Bolzano Theorem

Wir erklären, was Bolzanos Theorem ist, seine Anwendungen und Lösungsübungen durchführen

Was ist Bolzanos Theorem?

Er Bolzano Theorem Es wird festgelegt, dass, wenn eine Funktion an allen Stellen eines geschlossenen Intervalls [a, b] kontinuierlich ist und es erfüllt ist, dass das Bild von „A“ und „B“ (unter der Funktion) entgegengesetzte Zeichen hat Ein Punkt "C" im offenen Intervall (a, b), so dass die in "c" bewertete Funktion gleich 0 ist.

Dieser Theorem wurde vom Philosoph, Theologen und Mathematiker Bernard Bolzano 1850 angegeben. Dieser in der aktuelle tschechische Republik geborene Wissenschaftler war eine der ersten Mathematik in der Geschichte, die die Eigenschaften kontinuierlicher Funktionen formell demonstriert hat.

Erklärung des Satzes

Bolzanos Theorem ist auch als Theorem der Zwischenwerte bekannt, die bei der Bestimmung spezifischer Werte, insbesondere der Nullen, bestimmter realer Funktionen einer realen Variablen hilft.

In einer gegebenen Funktion fährt F (x) fort -dh ist, dass f (a) und f (b) durch eine Kurve verbunden sind, wobei f (a) unter der x -Achse (ist negativ) und f (b) liegt über die x -Achse (sie ist positiv) oder umgekehrt wird die x -Achse ein Schnittpunkt auf dem Zwischenwert "C" darstellen, der zwischen "A" und "B" und dem Wert liegt von f (c) es wird gleich 0 sein.

Wenn Sie den Theorem von Bolzano grafisch analysieren, kann bekannt sein, dass für jede kontinuierliche F -Funktion, die in einem Intervall [a, b] definiert ist, wobei f (a) definiert ist_*f (b) ist weniger als 0, es wird mindestens eine Wurzel „C“ dieser Funktion innerhalb des Intervalls (a, b) geben.

Dieser Satz legt nicht die Anzahl der Punkte fest, die in diesem offenen Intervall vorhanden sind, sondern nur, dass es mindestens 1 Punkt gibt.

Demonstration des Bolzano -Theorems

Um den Satz von Bolzano zu demonstrieren, wird er ohne Verlust der Allgemeinheit angenommen, dass f (a) 0; Auf diese Weise kann es viele Werte zwischen "A" und "B" geben, für die f (x) = 0 ist, aber es ist nur notwendig zu zeigen, dass es einen gibt.

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Es beginnt mit der Bewertung von F im Mittelpunkt (a+b)/2. Wenn f ((a+b)/2) = 0 dann endet der Test hier; Ansonsten ist f ((a+b)/2) positiv oder negativ.

Einer der Hälften des Intervalls [A, B] wird ausgewählt, so dass die Anzeichen der an den Enden bewerteten Funktionen unterschiedlich sind. Dieses neue Intervall wird [A1, B1] sein.

Wenn n nun f am Mittelpunkt von [A1, B1] bewertet wird, wird dieselbe Operation zuvor durchgeführt. Das heißt, eine Hälfte dieses Intervalls, die den Zustand der Zeichen erfüllt. Sei dieses neue Intervall [A2, B2].

Wenn dieser Prozess fortgesetzt wird, gibt es zwei Folgen an und Bn, so dass:

an wächst und Bn nimmt ab:

A ≤ A1 ≤ A2 ≤ ... ≤ A ≤ .. . ≤ .. . ≤ bn ≤ .. . ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Wenn die Länge jedes Intervalls [AI, Bi] berechnet wird, müssen Sie:

B1-A1 = (B-A)/2.

B2-A2 = (B-A)/2².

.. .

bn-an = (b-a)/2^n.

Daher ist die Grenze, wenn n neigt, von (Bn-AN) gleich 0.

Mit diesem An wächst und begrenzt und Bn nimmt ab und begrenzt. Es gibt einen Wert "C", so dass:

A ≤ A1 ≤ A2 ≤ ... ≤ A ≤ .. .≤ c ≤ .. . ≤ bn ≤ .. . ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Die Lim -Grenze ist "C" und die Grenze von Bn ist auch "C". Daher gibt es bei allen Δ> 0 immer ein „n“, so dass das Intervall [AN, Bn] innerhalb des Intervalls (C-δ, C+δ) enthalten ist.

Nun muss gezeigt werden, dass f (c) = 0.

Wenn f (c)> 0 ist, dann ist es ein ε> 0, so dass f während des gesamten Intervalls positiv ist (c -ε, c+ε). Wie oben erwähnt, gibt es jedoch einen „n“ -Walte, so dass F -Änderungen in [AN, Bn] und außerdem [an, bn] innerhalb (c -ε, c+ε) enthalten sind, was was ist ein Widerspruch.

