Bayes Theorem

Wir erklären, was Bayes 'Theorem, seine Anwendungen und Übungen gelöst ist

Was ist Bayes 'Theorem?

Er Bayes Theorem Es ist ein Verfahren, das es uns ermöglicht, die bedingte Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A Würfel B in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung des gegebenen Ereignisses B und die Wahrscheinlichkeitsverteilung nur zu.

Dieser Theorem ist sehr nützlich, da wir dank ihm die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A passiert.

Bayes 'Theorem war ein Silberangriff von Reverend Thomas Bayes, einem englischen Theologen des 18. Jahrhunderts, der ebenfalls ein Mathematiker war. Er war Autor mehrerer Jobs in Theologie, ist aber derzeit für ein paar mathematische Verträge bekannt, unter denen Bayes 'Theorem bereits als Hauptergebnis erwähnt wurde.

Bayes befasste sich mit diesem Satz in einem Werk mit dem Titel "Ein Aufsatz zur Lösung eines Problems in der Lehre der Chancen" (ein Aufsatz zur Lösung eines Problems in der Lehre der Möglichkeiten), veröffentlicht 1763 und auf dem große Studien mit Anwendungen entwickelt haben in verschiedenen Wissensbereichen.

Erläuterung

Erstens sind für eine stärkere Komprimierung dieses Theorems einige grundlegende Vorstellungen der Wahrscheinlichkeitstheorie erforderlich, insbesondere der Multiplikationssatz für die bedingte Wahrscheinlichkeit, die das festlegt

Für e und willkürliche Ereignisse eines Stichprobenraums s.

Und die Definition von Partitionen, die uns sagen, dass wir haben₁ ,ZU₂,… , ZU_N Ereignisse eines Stichprobenraums bilden eine Partition von S, falls das a_Yo Sie schließen sich gegenseitig aus und ihre Vereinigung ist s.

Wenn Sie dies haben, sei es ein anderes Ereignis. So können wir B als sehen

Wo ein_Yo Mit B geschnitten sind gegenseitig ausschließende Ereignisse.

Und infolgedessen,

Anschließend den Multiplikationssatz anwenden

Andererseits wird die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai B durch definiert durch

Das richtige Ersetzen haben das für jeden ich

Bayes -Theoremanwendungen

Dank dieses Ergebnisses haben Forschungsgruppen und vielfältige Unternehmen es geschafft, die Systeme zu verbessern, die auf Wissen basieren.

Krankheitsstudie

Zum Beispiel kann Bayes 'Theorem in der Untersuchung von Krankheiten dazu beitragen gesunde und kranke Menschen.

Software-Entwicklung

Andererseits hat es in der Welt der hohen Technologien große Unternehmen beeinflusst, die sich dank dieses Ergebnisses auf Software "basierend auf Wissen" entwickelt haben, die sich entwickelt haben, die sich entwickelt haben, die sich entwickelt haben, die sich entwickelt haben, die sich entwickelt haben, "auf dem Wissen basierend).

Als tägliches Beispiel haben wir den Microsoft Office Assistant. Bayes 'Theorem hilft Software, die Probleme zu bewerten, die der Benutzer vorstellt.

Es ist zu beachten, dass diese Formel bis in die jüngste Zeit ignoriert wurde. Dies ist hauptsächlich daran, dass bei diesem Ergebnis vor 200 Jahren nur wenig praktische Verwendung für sie verwendet wurde. In unserer Zeit haben Wissenschaftler dank der großen technologischen Fortschritte jedoch Wege erreicht, um dieses Ergebnis in die Praxis umzusetzen.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein Handyunternehmen hat zwei A- und B -Maschinen. 54% der Mobiltelefone werden von Maschine A und dem Rest von Maschine B gemacht. Nicht alle Handys sind in gutem Zustand.

Der Anteil der von A hergestellten defekten Handys beträgt 0.2 und für b ist 0.5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy der Fabrik defekt ist? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy defekt ist, der von der Maschine zu fehlerhaft ist?

Lösung

Hier haben Sie ein Experiment, das in zwei Teilen durchgeführt wird. Im ersten Teil treten die Ereignisse auf:

An: Handy von Maschine a gemacht.

B: Handy von Maschine B hergestellt.

Da die Maschine A 54% der Mobiltelefone produziert und der Rest von Maschine B erzeugt wird, muss Maschine B 46% der Mobiltelefone produzieren. Die Chancen dieser Ereignisse werden gegeben, nämlich:

P (a) = 0,54.

P (b) = 0,46.

Die Ereignisse des zweiten Teils des Experiments sind:

D: defektes Handy.

E: Nichtdefekte Zelle.

Wie in der Aussage angegeben, hängen die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse von dem im ersten Teil erzielten Ergebnis ab:

P (d | a) = 0,2.

P (d | b) = 0,5.

Mit diesen Werten können Sie auch die Wahrscheinlichkeiten des Zubehörs dieser Ereignisse bestimmen, dh:

P (e | a) = 1 - p (d | a)

= 1 - 0,2

= 0,8

Und

P (e | b) = 1 - p (d | b)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Jetzt kann das D -Ereignis wie folgt geschrieben werden:

Diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.

Die Verwendung des Multiplikationssatzes für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist:

Mit der die erste Frage beantwortet wird.

Jetzt müssen wir nur P (A | D) berechnen, für den Bayes 'Theorem angewendet wird:

Dank Bayes 'Theorem kann bestätigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy von Maschine A hergestellt wurde, zu wissen, dass das Handy defekt ist, 0 ist.319.

Übung 2

Drei Kisten enthalten schwarze und schwarze Kugeln. Die Komposition von jeder von ihnen ist wie folgt: U1 = 3b, 1n, u2 = 2b, 2n, u3 = 1b, 3n.

Ein zufällig ausgewählter Kisten und ein zufälliger Ball wird aus der IT extrahiert, was sich als weiß herausstellt. Was ist die Schachtel mit den wahrscheinlichsten ausgewählt worden?

Lösung

Durch U1, U2 und U3 werden wir auch die gewählte Box darstellen.

Diese Ereignisse bilden eine Partition von S und es wird verifiziert, dass P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, da die Auswahl der Box zufällig ist.

Wenn b = die extrahierte Kugel weiß ist, haben wir p (b | u1) = 3/4, p (b | u2) = 2/4, p (b | u3) = 1/4 .

Was wir erhalten wollen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball aus der IU -Box entnommen wurde und weiß, dass dieser Ball weiß war, das heißt P (UI | B), und zu sehen, welcher der drei Werte am höchsten war, um welche wissen, welche von welcher Schachtel ist eher die Wahrscheinlichkeit des weißen Balls extrahiert.

Anwenden von Bayes 'Theorem auf die ersten Kästchen:

Und für die anderen beiden:

P (u2 | b) = 2/6 und p (u3 | b) = 1/6.

Dann ist der erste der Kisten diejenige, die eine größere Wahrscheinlichkeit hat, für die Extraktion des weißen Balls ausgewählt zu werden.