Euklid -Theorem

Was ist Euclids Theorem?

Er Euklid -Theorem Es demonstriert die Eigenschaften eines rechten Dreiecks, indem es eine Linie zeichnet, die sie in zwei neue Rechtecke unterteilt, die einander ähnlich sind und wiederum dem ursprünglichen Dreieck ähneln. Es gibt also eine Verhältnismäßigkeitsbeziehung.

Euklides war einer der größten Mathematiker und Geometer des Alters, die mehrere Demonstrationen wichtiger Theoreme ergaben. Einer der wichtigsten ist derjenige, der seinen Namen trägt, der eine breite Bewerbung hatte.

Dies ist so, weil durch diesen Theorem die geometrischen Beziehungen im Rechteck -Dreieck erklärt werden, wo dies mit ihren Projektionen in der Hypotenuse zusammenhängt.

Formeln und Demonstration

Der Euklid -Theorem schlägt vor, dass in jedem rechten Dreieck, wenn eine Linie gezogen wird - was in der Höhe der Höhe des rechten Winkels in Bezug auf die Hypotenuse entspricht - zwei Rechtecke werden aus den ursprünglichen Dreiecken aus dem Original gebildet.

Diese Dreiecke sind einander ähnlich und ähneln auch dem ursprünglichen Dreieck, was bedeutet, dass ihre ähnlichen Seiten proportional zueinander sind:

Die Winkel der drei Dreiecke sind kongruent; Das heißt, wenn er auf seinem Scheitelpunkt bei 180 Grad gedreht ist, fällt ein Winkel auf dem anderen zusammen. Dies impliziert, dass jeder gleich sein wird.

Auf diese Weise können Sie auch die Ähnlichkeit zwischen den drei Dreiecken für die Gleichheit ihrer Winkel überprüfen. Seit der Ähnlichkeit der Dreiecke stellt Euklid die Anteile dieser aus zwei Theoreme fest:

• Höhensatz.
• Der Katetos -Theorem.

Dieser Satz hat eine breite Anwendung. In der Antike wurde es verwendet, um Höhen oder Entfernungen zu berechnen, was einen großen Fortschritt für die Trigonometrie darstellt.

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Es wird derzeit in verschiedenen Bereichen angewendet, die unter vielen anderen Bereichen auf Mathematik wie Ingenieurwesen, Physik, Chemie und Astronomie basieren.

Höhensatz

Dieser Satz legt fest, dass in jedem Rechteck -Dreieck die aus dem rechten Winkel in Bezug auf die Hypotenuse gezogene Höhe der geometrische proportionale Durchschnitt (das Quadrat der Höhe) zwischen den Projektionen der Cotetos ist, die auf der Hypotenuse bestimmt.

Das heißt, das Quadrat der Höhe entspricht der Multiplikation der projizierten Beine, die die Hypotenuse bilden:

H_C² = m _* N

Demonstration

Bei einem ABC -Dreieck, das in Scheitelpunkt C rechteckt, werden zwei ähnliche Rechtecke, ADC und BCD erzeugt; Daher sind ihre entsprechenden Seiten proportional:

Auf diese Weise, dass Höhe h_C Es entspricht dem CD -Segment, entspricht dem Hypotenuse AB = C, sodass Sie:

Dies entspricht wiederum:

Den Hypotenuse (h_C), Um die beiden Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, müssen Sie:

H_{C *} H_{C =} M _* N

H_C² = m _* N

Somit ist der Wert der Hypotenuse gegeben durch:

Der Katetos -Theorem

Dieser Satz legt fest, dass in jedem rechten Dreieck das Maß für jedes Kateto der geometrische proportionale Durchschnitt (das Quadrat jedes Katetos) zwischen dem Maß der Hypotenuse (vollständig) und der Projektion eines einzelnen daraufs ist:

B² = c _* M

Zu² = c_* N

Demonstration

Bei einem ABC -Dreieck, das in Scheitelpunkt C rechteck ist Die Hypotenuse.

