Grundsatz der arithmetischen Demonstration, Anwendungen, Übungen

Er Der grundlegende Theorem der Arithmetik Er gibt an, dass jede natürliche Zahl von mehr als 1 als Produkt von Primzahlen unterteilt werden kann - und diese Form ist für diese Zahl eindeutig, obwohl die Reihenfolge der Faktoren unterschiedlich sein kann.

P . Die folgenden Zahlen sind Cousins: 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter, da es unendlich gibt. Nummer 1 wird nicht als Cousin angesehen, weil er einen einzelnen Teiler hat.

Abbildung 1. Euklides (links) demonstrierte den grundlegenden Theorem der Arithmetik in seinen Buchelementen (350 a.C.), Und die erste vollständige Demonstration ist auf Carl F zurückzuführen. Gauß (1777-1855) (rechts). Quelle: Wikimedia Commons.

Für ihren Teil werden Zahlen, die die oben genannten nicht erfüllen komponierte Zahlen, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Nehmen wir zum Beispiel die Nummer 10 und sofort sehen wir, dass sie als Produkt von 2 und 5 abgebaut werden kann:

10 = 2 × 5

Sowohl 2 als auch 5 sind in der Tat Primzahlen. Der Satz gibt an, dass dies für eine beliebige Zahl n möglich ist:

Wo p₁, P₂, P₃… P_R Sie sind Primzahlen und k₁, k₂, k₃,... k_R Sie sind natürliche Zahlen. So dass Primzahlen wie Ziegel wirken, aus denen durch Multiplikation natürliche Zahlen gebaut werden.

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Demonstration des Grundsatzes der Arithmetik

Es zeigt, dass sich jede Zahl in erstklassigen Faktoren zersetzen kann. Eine natürliche Zahl n> 1, Cousin oder Verbindung sein.

Zum Beispiel, wenn n = 2, kann es ausgedrückt werden als: 2 = 1 × 2, was Cousin ist. Ebenso fahren wir mit den folgenden Zahlen fort:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Wir fahren so fort und zerlegen alle natürlichen Zahlen, bis wir die Nummer n -1 erreichen. Mal sehen, ob wir es mit der folgenden Nummer tun können: n.

Wenn n Cousin ist, können wir es als n = 1 × n zersetzen, aber nehmen Sie an, dass N komponiert ist und einen Divisor d hat, logisch weniger als n:

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1< d < n.

Ja n/d = p₁, mit P₁ Eine Primzahl, dann wird n geschrieben als:

n = p₁.D

Wenn D Cousin ist, gibt es nichts mehr zu tun, aber wenn dies nicht der Fall ist, gibt es eine Nummer n₂ Welches ist ein Divisor von D und weniger als das: n₂ < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de n₂ Für eine andere Cousin Nummer p₂:

d = p₂ N₂

Das durch Ersetzen in der ursprünglichen Nummer N würde:

n = p₁ .P₂ .N₂

Nun an, n₂ Es ist auch nicht eine Primzahl und wir schreiben es als Produkt einer Primzahl p₃, für einen Teiler von ihm₃, so dass n₃ < n₂ < n₁ < n:

N₂ = p₃.N₃ → n = p₁ P₂ P₃.N₃

 Wir wiederholen diesen Vorgang eine begrenzte Häufigkeit, bis Sie erhalten:

n = p₁.P₂.P₃ … P_R

Dies bedeutet, dass es möglich ist, alle gesamten Zahlen von 2 bis Nummer N als Produkt von Primzahlen zu zerlegen.

Einzigartigkeit der Zersetzung in erstklassigen Faktoren

Überprüfen Sie nun, dass diese Zersetzung mit Ausnahme der Reihenfolge der Faktoren einzigartig ist. Angenommen, Sie können auf zwei Arten schreiben:

n = p₁.P₂.P₃ … P_R = q_1.Q₂.Q₃… Q_S  (mit r ≤ s)

Natürlich Q₁, Q₂, Q₃… Sie sind auch Primzahlen. Als p₁ Teilen Sie sich auf (q_1.Q₂.Q₃… Q_S) Dann p₁ Es ist gleich einem der "Q", egal ob Was, damit wir sagen können, dass p₁ = q₁. Wir teilen n zwischen p₁ Und wir bekommen:

P₂.P₃ … P_R =_.Q₂.Q₃… Q_S

Wir wiederholen den Vorgang, um alles zwischen p zu teilen_R, Dann bekommen wir:

1 = q_R+1… Q_S

Aber es ist nicht möglich, zu Q zu gelangen_R+1… Q_S = 1 wenn r < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.

