Steiner Erklärungssatz, Anwendungen, Übungen

Er Steiners Theorem, auch bekannt als Parallelachse Theorem, Es ermöglicht es, den Trägheitsmoment eines erweiterten Körpers um eine Achse zu bewerten, die parallel zu einer anderen ist, die durch den Massenzentrum des Objekts fließt.

Es wurde vom Schweizer Mathematiker entdeckt_Cm Der Moment der Trägheit des Objekts in Bezug auf eine Achse, die durch das CM- und I -Massenzentrum fließt_z Der Moment der Trägheit in Bezug auf eine andere parallele Achse dazu.

Abbildung 1. Eine rechteckige Tür, die ihre Freuden einschaltet. Quelle: Pixabay.

Bekannt der Abstand D, der beide Achsen und die Masse m vom fraglichen Körper trennt, lautet der Trägheitsmoment in Bezug auf die inkognito -Achse:

Yo_z = I_Cm + Md²

Der Trägheitsmoment zeigt an, wie einfach es ist, dass sich ein Objekt um eine bestimmte Achse dreht. Es hängt nicht nur vom Körperkörper ab, sondern auch von der Verteilung. Aus diesem Grund ist es auch als bekannt als als Rotationsträge, Ihre Einheiten im internationalen KG -System zu sein . M².

Der Satz zeigt, dass der Moment der Trägheit Yo_z Es ist immer größer als der Moment der Trägheit Yo_Cm in einer Menge gegeben von M.D².

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Anwendungen

Wenn ein Objekt in der Lage ist, sich um zahlreiche Achsen zu drehen, und in den Tabellen normalerweise nur im Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch den Schwerpunkt fließt Das.

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Zum Beispiel dreht sich eine Tür üblich.

Wenn Sie den Trägheitsmoment kennen, ist es möglich, die mit der Rotation dieser Achse verbundene kinetische Energie zu berechnen. Ja K ist kinetische Energie, Yo Der Moment der Trägheit um die fragliche Achse und Ω Winkelgeschwindigkeit wird erfüllt, dass:

K = ½ i.Ω²

Diese Gleichung ist der sehr vertrauten Formel der kinetischen Energie für ein Massenobjekt sehr ähnlich M sich mit Geschwindigkeit bewegen v:  K = ½ m.v². Und ist, dass der Moment der Trägheit oder der Rotationsträgheit Yo spielt in der Rotation die gleiche Rolle wie der Teig M In der Übersetzung.

Demonstration von Steiners Theorem

Der Trägheitsmoment eines erweiterten Objekts ist definiert als:

I = ∫R² DM

Wo DM Es ist eine infinitesimale Masse der Masse und R Es ist der Abstand zwischen DM und die Rotationsachse z. In Abbildung 2 überschreitet diese Achse den Massenzentrum, aber jeder kann jeder sein.

Figur 2. Ein Objekt, das sich um zwei parallele Achsen in Drehung erweitert. Quelle: f. Zapata.

Um eine andere Achse  z ', Der Moment der Trägheit ist:

Yo_z= ∫ (R ')² DM

Jetzt nach dem von den Vektoren gebildeten Dreieck D, R Und R ' (Siehe Abbildung 2 rechts) Es gibt eine Vektorsumme:

R + R ' = D   → R ' = D - R

Die drei Vektoren befinden sich in der Ebene des Objekts, das das sein kann Xy. Der Ursprung des Koordinatensystems (0.0) wird in CM ausgewählt, um die folgenden Berechnungen zu erleichtern.

Auf diese Weise das quadratische Modul des Vektors R ' Ist:

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(R ')² = (D_X- R_X)² +(D_Und - R_Und)² =

= D_X² + D_Und² +R_X² + R_Und2 -2d_XR_X - 2 d_UndR_Und =

= D² + R²  - 2d_XR_X - 2 d_UndR_Und

Jetzt wird diese Entwicklung im Integral des Trägheitsmoments ersetzt i_z und auch die Definition von Dichte dm = ρ wird verwendet.DV:

Der Begriff m. D² Das in Steiners Theorem erscheint aus dem ersten Integral, der zweite ist der Moment der Trägheit in Bezug auf die Achse, die durch CM fließt.

Das dritte und vierte Integrale ist für seinen Teil 0 wert, da sie per Definition die Position des CM bilden, die als Ursprung des Koordinatensystems ausgewählt wurde (0,0).

Gelöste Übungen

-Übung gelöst 1

Die rechteckige Tür in Abbildung 1 hat eine Masse von 23 kg, 1,30 breit und 2,10 m hoch. Bestimmen Sie den Trägheitsmoment der Tür in Bezug auf die Achse, die durch die Freude verläuft, vorausgesetzt, die Tür ist dünn und gleichmäßig.

Figur 3. Schema für das Beispiel gelöst 1. Quelle: Modifiziert Pixabay.

Lösung

Aus einem Tisch mit Trägheitsmomenten für eine rechteckige Platte mit Masse M und Abmessungen Zu Und B, Der Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch ihren Massenzentrum fließt, lautet: i: i_Cm = (1/12)M(Zu² + B²).

Eine homogene Tür wird angenommen (ein Ansatz, da die Tür der Figur wahrscheinlich nicht so sehr ist). In diesem Fall fließt das Massenzentrum durch sein geometrisches Zentrum. In Abbildung 3 wurde eine Achse, die durch das Massenzentrum fließt, gezogen und ist auch parallel zur Achse, die durch die Freude fließt.

Yo_Cm = (1/12) x 23 kg x (1.30²+2.10²) M² = 11.7 kg.M²

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Anwenden von Steiners Theorem für die grüne Rotationsachse:

I = i_Cm + Md² = 11.7 kg.M² + 23 kg x 0.652 m² = 21.4 kg.

-Übung gelöst 2

Finden Sie den Trägheitsmoment eines dünnen homogenen Stab. Ist es größer oder weniger als der Trägheitsmoment, wenn es sich um sein Zentrum dreht? Weil?

Figur 4. Schema für das Beispiel gelöst 2. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Nach den Trägheitsmomenten zufolge der Trägheitsmoment Yo_Cm einer dünnen Teigstange M und Länge L Ist: Yo_Cm = (1/12) ml²

Und Steiners Theorem stellt fest, dass wenn es um eine Achse gedreht wird, die durch ein Ende d = l/2 führt:

I = i_Cm + Md² = (1/12) ml² + M (l/2)² = (1/3) ml²

Es ist alt.

Der Einfluss des Abstands auf die Rotationsachse ist nicht linear, sondern quadratisch. Eine Masse, die doppelt so weit ist, dass ein anderer Trägheitsmoment proportional zu (2D) hat² = 4d².

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Drehbewegung. Erholt von: phys.Nthu.Edu.Tw.
3. Parallelachse Theorem. Erholt von: Hyperphysik.Phy-astr.GSU.Edu.
4. Rex, a. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Parallelachse Theorem. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org