Torricelli Theorem

Was ist Torricellis Theorem?

Er Torricelli Theorem o Torricelli -Prinzip besagt, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die durch das Loch in der Wand eines Tanks oder eines Behälters herauskommt Das Loch.

Der Satz ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Illustration von Torricellis Theorem. Quelle: Selbst gemacht.

Aufgrund des Theorems von Torricellis können wir dann sagen, dass die Ausgangsgeschwindigkeit der Flüssigkeit durch ein Loch bis zur Höhe h unter der freien Oberfläche der Flüssigkeit durch die folgende Formel angegeben ist:

Wobei G die Beschleunigung der Schwerkraft und H ist die Höhe vom Loch bis zur freien Oberfläche der Flüssigkeit.

Evangelist Torricelli war ein Körperbau und Mathematiker, der 1608 in der Stadt Faenza, Italien, geboren wurde. Torricelli wird auf die Erfindung des Mercury -Barometers zurückgeführt, und in der Erkenntnis gibt es eine Druckeinheit namens „Torr“, die einem Quecksilbermillimeter (mm Hg) entspricht, entspricht einem Mercury Millimeter.

Demonstration des Satzes

In Torricellis Theorem und in der Formel, die die Geschwindigkeit ergibt.

Die vorherige Annahme ist in den meisten Fällen angemessen und impliziert auch die Erhaltung der mechanischen Energie.

Um den Satz zu demonstrieren, werden wir in erster Linie die Geschwindigkeitsformel für ein Objekt finden, das mit Null anfänglicher Schnelligkeit freigesetzt wird, von der gleichen Höhe wie die flüssige Oberfläche im Tank.

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Das Energieminerationsprinzip wird angewendet, um die Geschwindigkeit des Objekts zu erhalten, das nur dann fällt, wenn eine Höhe gesunken ist H gleich dem von dem Loch zur freien Oberfläche.

Da es keine Reibungsverluste gibt, ist es gültig, das Prinzip der mechanischen Energieeinsparung anzuwenden. Angenommen, das Objekt, das fällt, hat Masse m und die Höhe H wird aus dem Flüssigkeitsausgangsniveau gemessen.

Objekt, das fällt

Wenn das Objekt aus einer Höhe entlassen wird, die der der freien Oberfläche der Flüssigkeit entspricht, ist seine Energie nur das Gravitationspotential, da seine Geschwindigkeit Null ist und daher seine kinetische Energie Null ist. Die potentielle Energie -EP ist gegeben durch:

Ep = m g h

Wenn es vor das Loch geht, ist seine Höhe Null, dann ist die potentielle Energie Null, so dass es nur kinetische Energie EC gibt, die durch:

EC = ½ m v²

Da die Energie erhalten bleibt, wird EP = EC von dem erhalten, was erhalten wird:

½ m v² = m g h

Die Geschwindigkeit räumen v Die Torricelli -Formel wird dann erhalten:

Flüssigkeit, die aus dem Loch kommt

Als Nächst.

Dafür werden wir uns auf das Bernoulli -Prinzip verlassen, was nichts anderes als die Energieerhaltung ist, die auf Flüssigkeiten angewendet wird.

Bernoullis Prinzip ist so formuliert:

Die Interpretation dieser Formel lautet wie folgt:

• Der erste Term repräsentiert die kinetische Energie der Flüssigkeit pro Volumeneinheit
• Die zweite repräsentiert die Arbeit, die durch den Druck pro Einheit der Querfläche geleistet wird
• Der dritte repräsentiert Gravitationspotentialergie pro Einheit des Flüssigkeitsvolumens.

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Wenn wir von der Prämisse, die eine ideale Flüssigkeit ist.

In dieser Formel V ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, ρ Flüssigkeitsdichte, P der Druck und z Die vertikale Position.

In der folgenden Abbildung wird die Formel von Torricellis basierend auf dem Bernoulli -Prinzip demonstriert.

Wir tragen die Bernoulli -Formel auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit auf, die wir für (1) und in dem Ausgangsloch bezeichnen, das wir durch (2) bezeichnen. Der Nullhöhenpegel wurde mit dem Ausgangsloch ausgewählt.

Unter der Prämisse, dass der Querschnitt in (1) viel größer ist als in (2), können wir dann annehmen, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in (1) praktisch vernachlässigbar ist.

Deshalb wurde V platziert₁= 0, der Druck, für den die Flüssigkeit in (1) ausgesetzt ist, ist der atmosphärische Druck und die aus dem Loch gemessene Höhe ist H.

Für den Ausgangsabschnitt (2) gehen wir davon aus.

Die Werte, die den Abschnitten (1) und (2) entsprechen, werden in der Bernoulli -Formel ersetzt und gleich. Gleichheit ist gültig, weil wir davon ausgehen, dass die Flüssigkeit ideal ist und es keine viskosen Reibungsverluste gibt. Sobald alle Begriffe vereinfacht wurden, wird die Geschwindigkeit im Ausgangsloch erhalten.

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Das vorherige Box zeigt, dass das erhaltene Ergebnis das gleiche ist wie das eines Objekts, das frei fällt,

Mit dem demonstriert der Torricelli -Prinzip.

Gelöste Übungen

Übung 1

Yo) Das kleine Auslassrohr eines Wassertanks liegt 3 m unter der Wasseroberfläche. Berechnen Sie die Wasserauslassgeschwindigkeit.

Lösung:

Die folgende Abbildung zeigt, wie die Formel von Torricelli für diesen Fall angewendet wird.

Übung 2

Ii) Angenommen, das Ausgangsrohr des vorherigen Übungsbehälters hat einen Durchmesser von 1 cm.

Lösung:

Der Fluss ist das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit erscheint und einfach berechnet wird, indem die Ausgangslochfläche mit der Ausgangsgeschwindigkeit multipliziert wird.

Die folgende Abbildung zeigt die Details der Berechnung.

Übung 3

III) Bestimmen Sie, wie hoch die freie Oberfläche des Wassers in einem Behälter ist, falls dies bekannt ist

dass in einem Loch am Boden des Behälters das Wasser auf 10 m/s beträgt.

Lösung:

Auch wenn sich das Loch am Boden des Behälters befindet, kann die Formel von Torricelli angewendet werden.

Die folgende Abbildung zeigt die Details der Berechnungen.

Verweise

1. Wikipedia. Torricelli Theorem.
2. Hewitt, p. Konzeptionelle Physik. FÜNFTE AUSGABE.119.
3. Junge, Hugh. 2016. Sears-Zanskys Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. ed. Pearson. 384.