Arten von Funktionen und ihre Grafiken

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen die verwendet werden, um Probleme in Wissenszweigen wie Naturwissenschaften, Verwaltung, Wirtschaft und Sozialwissenschaften zu modellieren. Mathematisch gesehen ist eine Funktion eine Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen.

Oft sind bestimmte Objekte oder Größen miteinander verbunden. Diese Beträge werden durch Variablen dargestellt. Zum Beispiel gibt es zwei verwandte Variablen, die zu zwei Mengen A und B gehören, nicht unbedingt numerisch, obwohl sie die meiste Zeit sind-.

Um als Funktion betrachtet zu werden, muss diese Beziehung zwei Bedingungen erfüllen: Das erste ist, dass alle Elemente des Startsatzes zur Teilnahme, und das zweite, dass jedes Element des Sets nur mit einem der Elemente von Set B zusammenhängt.

Variablen werden normalerweise mit Buchstaben aufgerufen X Und Und, mit X als die unabhängige Variable Und Und als die abhängige Variable. Natürlich können sie auf andere Weise aufgerufen werden und wählen den Namen der Variablen in Übereinstimmung mit der Größe, die sie darstellt.

Die Beziehung zwischen den beiden wird durch den Brief bezeichnet F -oder ein weiterer Buchstaben des Alphabets und wird auf verschiedene Arten dargestellt, z

• f (x) = x + 1
• Bevölkerung P einer bestimmten Stadt in einem bestimmten Zeitintervall t.
• H (x) = (1,3); (2,4); (3,5); (4.6)

Funktionen sind durch Have gekennzeichnet Domain Und Reichweite oder Route. Die Domäne ist die Menge von Werten, die die Variable X Sie können nehmen, während der Bereich die Wertemenge ist, die die abhängige Funktion oder Variable und Variable erfasst und.

Klassifizierung von Funktionen

Die Funktionen können in 5 große Kategorien eingeteilt werden, wie sich im folgenden Schema widerspiegelt, in dem jede Gruppe mit einer römischen Zahl und einer Farbe gekennzeichnet ist. Ausgehend von links nach rechts werden die Funktionen nach:

• I) seine Form.
• Ii) Symmetrie.
• Iii) die Art, die Variable auszudrücken.
• Iv) seine Kontinuität und Monotonie.
• V) die Art und Weise, wie die Domänenelemente mit denen des Bereichs zusammenhängen.

Hauptklassifizierungskriterien für Funktionen. Quelle: f. Zapata.

Folgen Sie nun einer kurzen Beschreibung jeder der Funktionen der Funktionen mit ihren jeweiligen Beispielen.

I) Funktionen nach seiner Form

Yo.1) Algebraische Funktionen

Sie gehören zu den am häufigsten verwendeten Funktionen in zahlreichen Wissenschaftsbereichen und sind daher die bekanntesten. Sie sind durch eine Korrespondenzregel als algebraische Ausdruck gekennzeichnet.

Algebraische Funktionen werden wiederum in die folgenden Typen unterteilt:

• Yo.1.a) Polynom oder Polynom.
• Yo.1.b) rational.
• Yo.1.c) irrational.
• Yo.1.d) durch Abschnitte.

Algebraische Funktionen und ihre Typen. Quelle: f. Zapata.

Yo.1.a) Polynom- oder Polynomfunktionen

Beispiel für die Polynomtypfunktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Sie bestehen aus Summen von Begriffen, deren allgemeine Form ist:

P (x) = a_NX^N + Zu _N-1X^N-1 +… Zu₁x + a₀

Wo die Koeffizienten zu_N, Zu _N-1… Zu₁, Zu₀ Sie sind echte Zahlen und N ist eine Ganzzahl. Die Domäne der Polynomfunktionen ist der festgelegte reelle Zahlen und sind auch kontinuierliche Funktionen in dieser Domäne.

