Chebyshov Theorem dh Anwendungen und Beispiele

Er Chebyshov Theorem (oder Ungleichheit von Chebyshov) ist eines der wichtigsten klassischen Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ermöglicht die Schätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das in Bezug.

Der Satz wird zu Ehren der russischen Mathematik berufen.

Diese Ungleichheit oder solche, die aufgrund ihrer Merkmale als Ungleichheit von Chebyshov bezeichnet werden, wird hauptsächlich zur Annäherung der Wahrscheinlichkeiten durch Berechnung der Werte verwendet.

Was ist Chebyshovs Theorem?

In der Untersuchung der Wahrscheinlichkeitstheorie kommt es vor, dass, wenn die Verteilungsfunktion einer zufälligen Variablen x bekannt ist, der erwartete Wert berechnet werden kann - oder mathematische Hoffnung und (x) - und deren Varianz var (x), solange diese diese Beträge existieren. Gegenseitig ist jedoch nicht unbedingt wahr.

Das heißt, dass die Verteilungsfunktion von x nicht unbedingt die Verteilungsfunktion von x (x) und var (x) erhalten können. Dank der Ungleichheit von Chebyshov ist es jedoch möglich, die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen abzuschätzen.

Chebyshovs Theorem zeigt uns, dass, wenn wir eine zufällige Variable X auf einem Beispielraum mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P haben, und wenn K> 0, dann: dann:

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Anwendungen und Beispiele

Unter den vielen Anwendungen, die Chebyshovs Theorem besitzt, kann Folgendes erwähnt werden:

1. Wahrscheinlichkeitsgrenze

Dies ist die häufigste Anwendung und wird verwendet, um eine obere Ebene für P (| x-e (x) | ≥k) zu ergeben, wobei k> 0 nur mit der Varianz und Hoffnung der Zufallsvariablen x, ohne die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu kennen.

Beispiel 1

Angenommen, die Anzahl der Produkte, die für eine Woche in einem Unternehmen hergestellt werden, ist eine zufällige Variable mit durchschnittlich 50.

Wenn bekannt ist, dass die Varianz einer Produktionswoche gleich 25 beträgt, was können wir dann über die Wahrscheinlichkeit sagen, dass sich die Produktion in dieser Woche um mehr als 10 bis durch den Durchschnitt unterscheidet?

Lösung

Wenden Sie die Ungleichheit von Chebyshov an, die wir müssen:

Daraus können wir ermitteln, dass die Wahrscheinlichkeit, dass in der Produktionswoche die Anzahl der Elemente über 10 bis 10 überschreitet, höchstens 1/4 liegt.

2. Demonstration von Grenzbestimmungen

Die Ungleichheit von Chebyshov spielt eine wichtige Rolle bei der Demonstration der wichtigsten Grenzen. Als Beispiel haben wir Folgendes:

Schwaches Gesetz großer Anzahl

Dieses Gesetz legt fest, dass bei einer Nachfolge x1, x2, ..., xn, ... von unabhängigen Zufallsvariablen mit derselben durchschnittlichen Verteilung e (xi) = μ und Varianz var (x) = σ², und eine bekannte durchschnittliche Stichprobe von:

Also für K> 0 musst du:

Oder gleichwertig:

Demonstration

Zuerst bemerken wir Folgendes:

Da X1, x2, ..., xn unabhängig sind, folgt daraus:

Daher ist es möglich, Folgendes zu bestätigen:

Dann müssen Sie mit dem Theorem von Chebyshov verwenden:

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Schließlich resultiert der Satz aus der Tatsache, dass die richtige Grenze Null ist, wenn N dazu neigt, unendlich zu sein.

Es ist zu beachten, dass dieser Test nur für den Fall durchgeführt wurde, in dem es die Varianz von XI gibt; das heißt, es weicht nicht ab. Daher stellen wir fest, dass der Satz immer wahr ist, wenn E (xi) existiert.

Chebyshovs Limit -Theorem

Wenn x1, x2, ..., xn, ... es ist eine Folge unabhängiger zufälliger Variablen, so dass es einige C0 gibt:

Demonstration

Da die Folge von Varianzen einheitlich begrenzt ist, haben wir diese var (sn) ≤ c/n für alle natürlichen n. Aber das wissen wir:

Wenn Sie N bis unendlich machen, ist es Folgendes:

Da eine Wahrscheinlichkeit den Wert von 1 nicht überschreiten darf, wird das gewünschte Ergebnis erzielt. Infolge dieses Satzes konnten wir den speziellen Fall von Bernoulli erwähnen.

Wenn ein Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen (Misserfolg und Erfolg) unabhängig wiederholt wird, wobei P die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Experiment und x die zufällige Variable ist, die die Anzahl der erhaltenen Erfolge darstellt, müssen Sie für jedes k> 0:

3. Probengröße

In Bezug auf die Varianz ermöglicht die Ungleichheit von Chebyshov eine Stichprobengröße, die ausreicht, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass | sn-μ |> = k auftritt Durchschnitt.

Genau, sei es x1, x2, ... xn eine Stichprobe unabhängiger Zufallsvariablen der N -Größe und nehmen Sie an, dass e (xi) = μ und seine Varianz σ². Aufgrund der Ungleichheit von Chebyshov müssen Sie also:

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Jetzt Δ> 0 fest sein. Wir müssen:

Beispiel

Nehmen wir an, dass x1, x2, ... xn eine Stichprobe unabhängiger Zufallsvariablen mit Bernoulli -Verteilung sind, damit sie Wert 1 mit Wahrscheinlichkeit p = 0 nehmen.5.

Was sollte die Stichprobengröße sein, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittelwert SN und seinem erwarteten Wert (der mehr als 0,1 übersteigt), kleiner oder gleich 0 beträgt.,01?

Lösung

Wir müssen (x) = μ = p = 0,5 und was var (x) = σ²= P (1-P) = 0,25. Für die Ungleichheit von Chebyshov, müssen wir für jeden K> 0:

Wenn Sie nun K = 0,1 und δ = 0,01 nehmen, müssen Sie:

Auf diese Weise wird der Schluss gezogen, dass eine Stichprobengröße von mindestens 2500 erforderlich ist, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses | sn - 0,5 |> = 0,1 weniger als 0,01 beträgt.

Chebyshov -Ungleichheiten

Es gibt verschiedene Ungleichheiten im Zusammenhang mit der Ungleichheit von Chebyshov. Eine der bekanntesten ist Markovs Ungleichheit:

In diesem Ausdruck X ist es eine nicht -negative Zufallsvariable mit k, r> 0.

Die Ungleichheit von Markov kann unterschiedliche Formen annehmen. Zum Beispiel entweder und eine nicht -negative Zufallsvariable (so p (y> = 0) = 1) und nehmen an, dass e (y) = μ existiert. Nehmen wir auch an, dass (e (y))^R= μ_R Es gibt für einige Ganzzahl r> 1. So:

Eine weitere Ungleichheit ist die von Gauß, die uns sagt, dass angesichts einer unimodalen x -zufälligen Variablen mit Mode bei Null und dann für k> 0,