Moivre Theorem

Wir erklären, was Moivres Theorem ist. Wir demonstrieren und schlagen gelöste Übungen vor und schlagen vor

Was ist Moivres Theorem?

Er Moivre Theorem Wenden Sie grundlegende Algebra -Prozesse an, wie z. Der Theorem wurde vom renommierten französischen Mathematiker Abraham de Moivre (1730) angegeben, der die komplexen Zahlen mit Trigonometrie in Verbindung brachte.

Abraham Moivre machte diese Assoziation durch die Ausdrücke von Brust und Coseno. Dieser Mathematiker erzeugte eine Art Formel, durch die es möglich ist.

Erläuterung

Der Theorem von Moivre legt Folgendes fest:

Wenn Sie eine komplexe Zahl in der polaren Form z = r haben_Ɵ, wobei R das Modul der komplexen Zahl Z ist und der Winkel ɵ Amplitude oder Argument einer komplexen Zahl mit 0 ≤ ɵ ≤ 2π bezeichnet wird, um seine N-diese Leistung zu berechnen, ist es nicht erforderlich, es selbst zu multiplizieren. N- Tweces; Das heißt, es ist nicht notwendig, das folgende Produkt herzustellen:

Z^N = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ *… *} R_Ɵ   N-you.

Für den Contario sagt der Satz, dass beim Schreiben von Z in seiner trigonometrischen Form um die einzige Macht zu berechnen, wie folgt vorhanden ist:

Ja z = r (cos ɵ + i _* Sünde ɵ) dann z^N = r^N (cos n*ɵ + i _* Sünde n*ɵ).

Zum Beispiel wenn n = 2, dann z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Wenn Sie n = 3, dann z³ = z² _* z. Neben:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Auf diese Weise können die trigonometrischen Gründe von Brust und Cosinus für Vielfache eines Winkels erhalten werden, solange die trigonometrischen Gründe des Winkels bekannt sind.

Auf die gleiche Weise kann es verwendet werden, um präzisere und weniger verwirrende Ausdrücke für die n -diese Wurzel einer komplexen Nummer Z zu finden, so dass z so^N = 1.

Um den Theorem von Moivre zu demonstrieren, wird das Prinzip der mathematischen Induktion verwendet: Wenn ein Ganzzahl „A“ eine „P“ -Fahrung hat und wenn für eine ganzzahlige „n“, die größer als „A“ ist, die das Eigentum „P“ hat. + 1 hat auch die Eigenschaft "P".

Demonstration von Moivres Theorem

Auf diese Weise erfolgt die Demonstration des Satzes mit den folgenden Schritten:

Induktive Basis

Zuerst wird es auf n = 1 überprüft.

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Wie z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], es muss n = 1 erfüllt werden.

Induktive Hypothese

Die Formel soll für eine positive Ganzzahl zutreffen, dh n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* Sünde K ɵ).

Überprüfung

Es ist bewiesen, dass es für n = k + 1 zutrifft.

Wie z^K+1= z^k _* Z, dann z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* Sünde Kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Dann multiplizieren die Ausdrücke:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*Sinɵ) + (i _* Sünde Kɵ)_*(cosɵ) + (i _* Sünde Kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Für einen Moment wird der Faktor R ignoriert^K+1,  Und Sie erhalten gemeinsames Faktor I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Da ich² = -1, wir ersetzen es im Ausdruck und bekommen:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Jetzt wird der wahre und imaginäre Teil bestellt:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Sinɵ) + i [(Sin Kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Um den Ausdruck zu vereinfachen, werden trigonometrische Identitäten von Winkeln für Cosinus und Sinus angewendet, die sind:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* Sünde b.

Sünde (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

In diesem Fall sind die Variablen die Winkel ɵ und kɵ. Wenn Sie trigonometrische Identitäten anwenden, haben Sie:

cos kɵ _* cosɵ -  Sünde Kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

Sünde Kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Auf diese Weise bleibt der Ausdruck:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* Sünde (Kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* Sünde [(k +1) ɵ]).

Somit könnte gezeigt werden, dass das Ergebnis für n = k+1 zutrifft. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion wird der Schluss gezogen, dass das Ergebnis für alle positiven Ganzzahlen gilt; das heißt, n ≥ 1.

Negatives Ganzes

Der Theorem von Moivre wird auch angewendet, wenn n ≤ 0. Betrachten wir ein negatives ganzes "n"; Dann kann "n" als "-m" geschrieben werden, das ist n = -m, "m" eine positive Ganzzahl ist. Deshalb:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-M

Um den Exponent "M" positiv zu erhalten, ist der Ausdruck umgekehrt geschrieben:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^M

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(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos mɵ + i _* Sünde Mɵ)

Jetzt wird verwendet, dass wenn z = a+b*i eine komplexe Zahl ist, 1 ÷ z = a-b*i. Deshalb:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Mit diesem cos (x) = cos (-x) und dem -sen (x) = sen (-x) muss es:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = [cos (mɵ) - i _* Sünde (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (nɵ) - i _* Sünde (nɵ).