In der oberen Abbildung befindet sich die Grafik der folgenden Polynomfunktion der Ordnung 4:

f (x) = x⁴ - 2x² - x -2

Unter den Polynomfunktionen werden einige bestimmte Fälle gemäß den Werten der Koeffizienten unterschieden. Es lohnt sich sorgfältig zu überlegen, da sie in mehreren Situationen sehr nützlich sind:

i) Konstante Funktion

Es gibt eine konstante Funktion, wenn alle Koeffizienten aufgehoben werden, außer dass₀:

f (x) = a₀ = k

Der Diagramm der konstanten Funktion ist eine gerade Linie parallel zur horizontalen Achse, wie z. B. Linien:

• f (x) = 2
• g (x) = π
• H (x) = -3/2

Zwei Beispiele für die konstante Funktion. Quelle: f. Zapata.

Ii) Funktion ersten Grades

Die erste Funktion oder verwandte Funktion ist die Grafik, deren Grafik eine gerade Linie ist. Es ist ein besonderer Fall der Polynomfunktion, bei dem alle Koeffizienten von Annul₁ bereits₀. Es wird gegeben durch:

f (x) = a₁x + a₀

Der Wert a₁ Es ist die Neigung der Linie, die ein Maß für seine Neigung ergibt, und₀ Es ist der Schnitt der Linie mit der vertikalen Achse. Beide können positive oder negative Werte annehmen.

Beispiele für die Funktion ersten Grades sind die folgenden:

• G (x) = 2x -1
• H (x) = -6x +5/2

Funktion erster Grad f (x) = 2x-1. Quelle: f. Zapata.

Es gibt einen Sonderfall, der die lineare Funktion ist.

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iii) Lineare Funktion

Wenn der Koeffizient zu₀ Es ist 0, die Funktion geht immer durch den Ursprung und wird durch f (x) = a ausgedrückt₁X, rufen Linienfunktion, Wie geht es dir:

• f (x) = 5x
• G (x) = -7x

Lineare Funktion f (x) = 5x. Quelle: f. Zapata.

iv) Identitätsfunktion

Es ist ein besonderer Fall der linearen Funktion, in dem₁ = 1:

f (x) = x

Die Identitätsfunktion. Quelle: f. Zapata.

v) Quadratische Funktion

Es hat die allgemeine Form:

f (x) = a₂X² +Zu₁x + a₀

Mit einem₂  ≠ 0.

Sein Diagramm ist ein Gleichnis, dessen axiale oder Symmetrieachse parallel zur Achse der Ordinaten ist. Überschneidet immer die vertikale Achse am Koordinatenpunkt x = 0, y = a₀. Für Kreuzungen mit der horizontalen Achse kann es bis zu maximal 2 haben.

Beispiele für quadratische Funktionen sind:

• f (x) = x² - 3x - 4
• G (x) = 4x²
• H (x) = x²-1

Die quadratische Funktion. Quelle: Wikimedia Commons.

vi) Kubikfunktion

Wie der Name schon sagt, enthält die kubische Funktion eine Leistung von 3:

f (x) = a₃X³ + Zu₂X² + Zu₁x + a₀

Der Koeffizient a₃ Es unterscheidet sich immer von 0, wie in diesen Fällen:

• f (x) = x³
• G (x) = 5x³ - 2
• H (x) = -3x³ + 4x² + 10x + 1

Kubikfunktion. Quelle: f. Zapata.

Yo.1.b) rationale Funktionen

Rationale Funktionen haben die Form:

 Wenn P (x) und q (x) nicht reduzierbare Polynome sind, haben sie keinen gemeinsamen Faktor und in jedem Fall Q (x) ≠ 0.

Aus der Domäne rationaler Funktionen, alle Werte, die den Nenner Q (x) annullieren, dh seine Wurzeln, während die Werte der Werte der Werte von Und die die horizontalen Asymptoten bestimmen.

Eine Asymptote ist eine Linie, der sich die Funktion sowohl links als auch rechts, oben oder unten nähert, aber nie kreuzt. Solche Linien können vertikal, horizontal oder geneigt sein.

