Varignon -Theorem

Abbildung 1.- Varignons Theorem bestätigt, dass die Summe des Kräftemoments um einen bestimmten Punkt der Zeit des Ergebnisses in Bezug auf diesen Punkt äquivalent ist. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata.

Was ist Varignons Theorem?

Varignons Theorem in der Mechanik besagt, dass die Summe der Momente, die durch ein System gleichzeitiger Kräfte in Bezug auf einen bestimmten Punkt erzeugt werden, gleich dem Moment der resultierenden Kraft in Bezug auf denselben Punkt ist.

Aus diesem Grund ist dieser Satz auch als bekannt als als Der Beginn der Momente.

Während der erste, der angab, war es der niederländische Simon Stevin (1548-1620), der Schöpfer des hydrostatischen Paradoxons, der französische Mathematiker Pierre Varignon (1654-1722), der ihm später seine endgültige Form gab.

Ein Beispiel dafür, wie Varignons Theorem in der Mechanik funktioniert F₁ Und F₂, (Mit kühnem Vektorcharakter gekennzeichnet). Diese Kräfte führen zu einem Netz oder einer resultierenden Kraft, genannt F_R.

Jede Kraft übt ein Drehmoment oder ein Moment in Bezug auf einen Punkt aus oder, der vom Vektorprodukt zwischen dem Positionsvektor berechnet wird R_Op und der Streengh F, Wo R_Op Es ist von oder bis zum Punkt der Übereinstimmung P:

M_O1 = R_Op × F₁

M_O2 = R_Op × F₂

Angesichts der F_R = F₁ + F₂, So:

M_ENTWEDER = R_Op × F₁ + R_Op × F₂ = M_O1 + M_O2

Aber wie R_Op Es ist also ein häufiger Faktor, der Verteilungseigenschaft auf das Kreuzprodukt anwendet:

M_ENTWEDER = R_Op × (F₁ + F₂) = R_Op × F_R                

Daher ist die Summe der Momente oder Drehmomente jeder Kraft in Bezug auf den Punkt oder entspricht der Zeit der resultierenden Kraft in Bezug auf denselben Punkt.

Aussage und Demonstration

Ein System von nähigen Kräften sein, gebildet von durch F₁, F₂, F₃.. F_N, deren Wirkungslinien am Punkt P (siehe Abbildung 1), dem Moment dieses Kräftesystems, bestimmt M_ENTWEDER, In Bezug auf einen Punkt oder wird gegeben durch:

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M_ENTWEDER = R_Op × F₁ + R_Op × F₂ + R_Op × F₃ +.. R_Op × F_N = R_Op × (F₁ + F₂ + F₃ +.. F_N)

Demonstration

Um den Satz zu demonstrieren, wird die Verteilungseigenschaft des Vektorprodukts zwischen den Vektoren hergestellt.

Sei die Kräfte F₁, F₂, F₃.. F_N angewendet auf Punkte auf₁, ZU₂, ZU₃… ZU_N und gleichzeitig an Punkt p. Das resultierende Moment dieses Systems in Bezug auf einen Punkt oder genannt M_ENTWEDER, Es ist die Summe der Momente jeder Kraft in Bezug auf diesen Punkt:

M_ENTWEDER = ∑ R_Oai × F_Yo

Wo die Summe von i = 1 zu i = n geht, da es N -Kräfte gibt. Da es sich um gleichzeitige Kräfte handelt und das Vektorprodukt zwischen parallelen Vektoren null ist, kommt es vor, dass:

R_Pai × F_Yo = 0

Mit dem Nullvektor als als bezeichnet als als 0.

Der Moment einer der Kräfte in Bezug auf O, zum Beispiel den der Gewalt F_Yo in a angewendet_Yo, Es ist so geschrieben:

M_{I habe gehört} = R_Oai × F_Yo

Der Positionsvektor R_Oai  Es kann als Summe von zwei Vektoren ausgedrückt werden:

R_Oai = R_Op + R_Pai

Auf diese Weise den Moment in Bezug auf oder Kraft F_Yo Ist:

M_{I habe gehört} = (R_Op + R_Pai) × F_Yo = (R_Op × F_Yo) + (R_Pai × F_Yo)

