Binomialsatz

Was ist der Binomialsatz??

Er Binomialsatz Es ist eine Gleichung, die uns zeigt, wie sich ein Ausdruck der Form entwickelt (A+B)^N Für eine natürliche Zahl n. Ein Binomial ist nichts anderes als die Summe von zwei Elementen wie (A+B). Es ermöglicht es uns auch, für einen Begriff zu wissen, der von angegeben wurde^kB^N-K Was ist der Koeffizient, der ihn begleitet?.

Dieser Satz wird üblicherweise auf englischen Erfinder, physischen und mathematischen Sir Isaac Newton zurückgeführt. Es wurden jedoch verschiedene Aufzeichnungen festgestellt, die darauf hinweisen, dass seine Existenz bereits im Nahen Osten im Jahr 1000 bekannt war.

Kombinationszahlen

Der Binomial -Theorem mathematisch sagt uns Folgendes aus:

In diesem Ausdruck sind A und B reelle Zahlen und N ist eine natürliche Zahl.

Bevor wir die Demonstration geben, sehen wir einige grundlegende Konzepte, die notwendig sind.

Die kombinatorische Anzahl oder Kombinationen von N in k wird wie folgt ausgedrückt:

Dies drückt den Wert aus, wie viele Untergruppen mit K -Elementen aus einer Reihe von N -Elementen ausgewählt werden können. Sein algebraischer Ausdruck ist gegeben durch:

Schauen wir uns ein Beispiel an: Angenommen, wir haben eine Gruppe von sieben Bällen, von denen zwei rot und der Rest blau sind.

Wir möchten wissen, wie viele Möglichkeiten wir in einer Reihe bestellen können. Eine Möglichkeit könnte darin bestehen, die beiden Roten in der ersten und zweiten Position und den Rest der Bälle in den Positionen zu stellen, die verbleiben.

Ähnlich wie im vorherigen Fall konnten wir den roten Bällen die erste und letzte Position geben und die anderen mit blauen Bällen besetzen.

Ein effektiver Weg, um zu zählen, wie viele Möglichkeiten wir die Bälle in einer Reihe bestellen können, besteht darin, kombinatorische Zahlen zu verwenden. Wir können jede Position als Element des folgenden Satzes sehen:

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Im Folgenden finden Sie nur eine Teilmenge von zwei Elementen, in denen jede dieser Elemente die Position darstellt, die die roten Kugeln besetzen werden. Wir können diese Wahl entsprechend der Beziehung treffen, die von:

Auf diese Weise haben wir, dass es 21 Möglichkeiten gibt, solche Bälle zu bestellen.

Die allgemeine Idee dieses Beispiels wird bei der Demonstration des Binomialsatzes sehr nützlich sein. Schauen wir uns einen bestimmten Fall an: Wenn n = 4, haben wir (a+b)⁴, Das ist nichts anderes als:

Wenn wir dieses Produkt entwickeln, haben wir die Summe der Begriffe, die durch Multiplizieren eines Elements jedes der vier Faktoren erhalten werden (A+B). Daher werden wir Begriffe haben, die in Form sein werden:

Wenn wir den Begriff der Form zu erhalten wollten, um⁴, Es reicht nur aus, sich wie folgt zu multiplizieren:

Beachten Sie, dass es nur einen Weg gibt, dieses Element zu erhalten. Aber was passiert, wenn wir jetzt nach dem Ende der Form suchen²B²? Als "A" und "B" sind reelle Zahlen, und deshalb ist es das kommutative Gesetz wert, wir müssen diesen Begriff erhalten, um mit den Mitgliedern zu multiplizieren, wie in den Pfeilen angegeben.