Beispiele für rationale Funktionen sind:

Rationale Funktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

i) Hyperbel

Die Grafik einer rationalen Funktion ist eine Hyperbola, wenn Polynom im Nenner Q (x) Grad 1 hat. Das Diagramm der Funktionen F (x) und G (x) der obigen Beispiele sind Hyperbolas, die problemlos über eine kostenlose Online -Grafiksoftware wie GeogeBra überprüft werden kann.

Die Funktion y = 1/x. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Ii) Inverse Verhältnismäßigkeitsfunktion

Es ist eine Funktion der Form:

Wobei C eine reelle Zahl ist, die sich von 0 unterscheidet. Seine Domäne ist die Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von 0.

Yo.1.c) irrationale Funktionen

Sind diejenigen, deren unabhängige Variable unter einem radikalen Zeichen steht. Seine allgemeine Form ist:

Einige dieser Funktionen können sein:

• 
• 

Die Domäne dieser Funktionen wird wie folgt bestimmt:

-Wenn die Wurzeln aus Drehmomentindex sind, muss die subradikale Menge f (x) immer 0 oder positiv sein.

-Wenn die Wurzeln ungerade sind, kann F (x) positiv oder negativ sein. Daher sind in diesem Fall die Domäne der Funktion die realen Zahlen.

Zum Beispiel die Domäne von:

Es ist der Satz realer Zahlen, so dass x-3 größer oder gleich 0 ist. In diesem Fall muss X größer als oder gleich 3 sein. Daher ist die Domäne dieser Funktion der Wert der Werte des Intervalls [3, ∞+).

 Beispiel der irrationalen Funktion. Quelle: f. Zapata.

Yo.1.d) Funktionen in Stücke oder nach Abschnitten

Die Funktion in Teilen, nach Abschnitten oder Stücken ist eine, die mehr als eine Formel für verschiedene Domänenwerte erfordert. Hier sind einige Beispiele für Ihre Bewerbung:

-Preise für das Senden von Paketen per Post, abhängig vom Gewicht oder Volumen, Herkunft und Ziel desselben.

-Tarife für Dienstleistungen, zum Beispiel Telefonie und Strom.

-Verkauf von Tickets für Museen oder Vergnügungsparks je nach Alter.

In mathematischer Form kann beispielsweise eine Funktion in Teilen sein:

Die Domäne einer Funktion in Teilen hängt von ihrer Definition ab. Im vorherigen Beispiel ist die Domäne der Satz, der gebildet wird, der gebildet wird: (-∞, -1) ∪ [1,+∞).

Die Absolutwertfunktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Ii) Escalonada -Funktion

Das Diagramm dieser Funktion nach Abschnitten besteht aus Schritten, wie z.

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Dafür wird ein endliches Intervall [a, b] ausgewählt, das eine bestimmte endliche Anzahl von Diskontinuitäten enthält, die als x genannt werden_Yo < x₁ < x₂ <… . x_N  Und ein offenes Intervall wird ausgewählt (x_Yo , X_i+1) Um ihm eine Wertkonstante s zu geben_Yo, Mit den Sprüngen an Punkten x_Yo. Der Wert von s_Yo Es ist die Höhe des fraglichen Schritts.

Ein Beispiel für eine gestaffelte Funktion ist der gesamte Teil, der eine beliebige Zahl nimmt und sie mit der folgenden Ganzzahl assoziiert, entweder durch Überschuss oder standardmäßig. Das Folgende ist ein ganzer Teil:

[x] = (größere Ganzzahl ≤ x)

Nach dieser Funktion der gesamte Teil von 2.5 ist:

[2.5] = (größere Ganzzahl ≤ 2.5) = 2

Der gesamte Teil von. Quelle: Larson, R. Berechnung mit analytischer Geometrie. McGraw-Hill.

Yo.2) Transzendente Funktionen

Nicht -Algebraikfunktionen werden als transzendent bezeichnet. Die exponentiellen, logarithmischen und trigonometrischen Funktionen sind transzendente Funktionen.

