Erklärungsfaktor -Theorem, Beispiele, Übungen

Er Faktorsatz Gibt an, dass ein Polynom p (x) durch ein Binomial der Form (x - a) teilbar ist, wenn x = a eine Wurzel von P (x) ist, dh p (a) = 0. Es wird gesagt, dass ein Polynom unter einem anderen teilbar ist, wenn sein Rückstand oder seine Ruhe Null ist.

Ein Polynom ist Ausdruck von Form:

P (x) = a_N X^N + Zu_N-1 X^N-1 +… + A₁ x + a₀

Abbildung 1. Faktorsatz. Quelle: f. Zapata.

Wo:

-n ist der Grad des Polynoms, der die größte Ganzzahlzahl ist, zu der die unabhängige Variable X steigt,

-Werte a_N, Zu_N-1 ,… + A₁ , Zu₀ Sie sind die Koeffizienten des Polynoms, die im Allgemeinen reelle Zahlen sind, aber sie könnten auch komplexe Zahlen sein.

Ein Polynom -N -Polynom kann sich als Produkt von Formbinomien zersetzen:

(X - r_Yo)

Wo r_Yo Es ist die I-alkish p (x) Wurzel:

P (x) = a_N (X - r₁) (X - r₂)… (X - r_N)

Da die Anzahl der Wurzeln eines Polynoms gleich dem Grad desselben ist.

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Beispiele

- Beispiel 1

Betrachten Sie das Polynom durch Fall:

P (x) = 3 Märische x² - 700 x + 2

Sie möchten wissen, ob dieses Polynom durch das Binomial (x - 2) teilbar ist. Wenn der Faktorsatz verwendet wird, müssen wir P (x = 2) bewerten, um zu wissen, ob der Wert 2 eine Wurzel ist oder nicht ist. Wir bewerten dann den Ausdruck:

P (2) = 3 Märatur 22 - 7 Märale 2 = 3 Märt 4 - 700 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Es stellt sich heraus, dass x = 2 P (x) Wurzel ist. Nach dem Faktor -Theorem ist das Binomial (x - 2) tatsächlich ein Faktor von P (x).

Gehen wir weiter zur direkten Überprüfung, um die Abteilung zu machen. Das Detail, wie die Teilung hergestellt wird, ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Figur 2.- Polynomabteilung P (x) zwischen Binomial x-2. Quelle: f. Zapata.

Es wird verifiziert, dass der Quotient zwischen p (x) und (x -2) ein Polynom eines kleinen Grades bezeichnet.

Kann Ihnen dienen: Vektorfunktionen

Wir können das Ergebnis wie folgt zusammenfassen:

(3offe² - 700 x + 2) ÷ (x -2) = (3 Märed - 1) + 0

Der vorherige Ausdruck kann auf andere Weise geschrieben werden, und erinnert sich einfach daran, dass die Dividende P (x) dem Produkt des Divisors (x -2) durch den Quotienten (3 Märatur - 1) plus den Rückstand (Null in diesem Fall ):

(3offe² - 700 x + 2) = (x -2) (3 Märatur - 1) + 0

Auf diese Weise schreibt das p (x) Polynom (x), dh als Produkt von Polynomen, das ursprüngliche Polynom: das ursprüngliche Polynom:

(3offe² - 7 Märale x + 2) = (x -2) (3 Märatur - 1)

- Beispiel 2

Sei das Polynom q (x) = x³ - x + 2. Sie möchten wissen, ob es durch das Binomial (x + 1) teilbar ist.

Der direkteste Weg ist einfach, den Faktorsatz anzuwenden. In diesem Fall müssen Sie lediglich überprüfen, ob x = -1 annuliert oder nicht das Polynom q (x).

Wir fahren mit dem Ersetzen fort:

Q (-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

Das Ergebnis unterscheidet sich von Null, daher stellt der Faktor-Theorem sicher, dass Polynom q (x) zwischen (x + 1) nicht teilbar ist, da q (-1) ≠.

Jetzt wird die Aufteilung von q (x) zwischen dem Binomial (x + 1) als Überprüfungsmethode unserer Schlussfolgerung erfolgen.

Bei dieser Gelegenheit wird die Division durch die synthetische Divisionsmethode durchgeführt, die darin besteht.