Aber der letzte Begriff ist null, wie oben erläutert, weil R_Pai ist auf dem Vorgang der Wirklinie von F_Yo, Deshalb:

M_{I habe gehört} = R_Op × F_Yo

Zu wissen, dass der Moment des Systems in Bezug auf Punkt oder die Summe aller einzelnen Momente jeder Kraft in Bezug auf diesen Punkt ist, dann:

M_ENTWEDER = ∑ M_{I habe gehört} = ∑ R_Op × F_Yo

Als R_Op Es ist konstant aus der Summe:

M_ENTWEDER = R_Op × (∑ F_Yo)

Aber ∑ F_Yo Es ist einfach das resultierende Netz oder die resultierende Kraft F_R, Daher wird sofort der Schluss gezogen:

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M_ENTWEDER = R_Op × F_R

Beispiel

Varignons Theorem erleichtert die Berechnung des Kraftmoments F In Bezug auf den in der Abbildung gezeigten Punkt oder die in der Abbildung gezeigte Kraft wird die Kraft in ihre rechteckigen Komponenten unterteilt und der Moment eines jeden von ihnen berechnet:

Figur 2.- Varignons Theorem gilt für die Berechnung des Krafts der Kraft um oder. Quelle: f. Zapata.

Varignon -Theoremanwendungen

Wenn die aus einem System resultierende Kraft bekannt ist, kann Varignons Theorem angewendet werden, um die Summe jeder der von den Kräften erzeugten Momenten zu ersetzen.

Wenn das System aus Kräften auf derselben Ebene und dem Punkt besteht.

Wenn sich beispielsweise alle Kräfte in der XY -Ebene befinden, ist der Moment auf die Z -Achse gerichtet und bleibt nur, um seine Größe und seine Bedeutung zu finden, dies ist der Fall des oben beschriebenen Beispiels.

In diesem Fall ermöglicht Varignons Theorem die Berechnung des vom System durch die Summierung resultierenden Moment. Es ist sehr nützlich bei einem System von dreidimensionalen Kräften, für die die Richtung des resultierenden Moments a priori nicht bekannt ist.

Um diese Übungen zu lösen, ist es bequem.

Übung gelöst

Berechnen Sie nach Varignon -Theorem den Moment der Kraft F um den Punkt oder in der Abbildung, wenn die Größe von F 725 n beträgt.

Figur 3.- Zahl für die Übung gelöst. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Force Zersetzungen zur Anwendung von Varignon -Theorem F In zwei Komponenten, deren jeweilige Momente um oder berechnet und hinzugefügt werden, um den resultierenden Moment zu erhalten.

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F_X = 725 n ∙ cos 37 º = 579.0 n

F_Und = - 725 n n ∙ sen 37 º = –436.3 n

Ebenso der Positionsvektor R Regie von oder zu A hat die Komponenten:

R_X = 2.5m

R_Und = 5.0 m

Figur 4.- Kraft- und Positionskomponenten. Quelle: f. Zapata.

Der Moment jeder Komponente der Kraft in Bezug auf oder multipliziert die Kraft und die senkrechte Entfernung.

Beide Kräfte neigen dazu, die Struktur in die gleiche Richtung zu drehen, was in diesem Fall der Score -Sinn ist, dem willkürlich ein positives Zeichen zugewiesen wird:

M_Ochse = F_X∙ r_Und ∙ sin 90º = 579.0 n ∙ 5.0 m = 2895 n ∙ m

M_Oy = F_Und∙ r_X ∙ sin (–90º) = –436.3 n ∙ 2.5 m ∙ (-1) = 1090.8 n ∙ m

Der resultierende Moment in Bezug auf oder ist:

M_ENTWEDER = M_Ochse + M_Oy = 3985.8 n ∙ m senkrecht zur Ebene und in einem Drehmoment.

Verweise

1. Bedford, 2000. ZU. Mechanik für das Engineering: Statisch. Addison Wesley. 
2. Bier, f. 2010. Statisch. McGraw Hill. 9na. Auflage.
3. Hibbeler, R. 1992. Mechaniker für Ingenieure. 6. Auflage. CECSA.
4. HK Engineering. Varignon -Theorem. Erholt von: YouTube.com.
5. Wikipedia. Varignons Theorem (Mechanik). Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.