Auf diese Weise kann gesagt werden, dass der Satz für alle Werte von "N" gilt.

Gelöste Übungen

Positive Leistungsberechnung

Eine der Operationen mit komplexen Zahlen in seiner polaren Form ist die Multiplikation zwischen zwei dieser; In diesem Fall vermehren sich die Module und die Argumente werden hinzugefügt.

Wenn Sie zwei komplexe Nummer z haben₁ und z₂ Und Sie möchten berechnen (z)₁*z₂)², Fahren Sie dann wie folgt fort:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ₂)]

Verteilungseigenschaft wird angewendet:

z₁z₂ = r₁ R₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* Sen ɵ₂ + Yo _* Sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

Sie werden gruppiert und zeichnen den Begriff "I" als häufiger Ausdrucksfaktor:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Ich (cos ɵ ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Da ich² = -1, es wird im Ausdruck ersetzt:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Ich (cos ɵ ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Die realen Begriffe mit Real und imaginär mit imaginären werden neu gruppiert:

z₁z₂ = r₁ R₂ [(cos ɵ ɵ_1* cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Schließlich werden trigonometrische Eigenschaften angewendet:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Abschließend:

(z₁*z₂)²= (r₁ R₂ [cos (ɵ ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)]))²

= R₁²R₂²[cos 2*(ɵ ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ ɵ₁ + Ɵ₂)].

Übung 1

Schreiben Sie die komplexe Zahl in polarer Form, wenn z = - 2 -2i. Berechnen Sie dann Z mit Moivres Theorem⁴.

Lösung

Die komplexe Zahl z = -2 -2i wird in der rechteckigen Form z = a +bi ausgedrückt, wobei:

A = -2.

B = -2.

Zu wissen, dass die polare Form z = r ist (cos ɵ + i _* Sen ɵ) Es ist notwendig, den Wert des Moduls „R“ und den Wert des Arguments „ɵ“ zu bestimmen. Als r = √ (a²+b²) werden die angegebenen Werte ersetzt:

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R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Um den Wert von „ɵ“ zu bestimmen, wird die rechteckige Form davon angewendet, die durch die Formel angegeben ist:

Also ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Als (ɵ) = 1 und es muss<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Wie bereits durch den Wert von "R" und "ɵ" erreicht, kann die komplexe Zahl z = -2 -2i in der polaren Form ausgedrückt werden, die die Werte ersetzt:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sünde (5π/4)).

Jetzt wird Moivres Theorem verwendet, um Z zu berechnen⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sünde (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* Sünde (5π)).

Übung 2

Finden Sie das Produkt komplexer Zahlen, die es in seiner polaren Form ausdrücken:

Z1 = 4 (cos 50^entweder + Yo_* Sen 50^entweder)

Z2 = 7 (cos 100^entweder + Yo_* Sen 100^entweder).

Berechnen Sie dann (Z1*Z2) ².

Lösung

Zuerst wird das Produkt der angegebenen Zahlen gebildet:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^entweder + Yo_* Sen 50^entweder)] * [7 (cos 100^entweder + Yo_* Sen 100^entweder)]

Dann vermehren sich die Module miteinander, und die Argumente werden hinzugefügt:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50)^entweder + 100^entweder) + i_* Sen (50^entweder + 100^entweder)]

Der Ausdruck ist vereinfacht:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^entweder + (Yo_* Sen 150^entweder).

Schließlich gilt der Theorem von Moivre:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (Cos 150^entweder + (Yo_* Sen 150^entweder)) ² = 784 (cos 300^entweder + (Yo_* Sen 300^entweder).

Berechnung negativer Kräfte

Zwei komplexe Zahlen zu teilen Z₁ und z₂ In seiner polaren Form ist das Modul geteilt und die Argumente werden abgezogen. Somit ist der Quotient z z₁ ÷ z₂ Und es wird wie folgt ausgedrückt:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ ɵ)₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)])).

Wie im vorherigen Fall möchten Sie (Z1 ÷ Z2) berechnen. ³ ist die Aufteilung erster Effekte und dann wird der Moivre -Theorem verwendet.

Übung 3

Würfel:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Berechnen Sie (Z1 ÷ Z2) ³.

Lösung

Nach den oben beschriebenen Schritten kann geschlossen werden, dass:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4)) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Verweise

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