ein Set ist binär, wenn es nur zwei Elemente hat. Zum Beispiel eingestellt x, so dass x eine reelle Anzahl von x^2 = 2 = 2 ist. Dieser gesetzliche Set ist so geschrieben:

X = -√2, +√2

universelles Set

Der Universal Set ist ein Satz, der andere Sätze des gleichen Typs oder der gleichen Natur enthält. Zum Beispiel ist der universelle Satz natürlicher Zahlen der Satz realer Zahlen. Aber reale Zahlen sind auch universell von ganzen Zahlen und rationalen Zahlen.

Kernpunkte

- Beziehungen zwischen Sets

In den Sets können Sie verschiedene Arten von Beziehung zwischen ihnen und ihren Elementen herstellen. Wenn zwei Sätze A und B genau die gleichen Elemente haben, wird eine gleiche Beziehung wie folgt bezeichnet:

ZU = B

Wenn alle Elemente eines Satzes zu einem Satz B gehören, aber nicht alle Elemente von B zu A gehören, dann gibt es eine Einschlussbeziehung, die wie folgt bezeichnet wird:

A ⊂ b, aber B ⊄ a

Der vorherige Ausdruck lautet: A ist Untergruppe von B, aber B ist keine Untergruppe von a.

Um anzuzeigen, dass einige oder einige Elemente zu einem Satz gehören, wird das Symbol der Zugehörigkeit ∈ gehabt, um zum Beispiel zu sagen, dass X -Element oder Elemente zum Satz A symbolisch geschrieben sind wie folgt:

x ∈ A. A

Ja, ein Element und nicht zu dem Set dieser Beziehung ist wie folgt:

und ∉ a

Die Zugehörigkeitsbeziehung wird zwischen den Elementen eines Satzes und dem Satz angegeben, mit Ausnahme des Stromversand.

Kann Ihnen dienen: Faktorisierung

Angenommen, Ihre Kraft ist p = a, e, i, p (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i, in diesem Fall wird der Satz V zu einem Element des Satzes P (V) und kann geschrieben werden:

V ∈ P (V)

- Einschlusseigenschaften

Die erste Eigenschaft der Inklusion legt fest, dass jeder Satz in sich selbst oder mit anderen Worten enthalten ist, was sich selbst unter Teilmenge befindet:

A ⊂ a

Die andere Eigenschaft der Aufnahme ist die Transitivität: Wenn a sich wiederum Teilmenge von B und B hat, ist es eine Untergruppe von C, dann ist A eine Untergruppe von C. Symbolisch ist die Transitivitätsbeziehung so geschrieben:

(A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

Unten ist das Venn -Diagramm, das der Transitivität der Inklusion entspricht:

Figur 2. (A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

- Operationen zwischen Sets

Überschneidung

Die Kreuzung ist eine Operation zwischen zwei Sätzen, die zu einem neuen Satz zu demselben universellen Satz der ersten beiden führt. In diesem Sinne ist es eine geschlossene Operation.

Symbolisch wird der Kreuzungsvorgang wie folgt formuliert:

A⋂b = x / x∈A ^ x∈B

Ein Beispiel lautet wie folgt: Setzen Sie eine der Buchstaben von "Elementen" und setzen B der Buchstaben des Wortes "wiederholt", der Schnittpunkt zwischen A und B ist so geschrieben:

A⋂b = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s . Der universelle Satz von a, aus B und auch von A⋂B ist der Satz der Buchstaben des spanischen Alphabets.

Union

Die Vereinigung von zwei Sätzen ist der Satz, das von den Elementen gebildet wird, die den beiden Sätzen und den Nichtbekämpfungselementen der beiden Sätze gemeinsam sind. Die Gewerkschaftsoperation zwischen den Sets wird symbolisch wie folgt ausgedrückt:

A∪b = x/x∈A v x∈B

Unterschied

Der Betrieb des Satzes zumindest wird der Set mit A-B bezeichnet. A-B ist ein neu. Symbol ist so geschrieben:

A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ B

Figur 3. A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ B

Symmetrischer Unterschied

Die symmetrische Differenz ist ein Betrieb zwischen zwei Sätzen, bei denen der resultierende Satz aus den Elementen besteht. Der symmetrische Unterschied wird symbolisch wie folgt dargestellt:

A⊕b = x/ x∈ (a-b) ^ x∈ (b-a)

Beispiele

Beispiel 1

Das Venn -Diagramm ist eine grafische Möglichkeit, die Sets darzustellen. Beispielsweise wird der Satz C der Buchstaben des Wortsatzes wie folgt dargestellt:

Beispiel 2

Es wird unten durch Venn -Diagramme gezeigt, dass der Satz von Vokalen im Wort "set" eine Teilmenge des Satzes der Buchstaben des Wortes "Set" ist.