Wenn f (c) 0 so dass f im gesamten Intervall negativ ist (c -ε, c+ε); Es gibt jedoch einen „N“ -Werwert, den F ändert [an [an, Bn]]. Es stellt sich heraus.

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Daher war f (c) = 0 und das wollte demonstriert werden.

Wofür ist der Bolzano -Theorem für?

Aus seiner grafischen Interpretation wird der Theorem von Bolzano verwendet, um Wurzeln oder Nullen in einer kontinuierlichen Funktion durch die BISING (ANFAHREN) zu finden, was eine inkrementelle Suchmethode ist, die die Intervalle immer in 2 unterteilt.

Wenn sich die Funktion über ein Intervall ändert, wird die F -Funktion im Mittelpunkt bewertet, was wie folgt ausgedrückt wird:Die Wurzel wird gefunden, wenn f (c) = 0. Wenn nicht, wird das Zeichen von F (c) analysiert, um festzustellen, ob es dem Zeichen von F (a) oder dem von F (b) entgegengesetzt ist.

Dann wird ein Intervall [A, C] oder [C, B] dort durchgeführt, wo die Zeichenänderung auftritt, und der Vorgang wird wiederholt, bis das Intervall immer weniger ist, um sich dem gewünschten Wert zu nähern. das heißt, zu dem Wert, den die Funktion 0 ausübt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Bolzano -Theorem angewendet und so die Wurzeln ermittelt, die Nullen einer Funktion einschränken oder einer Gleichung eine Lösung geben, die folgenden Schritte werden durchgeführt:

1. Es wird verifiziert, ob f eine kontinuierliche Funktion im Intervall [a, b] ist.
2. Wenn das Intervall nicht angegeben ist, muss man eine finden, in der die Funktion kontinuierlich ist.
3. Es wird überprüft, ob die Enden des Intervalls bei der Bewertung in f entgegengesetzte Zeichen entgegengesetzten Anzeichen geben.
4. Wenn nicht entgegengesetzte Vorzeichen erhalten werden, muss das Intervall unter Verwendung des Mittelpunkts in zwei Subintervalen unterteilt werden.
5. Bewerten Sie die Funktion im Mittelpunkt und überprüfen Sie, ob die Bolzano -Hypothese erfüllt ist, wobei f (a) _* f (b) < 0.
6. Abhängig vom Vorzeichen (positiv oder negativ) des gefundenen Wertes wird der Prozess mit einem neuen Subinterval wiederholt, bis die genannte Hypothese erfüllt ist.

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Gelöste Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie, ob die Funktion f (x) = x² - 2, hat mindestens eine echte Lösung im Intervall [1,2].

Lösung

Sie haben die Funktion f (x) = x² - 2. Wie Polynom bedeutet es, dass es in jedem Intervall kontinuierlich ist.

Es wird gebeten, festzustellen, ob es eine echte Lösung im Intervall [1, 2] hat. Jetzt müssen Sie jetzt nur die Enden des Intervalls in der Funktion ersetzen, um das Zeichen dieser anders:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiv)

Daher ein Zeichen von F (1)  Vorzeichen F (2).

Dies stellt sicher, dass es mindestens einen Punkt „C“ gibt, der zum Intervall gehört [1,2], in dem f (c) = 0.

In diesem Fall kann der Wert „C“ wie folgt leicht berechnet werden:

X² - 2 = 0

x = ± √2.

Somit gehört √2 ≈ 1,4 zum Intervall [1,2] und erfüllt, dass f (√2) = 0 ist.

Übung 2

Zeigen, dass Gleichung x⁵ + x + 1 = 0 hat mindestens eine echte Lösung.

Lösung

Zuerst stellen wir fest, dass f (x) = x⁵ + X + 1 ist eine Polynomfunktion, was bedeutet, dass sie in allen reellen Zahlen kontinuierlich ist.

In diesem Fall wird kein Intervall angegeben, sodass Sie intuitiv Werte auswählen müssen, vorzugsweise in der Nähe von 0, um die Funktion zu bewerten und die Zeichenänderungen zu finden:

Wenn das Intervall [0, 1] verwendet wird, muss es:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Da es keine Zeichenänderung gibt, wird der Vorgang mit einem anderen Intervall wiederholt.

Wenn das Intervall [-1, 0] verwendet wird, müssen Sie:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

In diesem Intervall gibt es eine Vorzeichenänderung: Vorzeichen von f (-1) ≠ Vorzeichen von F (0), was bedeutet, dass die Funktion f (x) = x⁵ + X + 1 hat mindestens eine reale Wurzel „C“ im Intervall [-1, 0], so dass f (c) = 0. Mit anderen Worten, es ist wahr, dass x⁵ + x + 1 = 0 hat eine reale Lösung im Intervall [-1,0].