Somit erzeugt die auf dem Rechteckdreieck ABC gezogene Höhe zwei ähnliche Rechtecke, ADC und BCD, so dass die entsprechenden Seiten proportional sind, wie folgt:

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Db = n, das ist die Projektion des CB -Katetos auf den Hypotenuse.

Ad = m, das ist die Projektion des AC Cateto auf die Hypotenuse.

Dann wird die Hypotenuse C durch die Summe der Beine seiner Projektionen bestimmt:

C = m + n

Aufgrund der Ähnlichkeit von ADC- und BCD -Dreiecken müssen Sie:

Das obige ist das gleiche wie:

Wenn Sie das "A" -Kateto löschen, um die beiden Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, müssen Sie:

Zu _* a = c _* N

Zu² = c _* N

Somit ist der Wert des Kateto „A“ gegeben durch:

In ähnlicher Weise müssen Sie aufgrund der Ähnlichkeit von ACB- und ADC -Dreiecken:

Das obige ist gleich:

Wenn Sie den "B" -Kateto löschen, um die beiden Mitglieder der Gleichheit zu multiplizieren, müssen Sie:

B _* B = c _* M

B² = c _* M

Somit ist der Wert des Kateto „B“ gegeben durch:

Beziehung zwischen euklidischen Theoremen

Theoreme in Bezug auf die Höhe und die Kategorien hängen miteinander zusammen, da das Maß für beide in Bezug auf die Hypotenuse des Rechteckdreiecks erfolgt.

Durch die Beziehung der Euklid -Theoreme kann auch der Wert der Höhe gefunden werden; Dies ist möglich, indem die Werte von m und n des Kategorie -Theorems gelöscht werden und im Höhensatz ersetzt werden. Auf diese Weise ist es erfüllt, dass die Höhe der Multiplikation der Beine entspricht, geteilt durch die Hypotenuse:

B² = c _* M

M = b² ÷ c

Zu² = c _* N

n = a² ÷ c

Im Höhensatz werden m und n ersetzt:

H_C² = m _* N

H_C² = (b² ÷ c) _* (Zu² ÷ c)

H_C = (b² _* Zu²) ÷ c

Gelöste Übungen

Beispiel 1

Bestimmen Sie angesichts des ABC -Dreiecks, Rechteck in a

Lösung

In diesem Fall gibt es die Maßnahmen eines der projizierten Beine (BD) und eines der Tamten des ursprünglichen Dreiecks (AB). Auf diese Weise können Sie den Kategorie -Theorem anwenden, um den Wert des BC Cateto zu finden.

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Ab² = Bd _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Der Wert des CD -Kategoriums kann wissen, dass BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Jetzt ist es möglich, den Wert des AC Cateto zu bestimmen, wobei der Kategorie -Theorem erneut angewendet wird:

AC² = CD _* Bd

AC² = 32 _* fünfzig

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Um den Höhenwert (AD) zu bestimmen, gilt der Höhensatz, da die Werte der projizierten Kategorien CD und BD bekannt sind:

ANZEIGE² = 32 _* 18

ANZEIGE² = 576

Ad = √576

Ad = 24 cm

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Wert der Höhe (h) eines MNL -Dreiecks, Rechteck in n, wobei die Messungen der Segmente wissen:

Nl = 10 cm

Mn = 5 cm

PM = 2 cm

Lösung

Sie haben das Maß für eine der projizierten Beine auf der Hypotenuse (PM) sowie für die Maßnahmen der ursprünglichen Dreieckskategorien. Auf diese Weise können Sie den Kategorie -Theorem anwenden, um den Wert des anderen prognostizierten Cateto (LN) zu finden:

Nl² = PM _* Lm

(10)² = 5 _* Lm

100 = 5 _* Lm

PL = 100 ÷ 5 = 20

Da der Wert der Kategorien und der Hypotenuse bereits bekannt ist, können durch die Beziehung der Höhen Theoreme und der Kategorien der Wert der Höhe bestimmt werden:

Nl = 10

Mn = 5

LM = 20

H = (b)² _* Zu²) ÷ c.

H = (10² _* 5²)  ÷ (zwanzig)

H = (100 _* 25) ÷ (zwanzig)

H = 2500 ÷ zwanzig

H = 125 cm.