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Beispiel 3

Satz N Aus den Buchstaben des spanischen Alphabets ist es ein endlicher Set, dieser gesetze gesetze gesetze gesetzt ist wie folgt:

N = A, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W. W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, X, Y, Z und seine Kardinalität ist 27.

Beispiel 4

Satz V Aus den Vokalen auf Spanisch ist es eine Untergruppe des ñ -Sets:

V ⊂ N Daher ist es ein endliches Set.

Das endliche Set V Erweiterte Art und Weise, wie es so geschrieben ist: V = a, e, i, o, u und seine Kardinalität ist 5.

Beispiel 5

Angesichts der Mengen a = 2, 4, 6, 8 und b = 1, 2, 4, 7, 9 Bestimmen Sie A-B und B-A. 

A - B sind die Elemente, von denen sie nicht in B sind:

A - B = 6, 8

B - A sind die Elemente von B, die nicht in A sind:

B - A = 1, 7, 9

Gelöste Übungen

Übung 1

Schreiben Sie symbolisch und auch im weiteren Sinne des Blütenblatts p der natürlichen Zahlen sogar niedriger als 10.

Lösung: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0

P = 2, 4, 6, 8

Übung 2

Nehmen Sie das Ganze zu der aus den natürlichen Zahlen gebildeten Faktoren von 210 und dem Satz B, der durch die natürlichen Zahlen gebildet wird. Bestimmen Sie beide Sätze nach Erweiterung und stellen Sie fest, welche Beziehung zwischen den beiden Sätzen besteht.

Lösung: Um die Elemente von SET A zu bestimmen, müssen Sie beginnen, indem Sie die Faktoren der natürlichen Zahl 210 finden:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Dann ist ein Set a geschrieben:

A = 2, 3, 5, 7

Wir betrachten Set B, das die Cousins ​​kleiner als 9 sind. Der 1 ist kein Cousin, weil er nicht der Definition von Cousin entspricht: "Eine Zahl ist Cousin, wenn sie nur dann zwei Divisoren der 1 und die Zahl selbst hat.". Die 2 ist gleichmäßig und gleichzeitig ist Cousin, weil er der Definition von Cousin entspricht, die anderen Cousins ​​kleiner als 9 sind 3, 5 und 7. Das Set B ist also:

B = 2, 3, 5, 7

Daher sind die beiden Sätze gleich: a = B.

Übung 3

Bestimmen Sie den Satz, dessen Elemente x sich von x unterscheiden.

Lösung: C = x / x ≠ x

Wie jedes Element, die Zahl oder das Objekt ist selbst gleich, kann Set C nicht anders sein als der leere Satz:

C = Ø

Übung 4

Seien Sie der Satz n natürlicher Zahlen und z der Satz von ganzen Zahlen. Bestimmen Sie n ⋂ z y n ∪ z.

Lösung: 

N ⋂ z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]

N ∪ z = z, weil n ⊂ z.

Verweise

1. Garo, m. (2014). Mathematik: Quadratische Gleichungen: Wie löst eine quadratische Gleichung. Marilù Garo.
2. Haeussler, e. F., & Paul, r. S. (2003). Mathematik für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Pearson Ausbildung.
3. Jiménez, J., Rodríguez, m., Estrada, r. (2005). Mathematik 1 Sep. Schwelle.
4. Kostbar, c. T. (2005). Mathematikkurs 3o. Editorial Progreso.
5. Mathematik 10 (2018). "Beispiele für endliche Sätze". Abgerufen von: Mathematics10.Netz
6. Wikipedia. Mengenlehre. Geborgen von: ist.Wikipedia.com