In ihnen die Variable X Es ist Teil des Arguments der Funktion oder als Teil des Exponenten oder des Index einer Wurzel, zum Beispiel:

• f (x) = log (x+1)
• H (x) = -0.2bung8^-3x

Transzendente Funktionen haben viele Anwendungen, beispielsweise in der Untersuchung von Vibrationen und Wellen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Modellierung der Wellen, dem Wachstum verschiedener Populationen, radioaktivem Zerfall, Zinssätzen und vielem mehr. 

Haupttranszendentenfunktionen. Quelle: f. Zapata.

Yo.2.a) Exponentielle Funktion 

Die exponentielle Funktion wird definiert durch:

f (x) = a^X

Wobei a die Basis ist, die immer eine positive Anzahl von 1 ist, und die Variable, eine reelle Zahl, erscheint im Exponenten. Im Allgemeinen wird die exponentielle Funktion geschrieben:

f (x) = aaia^BX

Hier sind A und B echte Koeffizienten. Im Folgenden finden Sie Funktionen dieser Art:

• f (x) = 5e^X
• H (x) = 4. 10^5x
• g (t) = 8e^-2t

Base Und, Wo Und Es ist die Anzahl der Euler 2.71828 ... erscheint häufig in Problemen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens sowie in Statistiken. Wenn die Funktion diese Basis hat, heißt es Natürliche exponentielle Funktion.

Die Domäne der exponentiellen Funktion ist der Satz realer Zahlen, während der Bereich die positiven Zahlen sind.

Exponentielle Funktion basierend auf. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Yo.2.b) Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion basierend auf seinem Teil Zu Es ist die inverse Funktion der exponentiellen Funktion basierend auf Zu. Ja:

Protokoll_Zu x = y

So:

x = a^Und

Insbesondere, wenn die Basis des Logarithmus Nummer E ist, wird die Funktion aufgerufen Neperian Logarithmus -Funktion Und es wird als bezeichnet als ln. Funktionen dieser Art sind:

• f (x) = ln x
• g (x) = log (x+1)
• H (t) = 1 - log x²

Die Domäne der Logarithmusfunktion, unabhängig von der Basis, sind die positiven reellen Zahlen, die nicht die 0 enthalten. Das heißt, es gibt keine Logarithmen negativer Zahlen oder 0.

Ein Logarithmus kann jedoch 0 oder negativ sein: Der Logarithmus der Zahl zwischen 0 und 1 ist negativ und für seinen Teil erreicht_Zu 1 = 0.

Logarithmus -Funktionsgrafik in mehreren Basen: Basis 2 in Rot, Grün E, Blue -Base und Türkis auf der Basis 0.5. Quelle: Wikimedia Commons.

Yo.2.c) Trigonometrische Funktionen

Sie sind diejenigen, die aus den trigonometrischen Gründen stammen: Sinus, Cosinus, Tangente, Trocknen, Harmonieren und Kotangent eines Winkels x. Sie werden jeweils bezeichnet als:

Sen X, Cos X, Tg X, Sec X, Harm X und Cotg x

Sie sind periodische Funktionen, was bedeutet, dass seine Form sich wiederholt und sehr nützlich ist, um natürliche Phänomene wie Signale, Schwingungen, kreisförmige Bewegungen und Schwungbewegungen zu beschreiben, die durch Wiederholung gekennzeichnet sind.

Beispiele für trigonometrische Funktionen sind:

• f (x) = sin x
• G (t) = 5 · cos (ωt + π)
• H (x) = tg (x/2)

Variable X wird in Radianes ausgedrückt.

Graph der Funktionen Sen X und Cos X beachten Sie, dass sie identisch sind, außer dass einer in Bezug auf den anderen vertrieben wird. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Die Beherrschung der Funktionen von Sen X und COS X ist der Satz realer Zahlen. Für die verbleibenden Funktionen gibt es X -Werte, für die die Funktion nicht definiert ist:

-Die TG X -Funktion existiert nicht, wenn x = ± π /2, ± 5π /2 ... dies ist alle ungeraden Vielfachen von π /2.

