Grüner Theorem, Demonstration, Anwendungen und Übungen

Er Grüner Theorem Es handelt sich um eine Berechnungsmethode, mit der Linienintegrale mit doppelten Flächen oder Oberflächenintegralen in Beziehung gesetzt werden. Die beteiligten Funktionen müssen als Vektor und definierte Felder in der Flugbahn C bezeichnet werden.

Zum Beispiel kann ein Ausdruck der integrierten Linie sehr kompliziert sein, um zu lösen. Bei der Implementierung von Green's Theorem werden doppelte Integrale jedoch recht einfach. Es ist immer wichtig, den positiven Sinn der Flugbahn zu respektieren, dies bezieht sich auf die Richtung der Taktnadeln.

Green's Theorem ist ein besonderer Fall von Stokes 'Satz, in dem die Projektion der Vektorfunktion in der XY -Ebene durchgeführt wird.

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Definition

Greens Ausdruck von Green's Theorem ist wie folgt:

Im ersten Term wird das durch die Flugbahn "C" definierte Linienintegral des Produktskalars zwischen der Vektorfunktion "f" und der des Vektors "R" beobachtet.

C: Es ist die definierte Flugbahn, auf der die Vektorfunktion projiziert wird, solange sie für diese Ebene definiert ist.

F: Vektorfunktion, wobei jede seiner Komponenten durch eine Funktion als solche definiert wird (f, g).

A: Es ist eine Vektor -Tangente in die R -Region, in der das Integral definiert ist. In diesem Fall wird es mit einem Differential dieses Vektors betrieben.

Im zweiten Term sehen wir Green entwickelte Theorem, wobei das in Region R des Unterschieds der Teilungsderivate von G und F definierte Doppelintegral in Bezug auf X bzw. bzw. bzw. bzw. beobachtet wird. Für ein Gebietsunterschied, das nichts anderes als das Produkt beider zweidimensionalen Differenzen ist (DX.DY).

Dieser Theorem ist perfekt für Raum- und Oberflächenintegrale anwendbar.

Demonstration

Um Green's Theorem auf einfache Weise zu demonstrieren, wird diese Aufgabe in 2 Teile unterteilt. Zuerst gehen wir davon aus, dass die Funktion Vector f nur eine Definition im Veror hat Yo. Während die Funktion „G“ dem Vero entspricht J wird gleich Null sein.

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F = f (x, y)Yo + G (x, y)J = f (x, y)Yo + 0

R = xYo + UndJ

DR = DXYo + DyJ

Zuerst entwickeln wir die Linienintegral über die Flugbahn C, für die die Flugbahn in zwei Abschnitten sektorisiert wurde.

Die Definition des grundlegenden Theorems der Berechnung für ein definiertes Integral wird angewendet.

Der Ausdruck wird in einem einzigen Integral neu angeordnet, ist dem negativ und der Reihenfolge der Faktoren umgekehrt.

Wenn Sie diesen Ausdruck ausführlich beobachten, wird es offensichtlich, dass bei der Anwendung der Kriterien der primitiven Funktion in Gegenwart des Integrals des aus f abgeleiteten Ausdrucks in Bezug auf und vorhanden ist. In Parametern ausgewertet

[Und_1x , Und_2x]

Jetzt reicht es aus anzunehmen, dass die Vektor -Fun -Funktion nur für G (x, y) definiert istJ. Wenn es bei der operierten Art und Weise, die dem vorherigen Fall homologisch ist, wird es erhalten:

Schließlich werden die beiden Demonstrationen in dem Fall verabschiedet und verbinden. Auf diese Weise wird es als Linienintegral gezeigt, nachdem es eine eindimensionale Flugbahn definiert und als eine eindimensionale Flugbahn betrachtet wird, kann sie vollständig für die Ebene und den Raum entwickelt werden.

F = f (x, y)Yo + G (x, y)J

Auf diese Weise wird Green's Theorem demonstriert.

Anwendungen

Grüne Theorem -Anwendungen sind in den Zweigen der Physik und Mathematik weit verbreitet. Diese erstrecken sich auf jede Anwendung oder Verwendung, die der Linienintegration gegeben werden kann.

Die mechanische Arbeit, die durch eine Kraft F durch eine Flugbahn C durchgeführt wird.