All diese Operationen durchzuführen ist normalerweise etwas langweilig, aber wenn wir den Begriff "A" als Kombination sehen, in dem wir wissen möchten, wie viele Möglichkeiten wir zwei "A" aus vier Faktoren wählen können, können wir die Idee von verwenden Das vorherige Beispiel des vorherigen Beispiels. Wir haben also Folgendes:

Daher wissen wir das in der endgültigen Entwicklung des Ausdrucks (A+B)⁴ Wir werden genau den 6. haben²B². Mit der gleichen Idee für andere Elemente müssen Sie:

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Dann fügen wir die oben erhaltenen Ausdrücke hinzu und müssen:

Es ist eine formale Demonstration für den allgemeinen Fall, in dem "N" eine natürliche Zahl ist.

Demonstration

Beachten Sie, dass die Begriffe bei der Entwicklung (A+B) hinterlassen wurden^N Sie sind von der Form bis zu^kB^N-K, wo k = 0,1,…, n. Mit der Idee des vorherigen Beispiels haben wir den Weg, "k" -Variablen "A" der "n" -Faktoren zu wählen, die:

Bei der Auswahl auf diese Weise wählen wir automatisch N-K-Variablen "B",. Dies folgt:

Beispiele

Berücksichtigung (a+b)⁵, Was wäre Ihre Entwicklung??

Für den Binomialsatz müssen wir:

Der Binomialsatz ist sehr nützlich, wenn wir einen Ausdruck haben, in dem wir wissen möchten, welcher Koeffizient eines bestimmten Terms ist, ohne die vollständige Entwicklung durchzuführen. Als Beispiel können wir das folgende Unbekannte nehmen: Was ist der X -Koeffizient⁷Und⁹ In der Entwicklung von (x + y)¹⁶?

Für den Binomialsatz haben wir, dass der Koeffizient:

Ein weiteres Beispiel wäre: Was ist der X -Koeffizient⁵Und⁸ In der Entwicklung von (3x-7y)¹³?

Zuerst schreiben wir den Ausdruck bequem um. das ist:

Mit dem Binomialsatz haben wir dann, dass der gesuchte Koeffizient ist, wenn Sie K = 5 haben

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung dieses Theorems ist die Demonstration einiger häufiger Identitäten, wie diejenigen, die wir unten erwähnen werden.

Identität 1

Wenn "n" eine natürliche Zahl ist, müssen wir:

Für die Demonstration verwenden wir den Binomialsatz, bei dem beide "A" und "B" den Wert von 1 nehmen. Dann haben wir:

Auf diese Weise haben wir die erste Identität bewiesen.

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Identität 2

Wenn "n" eine natürliche Zahl ist, dann

Für den Binomialsatz müssen wir:

Eine weitere Demonstration

Wir können eine andere Demonstration für den Binomialsatz unter Verwendung der induktiven Methode und der Identität von Pascal machen, was uns sagt, dass, wenn "n" und "k" positive Ganzzahlen sind, die N ≥ k entsprechen, dann:

Induktionsdemonstration

Mal sehen, dass die induktive Basis erfüllt ist.  Wenn n = 1, müssen wir:

In der Tat sehen wir, dass es erfüllt ist. Nun entweder n = j so, dass es erfüllt ist:

Wir wollen das für n = j+1 sehen, es ist wahr, dass:

Also müssen wir:

Durch Hypothese wissen wir das:

Dann mithilfe von Verteilungseigenschaften:

Anschließend ist die Entwicklung jeder Zusammenfassungen:

Wenn wir nun bequem gruppieren, müssen wir:

Mit der Identität von Pascal müssen wir:

Beachten Sie schließlich:

Daher sehen wir, dass der Binomialsatz für jeden "n" erfüllt ist, der zu natürlichen Zahlen gehört, und damit endet der Test endet.

Kuriositäten

Die kombinatorische Zahl (NK) wird auch als Binomialkoeffizient bezeichnet, da genau der Koeffizient in der Entwicklung des Binomialen (A+B) auftritt^N.

Isaac Newton gab eine Verallgemeinerung dieses Satzes für den Fall, in dem der Exponent eine reelle Zahl ist. Dieser Theorem ist als Newtons Binomialsatz bekannt.

Bereits in der Antike war dieses Ergebnis für den speziellen Fall bekannt, in dem n = 2. Dieser Fall wird in der erwähnt Artikel von Euklid.