Theorem der Existenz und Einzigartigkeit Demonstration, Beispiele und Übungen

Er Existenz- und Einzigartigkeitstheorem legt die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung mit einer bestimmten Anfangsbedingung fest, um eine Lösung zu haben, und diese Lösung ist auch die einzige. 

. Das Existenz- und Einzigartigkeitstheorem erstreckt sich auch auf Differentialgleichungen höherer Ordnung mit Anfangsbedingungen, die als Cauchy -Problem bezeichnet werden.

Abbildung 1. Eine Differentialgleichung mit Anfangszustand und ihre Lösung wird gezeigt. Das Existenz- und Einzigartigkeitstheorem garantiert, dass dies die einzig mögliche Lösung ist.

und '(x) = f (x, y) mit Anfangsbedingung und (a) = b,  existiert mindestens eine Lösung in einem rechteckigen Bereich der Ebene Xy den Punkt enthalten (A, b), Ja . Und wenn die teilweise Derivat von F unter Berücksichtigung von Und:  ∂y In derselben rechteckigen Region ist es kontinuierlich, daher ist die Lösung in einer Umgebung des Punktes einzigartig (A, b) Inhalt in der Kontinuitätsregion von F Und G."

Die Nützlichkeit dieses Satzes liegt zuerst, um zu wissen, in welchen Regionen der XY -Ebene, in der es eine Lösung geben kann. 

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Demonstration des Existenz- und Einzigartigkeitstheorems

Figur 2. An Charles Émile Picard (1856-1941) ist eine der ersten Demonstrationen des Existenz- und Einzigartigkeitstheorems akkreditiert. Quelle: Wikimedia Commons.

Für diesen Satz sind zwei mögliche Demonstrationen bekannt, eine davon ist die Demonstration von Charles Émile Picard (1856-1941) und der andere ist auf Giuseppe Peano (1858-1932) zu verdanken, basierend auf den Werken von Augustin Louis Cauchy (1789-1857) ).

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Um den Theorem formell zu demonstrieren, ist es notwendig, zunächst eine Reihe fortschrittlicherer Mathematikkonzepte wie Lipschitz -Funktionen, Banach -Räume, Caratheodory und mehrere weitere Existenz -Theoreme zu etablieren, die dem Zweck des Artikels entkommen.

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Beispiele

- Beispiel 1

Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung:

und '(x) = - y; mit und (1) = 3

? ?

Antworten

. 

In diesem Beispiel f (x, y) = - y Der Zustand der Existenz erfordert zu wissen, ob  f (x, y) Es ist in einer Ebenenregion kontinuierlich Xy enthält den Koordinatenpunkt x = 1, y = 3.

Aber Es ist der Verwandte Funktion, .

², Der Satz garantiert also die Existenz von mindestens einer Lösung.

Wenn Sie dies wissen, ist es an der Zeit zu beurteilen, ob die Lösung einzigartig ist oder ob es im Gegenteil mehr als eine gibt. Dafür ist es notwendig, die Teilableitung von zu berechnen F Und:

∂f/∂y = ∂ (-y)/∂y = -1

So  ² . Daraus folgt, dass der Theorem der Existenz und Einzigartigkeit garantiert, dass dieses ursprüngliche Wertproblem eine einzigartige Lösung hat, obwohl er uns nicht sagt, was es ist.

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- Beispiel 2

und '(x) = 2√y; und (0) = 0.

und (x) ? Wenn ja, stellen Sie fest, ob es einen oder mehr als einen gibt.

Antworten

f (x, y) = 2√y. Die Funktion F ist nur für definiert für y ≥0, Nun, wir wissen, dass eine negative Zahl keine echte Wurzel hat. Neben f (x, y) Es ist im oberen Semiplan von R kontinuierlich²  einschließlich der x -Achse, also Die Existenz- und Einzigartigkeitstheorem garantiert Mindestens eine Lösung in dieser Region.

. Dann nehmen wir das teilweise Derivat von F (x, y) in Bezug auf y:

∂f/∂y

In diesem Fall ist die Funktion nicht für y = 0 definiert, genau wo die Ausgangsbedingung ist.

Was sagt uns den Satz? Es zeigt uns, dass es zwar wissen, dass es mindestens eine Lösung gibt, das obere Halb der X -Achse einschließlich der X -Achse, da der Zustand der Einzigartigkeit nicht erfüllt ist. Es gibt keine Garantie dafür, dass es eine einzige Lösung gibt.

Dies bedeutet, dass es eine oder mehrere Lösung in der Kontinuitätsregion von F (x, y) geben könnte. Und wie immer sagt uns der Theorem nicht, was sein könnte.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Lösen Sie das Cauchy -Problem von Beispiel 1:

und '(x) = - y; mit und (1) = 3. 

Finden Sie die Funktion y (x), die die Differentialgleichung und die Anfangsbedingung erfüllt.

Lösung

. Um die Lösung zu finden, sollte es als erstes bemerkt werden, dass es sich um eine erste differentielle Gleichung trennbarer Variablen handelt, die wie folgt geschrieben ist:

Dy /dx = - und → Dy = -y dx

Teilen zwischen und in beiden Mitgliedern, um die Variablen zu trennen, die wir haben:

dy/y = - dx

In beiden Mitgliedern wird ein unbestimmte Integral angewendet:

∫ (1/y) dy = - ∫dx

Das Lösen der unbestimmten Integrale ist:

ln (y) = -x + c

wobei C eine Integrationskonstante ist, die durch die Anfangsbedingung bestimmt wird:

ln (3) = -1 + c, das heißt, dass c = 1 + ln (3)

Das Ersetzen des Wertes von C und das Reorganisieren ist:

ln (y) - ln (3) = -x + 1

Der Unterschied in den Logarithmen ist der Quotient -Logarithmus

ln (y/3) = 1 - x

Die exponentielle Funktion wird mit beiden Mitgliedern angewendet, um zu erhalten:

Y / 3 = e

Das entspricht:

 ^-X

. Das Diagramm dieser Lösung ist in Abbildung 1 dargestellt.

- Übung 2

und '(x) = 2√ (y); und (0) = 0.

Lösung

Dy / √ (y) = 2 dx

2 √ (y) = 2 x + c

Wie bekannt y ≥0 In der Lösungsregion haben wir:

y = (x + c)² 

Aber da die Anfangsbedingung x = 0, y = 0 erfüllt sein muss, ist die Konstante C Null und die folgende Lösung bleibt:

².

Diese Lösung ist jedoch nicht eindeutig, die Funktion y (x) = 0 ist auch eine Lösung des aufgeworfenen Problems. Das Existenz- und Einzigartigkeitstheorem, das auf dieses Problem in Beispiel 2 angewendet wurde, hatte bereits vorhergesagt, dass es mehr als eine Lösung geben könnte.

Verweise

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