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Die Trägheitsmomente vieler Körper, die an verschiedenen Anwendungsstellen externen Kräften ausgesetzt sind, reagieren auch auf entwickelbare Integrale mit Green's Theorem.

Dies hat mehrere Funktionen in den Resistenzstudien von verwendeten Materialien. Wenn externe Werte vor der Ausarbeitung verschiedener Elemente quantifiziert und berücksichtigt werden können.

Im Allgemeinen erleichtert Green's Theorem das Verständnis und die Definition von Bereichen, in denen Vektorfunktionen in Bezug auf eine Region nach einer Flugbahn definiert werden.

Geschichte

Es wurde 1828 in der Arbeit veröffentlicht Mathematische Analyse zu Elektrizität und Magnetismus Theorien, Geschrieben vom britischen Mathematiker George Green. Es untersucht ziemlich entscheid.

George Green formalisierte seine Studentenkarriere im Alter von 40 Jahren, bisher ein völlig sich selbst geschaffener Mathematiker -Wesen. Nach dem Studium an der Universität von Cambridge geht seine Forschung weiter und leistet Beiträge im Bereich Akustik, Optik und Hydrodynamik, die bis heute in Kraft sind.

Beziehung zu anderen Theoremen

Green's Theorem ist ein Sonderfall und stammt aus 2 anderen sehr wichtigen Theoreme im Berechnungszweig. Dies sind Kelvin-Stokes 'Theorem und die Divergenz- oder Gaußski-Theorem.

Ausgehend von beiden Theorems können Sie den Green -Theorem erreichen. Bestimmte Definitionen und Aussagen sind erforderlich, um diese Demonstrationen zu entwickeln.

Übungen

- Die folgende Übung zeigt, wie ein Linienintegral in ein doppeltes Integral in Bezug auf eine Region r umgewandelt werden kann.

Der ursprüngliche Ausdruck ist wie folgt:

Kann Ihnen dienen: Wie viel ist X wert??

Und muss in der dreieckigen Region bewertet werden, die sich den Punkten (0, 0), (1, 0), (0, 1) anschließt, gekennzeichnet durch C. In diesem Fall wird der positive Sinn der Wende berücksichtigt.

Wo die Funktionen, die F und G entsprechen

f (x, y) = x³                      g (x, y) = yx

df/dy = 0 dg/dx = y

Es ist wichtig, die Funktionen zu definieren, aus denen die Grenzen des Region C besteht, und in der Lage zu sein, das Differentialprodukt zusammenzustellen, das die Region vollständig abdeckt.

Es gibt keine einzigartige Möglichkeit, Integrationsgrenzen bei der Anwendung des Green -Theorems zu definieren. Es gibt jedoch Formen, in denen Integrale nach der Definition einfacher sein können. So, dass die Optimierung der Integrationsgrenzen Aufmerksamkeit verdient.

Für diesen Fall wird dieser Ausdruck berücksichtigt:

Wo bei der Lösung der Integrale, die wir erhalten:

Dieser Wert entspricht in kubischen Einheiten der Region unterhalb der Vektorfunktion und in der durch C definierten dreieckigen Region.

Bei der Linienintegral ohne die grüne Methode wäre es erforderlich gewesen, die Funktionen in jedem Abschnitt der Region zu parametrisieren. Das heißt, 3 parametrisierte Integrale für die Auflösung machen. Dies ist ein ausreichender Beweis für die Wirksamkeit, die Robert Green mit seinem Satz zur Berechnung beigetragen hat.

Verweise

1. Einführung in die Kontinumsmechanik. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. Juli. 2009
2. Multivariable Infinitesimalrechnung. James Stewart. Cengage Learning, 22. März. 2011
3. Eine informelle Geschichte von Green's Theorem und damit verbundenen Ideen. James Joseph Cross. Abteilung für Mathematik, Universität von Melbourne, 1975
4. Wärmeverhalten unter Verwendung von Grünfunktionen. Kevin d. Cole, James V. Beck, a. Haji-Sheikh, Bahman Luckouhi. Taylor & Francis, 16. Juli. 2010
5. Anwendung des Green -Satzes auf die Extremisierung linearer Integrale. Verteidigungstechnischer Informationszentrum, 1961