Dann wird in der ersten Spalte der unabhängige Begriff des Divisors platziert, aber mit dem Zeichen geändert, in unserem Fall ist der Divisor (x + 1). Sein unabhängiger Begriff ist 1, aber wie in der ersten Spalte wird es geändert.

Die folgende Abbildung zeigt, wie die synthetische Aufteilung durchgeführt wird:

Kann Ihnen dienen: PolynomgleichungenFigur 3. Beispiel für die polynomische synthetische Aufteilung. Quelle: f. Zapata.

Mit diesem Ergebnis ist nachgewiesen, dass (x + 1) es kein Faktor für Polynom q (x) = x ist³ - x + 2 Da der Rest nicht Null ist.

Diese Schlussfolgerung ist nicht überrascht, da sie bereits mit dem Faktor -Theorem vorhergesagt wurde. Beachten Sie, dass beim Ersetzen von x = -1 in q (x) das erhalten wird, was genau der Rest oder der Rest der Polynomabteilung ist, da q (-1) = Rückstand = 2 ist.

Natürlich liefert die Abteilung die zusätzlichen Informationen von Quotienten C (x) = x² - X.

Wenn Sie daran denken, dass die Dividende q (x) gleich dem Divisor (x + 1) durch Verhältnis C (x) plus dem Rest r = 2 ist, haben wir wie folgt die Expansion des Polynoms q (x) wie folgt:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Es ist zu beachten, dass dieser Ausdruck nicht die Faktorisierung des Polynoms ist, da ein Nicht -Null -Term hinzugefügt wird, was genau der Wert von Wert 2 ist.

Übungen

- Übung 1

Finden Sie die Polynomfaktoren

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

Und schreiben Sie auch Ihre Faktorisierung.

Lösung

Der Faktorsatz zeigt an, dass wir nach den Wurzeln suchen müssen Zu und dann die Faktoren (x - Zu) In diesem Fall müssen es drei Wurzeln geben, da es sich um ein Polynom der dritten Klasse handelt. 

Da es sich um ein Polynom mit ganzen Koeffizienten handelt, müssen die Wurzeln zu den Teilern des unabhängigen Begriffs gehören, der in diesem Fall 8 ist. Diese Divisoren sind:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Wir beginnen mit der Erkundung von +1: p (+1) = 1³ - 5 Planung 1² + 2offe 1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6, das sich von 0 unterscheidet, daher ist +1 keine Wurzel.

Wir erforschen -1:

P (-1) = (-1)³ - 5 Planung (-1)² + 200 (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0

Aus dem Ergebnis wird der Schluss gezogen, dass -1 die Wurzel von p (x) y (x -( -1)) = (x + 1) ist ein Polynomfaktor.

Kann Ihnen dienen: Mindestquadrate

Wir müssen zwei weitere Faktoren finden:

Wir haben den nächsten ausprobiert, der +2 ist:

P (+2) = (+2)³ - 5offe (+2)² + 200 (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Wieder bekommen wir Null. Dann ist der andere Faktor (x - 2).

Da es sich um ein Polynom der dritten Klasse handelt. Jetzt haben wir den +4 -Wert ausprobiert, um zu wissen, ob das Polynom abbricht:

P (+4) = (+4)³ - 5offe (+4)² + 200 (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.

Mit anderen Worten.

Sie müssen nicht weiter suchen, weil es ein Polynom der Klasse 3 ist, das höchstens drei Wurzeln hat. In dieser Übung erwiesen sich alle Wurzeln als real und ganz.

Daher ist das Polynom P (x) Faktor wie folgt:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Übung 2

Das Púx -Polynom sein³ - x + 2p. Bestimmen Sie den Wert von p für das Polynom, um durch (x + 2) teilbar zu sein.

Lösung

Wir verwenden den Faktor -Theorem, der besagt, dass, wenn x = -2 das Polynom abbricht.

Dann wird x im ursprünglichen Polynom durch (-2) ersetzt, es wird vereinfacht und gleich Null:

Pú (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Jetzt wird der Wert von P so gelöscht, dass die Gleichheit auf Null erfüllt wird:

P = -2 / 10 = -⅕ 

Dies bedeutet, dass Polynom: 

-⅕oge³ - X - ⅖

Es ist teilbar durch (x + 2) oder was äquivalent ist: (x + 2) ist einer seiner Faktoren.

Verweise

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Redaktionsgruppe.
2. Demana, w. Precáculculo: grafisch, numerisch, algebraisch 7. Aufl. Pearson Ausbildung.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.