Grafik der Tangentenfunktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

-Bei F (x) = COTG X ist diese Funktion nicht für die gesamten Vielfachen von π: ± π, ± 2π, ± 3π definiert ..

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-Die y = Sec x -Funktion ist nicht gültig, wenn cos x = 0, was x = ± π /2, ± 5π /2 von seiner Domäne ausschließt.

-Schließlich gehören für f (x) = Schaden x die gesamten Vielfachen von π nicht zu ihrer Domäne.

Yo.2.d) Hyperbolische Funktionen

Hyperbolische Funktionen sind spezielle Kombinationen von Exponential und^X und e^-X Und sie werden als Busen genannt, Coseno .. .hyperbolisch. Wie bei trigonometrischen Funktionen, auch als "kreisförmiger" bezeichnet, gibt es 6 hyperbolische Funktionen:

-Hyperbolischer Sinus Senh x:

Die hyperbolische Sinusfunktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

-Hyperbolischer Cosinus Cosh X:

 -Hyperbolische Tangente Tanh X:

 -Hyperbolischer Mischtätigkeit CSCH X:

 -Hyperbolischer Sekant SECH X:

-Hyperbolisches Kotangent Coth X:

Ein flexibles Kabel, das aus gleichmäßigem und hängenden Material zwischen zwei Punkten besteht, nimmt die Form einer Kurve genannt Catenär, was als hyperbolischer Cosinus ausgedrückt wird:

Yo.2.e) inverse trigonometrische Funktionen

Sie entsprechen der Umkehrung trigonometrischer Funktionen. Zum Beispiel, was wäre der Winkel (ARC), dessen Busen 0 wert sind.5?

Die Antwort ist arc sen 0.5, das liest „Arc Sinus von 0.5 ”, und dieser Winkel ist 30 °, obwohl dies im Prinzip nicht der einzige Winkel wäre, dessen Busen 0 wert sind.5, da Sen X -Funktion regelmäßig ist. Was passiert ist, dass die Senx -Funktion im gesamten Bereich nicht umgekehrt wäre, sodass die Arcoseno -Funktion nicht definiert werden konnte. Das Problem wird durch Einschränkung von allem auf die Winkel zwischen -π/2 und +π/2 beschränkt.

Dies kann wie folgt ausgedrückt werden:

Wenn arc s x = θ ist, bedeutet dies, dass sin θ = x

Mit -π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Eine andere Notation, die für Arc Sen X verwendet wird, ist f (x) = sin ist^-1 X. Die Grafik ist unten dargestellt:

Arcsen X -Funktionsgrafik. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Es ist auch möglich, die inverse für die anderen trigonometrischen Funktionen zu definieren, zum Beispiel: Arc cos x = θ und so. Für jeden ist der Rang ordnungsgemäß eingeschränkt, um die umgekehrte trigonometrische Funktion umzusetzen.

Ii) Funktionen nach seiner Symmetrie

Ii.1) par

Wenn für alle x zur Domäne von f (x) erfüllt wird, dass:

f (x) = f (-x)

Es wird gesagt, dass die Funktion gleichmäßig ist, wie diejenigen, die folgen:

• f (x) = x² - 3
• g (x) = cos x
• 

  Beispiel einer Paarfunktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Zum Beispiel x = 1 in f (x) = x² - 3 wird erhalten:

f (1) = 1² - 3 = -2.

Und wenn x = -1, dann:

f (-1) = (-1)² - 3 = -2.

Beide Ergebnisse sind identisch.

Die gleichmäßigen Funktionen haben Symmetrie um die vertikale Achse, wie in der vorherigen Abbildung zu sehen ist.

Ii.2) ungerade Funktion

Andererseits ja:

f (-x) = -f (x)

Die Funktion ist seltsam.