Anwendungen

Wie wir bereits gesagt haben, repräsentieren die Primzahlen, wenn Sie möchten, die Atome der Zahlen, ihre Grundkomponenten. Der grundlegende Theorem der Arithmetik hat also zahlreiche Anwendungen, die offensichtlichsten: Wir können leichter mit großen Zahlen arbeiten, wenn wir sie als Produkt kleinerer Zahlen ausdrücken.

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Ebenso können wir das maximale gemeinsame Multiple finden (m).C.M.) und der maximale gemeinsame Divisor (m).C.D.), Ein Verfahren, das uns hilft, Summen von Brüchen leichter zu machen, Wurzeln großer Zahlen zu finden oder mit Radikalen zu arbeiten, Probleme bei der Anwendung einer sehr vielfältigen Natur zu rationalisieren und zu lösen.

Darüber hinaus sind Primzahlen extrem rätselhaft. Ein Muster ist in ihnen noch nicht erkannt und es ist nicht möglich zu wissen, was Folgendes sein wird. Die größten bis Zeiten wurden von Computern gefunden und hat 24.862.048 Ziffern, Obwohl die neuen Primzahlen jedes Mal seltener erscheinen.

Primo -Zahlen in der Natur

Die im Nordosten der Vereinigten Staaten lebenden Zikaden, zykarreen oder Chicharras entstehen in 13 oder 17 Jahren Zyklen. Beide sind Primzahlen.

Auf diese Weise vermeiden Chicharras, mit Raubtieren oder Konkurrenten zusammenzufallen, die andere Geburtszeiten haben, noch die verschiedenen Chicharra -Sorten konkurrieren miteinander, da sie im selben Jahr nicht übereinstimmen.

Figur 2. Die Magie der Zikade del Este der Vereinigten Staaten taucht alle 13 oder 17 Jahre auf. Quelle: pxFuel.

Primo -Nummern und Online -Einkäufe

Primo -Nummern werden in der Kryptographie verwendet, um die Details von Kreditkarten beim Kauf von Online -Einkäufen aufrechtzuerhalten. Auf diese Weise kommen die Daten, dass der Käufer genau in den Laden kommt, ohne sich zu verlieren oder in skrupellose Menschen zu fallen.

Als? Kartendaten werden in einer Zahl n codiert, die als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden können. Diese Primzahlen sind der Schlüssel, der die Daten enthüllt, aber sie sind der Öffentlichkeit unbekannt. Sie können nur im Web dekodiert werden, auf das sie gerichtet sind.

Das Zerlegen einer Zahl in Faktoren ist eine leichte Aufgabe, wenn die Zahlen klein sind (wenn die Übungen aufgelöst werden), in diesem Fall jedoch als wichtige Primzahlen von 100 Ziffern verwendet werden, die durch Multiplikation viel größere Zahlen ergeben, deren detaillierte Zerlegung eine impliziert a Riesige Arbeit.

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Gelöste Übungen

- Übung 1

Zersetzen Sie sich 1029 in Primat Faktoren.

Lösung

1029 ist durch 3 teilbar. Es ist bekannt, weil durch das Hinzufügen Ihrer Ziffern die Summe ein Vielfaches von 3: 1+0+2+9 = 12 ist. Da die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert, können wir dort beginnen:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Andererseits 343 = 7³, So:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7 × 7

Und da sowohl 3 als auch 7 Primzahlen sind, ist dies die Zersetzung von 1029.

- Übung 2

Faktor Trinomial x² + 42x + 432.

Lösung

Das Trinom wird in der Form (x+a) umgeschrieben. (x+b) und wir müssen die Werte von A und B finden, damit:

A+B = 42; Zu.B = 432

Die Zahl 432 zersetzt sich in Primat Faktoren und wird von dort von Tanteo die geeignete Kombination für die zu 42 hinzugefügten Fakten ausgewählt.

432 = 2⁴ × 3³ = 23³× 2³ = 2⁴× 3² × 3 =…

Von hier aus gibt es mehrere Möglichkeiten, 432 zu schreiben:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72… .

Und alle können durch Kombination von Produkten zwischen Primfaktoren gefunden werden, aber um die vorgeschlagene Übung zu lösen, ist die einzige angemessene Kombination: 432 = 24 × 18 seit 24 + 18 = 42, dann:

X² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Praktische theoretische Arithmetik. Redakteur Kulturkultur der amerikanischen Texte s.ZU.
2. BBC -Welt. Der versteckte Naturkodex. Abgerufen von: BBC.com.
3. Von Leon, Manuel.Primo -Zahlen: Internet -Wächter. Erholt aus: Blogs.20 Minuten.Ist.
4. Unam. Zahlentheorie I: Grundsatz der Arithmetik. Abgerufen von: TheoriaDenumeros.Wikidot.com.
5. Wikipedia. Der grundlegende Theorem der Arithmetik. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.