Eine seltsame Funktion. Quelle: Wikimedia Commons.

Zum Beispiel ist die Funktion f (x) = 1/x der oberen Abbildung ungerade, da:

f (-x) = -1/x

UND

-f (x) = -1/x

Eine weitere wichtige Imparfunktion ist f (x) = sin x.

Beachten Sie, dass ungerade Funktionen um den Ursprung um 180 ° Rotationssymmetrie verfügen (der Diagramm wird nicht geändert, wenn jeder Punkt davon in Bezug auf den Ursprung der Koordinaten 180 ° gedreht wird).

Iii) Funktion gemäß dem Ausdruck der Variablen

III.1) Explizite Funktionen

Sie werden direkt in Bezug auf die abhängige Variable wie y = f (x) ausgedrückt. Zum Beispiel:

• f (x) = x³

III.2) implizite Funktionen

In impliziten Funktionen erscheint keine der Variablen klar. Sie werden als f (x, y) = 0 ausgedrückt, wie z. B.:

• X² + Und² -3xy = 0
• xy = - x²+ X-5

Die in diesem Artikel beschriebenen Funktionen sind explizite Funktionen.

Iv) Funktionen entsprechend Ihrer Grafik

Nach ihrer Grafik können die Funktionen kontinuierlich oder diskontinuierlich sein. Kontinuierliche Funktionen können verfolgt werden, ohne den Schlaganfall zu unterbrechen, dagegen diskontinuierliche Funktionen vorhandenen Sprünge. Im folgenden Bild ist die Funktion bei x = a diskontinuierlich:

Diskontinuitätsfunktion bei x = a. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiele für kontinuierliche Funktionen sind lineare Funktionen, quadratische Funktionen sowie Sinus- und Cosinusfunktionen. Und unter diskontinuierlichen Funktionen befinden sich die gestaffelte Funktion und die Tangentenfunktion.

V) Funktionen gemäß der Beziehung zwischen den Elementen der Domäne und dem Bereich

V.1) Injektivfunktion

Eine Funktion ist Injektiv Wenn es keine zwei verschiedenen Elemente im Start- oder Domänensatz gibt, die im Ankunftssatz dasselbe Bild haben.

Nehmen wir an, dass reale Funktionen beispielsweise sofern nicht anders angegeben sind:

f (x) = 5x -2

Alle X -Wert, die zur Domäne von F (x) gehören, die der Satz ℛ der realen Zahlen ist, hat ein eindeutiges, auch reales Bild. Andererseits in dieser anderen Funktion:

g (x) = x²

Es gibt verschiedene Elemente in der Domäne, die das gleiche Bild haben, zum Beispiel x₁= 2 und x₂= -2:

G (2) = g (-2) = 4.

Der Weg zur Identifizierung einer injektiven Funktion aus ihrem Diagramm besteht darin.

Links eine Unjektivfunktion bei UN. Auf der rechten Seite eine Injektivfunktion, an jedem der Kurvenpunkte hat sie eine bestimmte „Y“ -Koordinate. Quelle: f. Zapata.

V.2) Übersprichtfunktion

Im ONJEKTIVE Funktionen, Alle Elemente des Ankunftssatzes sind das Bild eines Elements des Startsatzes. Ein Beispiel für die Übersprichtfunktion ist das gleiche f (x) = 5x -2, aber g (x) = x² Es ist nicht so, da die Werte g (x) nur die positiven realen und die 0 sind.

Die Domäne könnte jedoch neu definiert werden, damit G (x) überlagert wurde, wenn sie beispielsweise alle positiven realen plus 0 ändert. 

V.3) Bijektive Funktion

Schließlich wird eine Funktion, die sowohl injektiv als auch überspringend ist, genannt Bijektiv. Beispiele für bijektive Funktionen sind: die damit verbundene Funktion, die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion.

Die damit verbundene Funktion ist ein gutes Beispiel für die bijjektive Funktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Verweise

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