Parabolische Schusseigenschaften, Formeln und Gleichungen, Beispiele

Er Parabolschuss Es besteht darin, ein Objekt oder ein Projektil mit einem bestimmten Winkel zu werfen und es unter der Schwere der Schwerkraft bewegen zu lassen. Wenn kein Luftwiderstand berücksichtigt wird, folgt das Objekt unabhängig von seiner Natur einer Flugbahn in Form einer Parabel.

Es ist eine tägliche Bewegung, da zu den beliebtesten Sportarten diejenigen gehören, in denen Bälle oder Bälle entweder von Hand, mit dem Fuß oder mit einem Instrument wie einem Schläger oder einem Fledermaus geworfen werden.

Abbildung 1. Der Wasserstrahl aus der Zierquelle folgt einer parabolischen Flugbahn. Quelle: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor (IFJ.), Fizped/cc By-SA (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)

Für das Studium wird der parabolische Schuss in zwei überlappende Bewegungen unterteilt: eine horizontale ohne Beschleunigung und die andere vertikal mit ständiger Beschleunigung, was die Schwerkraft ist. Beide Bewegungen haben eine anfängliche Geschwindigkeit.

Nehmen wir an, die horizontale Bewegung nimmt. Jedes dieser Bewegungen ist unabhängig von der anderen.

In Anbetracht der Tatsache, dass die Bestimmung der Projektilposition die Hauptziele ist, müssen ein geeignetes Referenzsystem ausgewählt werden. Die Details kommen als nächstes.

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Formeln und Gleichungen des parabolischen Schusses

Angenommen, das Objekt wird mit Winkel α in Bezug auf die horizontale und anfängliche Geschwindigkeit geworfen v_entweder Wie in der Abbildung unten links gezeigt. Der parabolische Schuss ist eine Bewegung, die im Flugzeug stattfindet Xy Und in diesem Fall zersetzt sich die anfängliche Geschwindigkeit wie folgt:

v_Ochse = v_entweder cos α

v_Oy = v_entweder Sünde α

Figur 2. Links die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils und rechts die Position zu jedem Zeitpunkt des Starts. Quelle: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor (IFJ.) Fizped/cc by-sa (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0).

Die Projektilposition, die der rote Punkt in Abbildung 2 ist, enthält auch zwei Komponenten, die von der Zeit abhängen, eines in X Und der andere in Und. Die Position ist ein Vektor, der als bezeichnet wird R und seine Einheiten sind von lang.

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In der Abbildung fällt die Anfangsposition des Projektils mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen, daher x_entweder = 0 und und_entweder = 0. Dies ist nicht immer der Fall, der Ursprung kann überall ausgewählt werden, aber diese Wahl vereinfacht die Berechnungen stark.

Was die beiden Bewegungen in x und y betrifft, so sind diese:

-X (t): Es ist eine gleichmäßige geradlinige Bewegung.

-und (t): entspricht einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung mit G = 9.8 m/s² und vertikal nach unten zeigen.

In mathematischer Form:

x (t) = v_entweder cos α.T

und (t) = v_entweder .Sünde α.T - ½g.T²

Der Positionsvektor bleibt:

R (t) = [v_entweder cos α.T]Yo + [v_entweder .Sünde α.T - ½g.T²] J

In diesen Gleichungen wird der aufmerksame Leser feststellen, dass das Minuszeichen darauf zurückzuführen ist.

Da die Geschwindigkeit die erste aus der Position ist, reicht sie aus, um abzuleiten R (t) In Bezug auf die Zeit und erhalten Sie:

v (t) = v_entweder cos α Yo + (v_entweder .Sünde α - Gt) J

Schließlich wird die Beschleunigung vektorisch ausgedrückt als:

Zu (t) = -g J

- Flugbahn, maximale Höhe, maximale Zeit und horizontale Reichweite

Flugbahn

Um die explizite Gleichung der Flugbahn zu finden, die die Kurve y (x) ist, müssen Sie den Zeitparameter beseitigen, die Gleichung für x (t) löschen und in y (t) ersetzen. Die Vereinfachung ist etwas mühsam, wird aber endlich erhalten:

Maximale Höhe

Die maximale Höhe tritt auf, wenn v_Und = 0. Zu wissen, dass es die nächste Beziehung zwischen Position und Quadrat der Geschwindigkeit gibt:

Figur 3. Die Geschwindigkeit im Parabolschuss. Quelle: Giambattista, a. Physik.

v_Und² = v_Oy ²- 2Gy

Tun v_Und = 0 Gerade wenn es in maximaler Höhe erreicht:

0 = v_Oy ²- 2 g.Und_Max → und_Max = v_Oy ²/2 g

Mit:

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v_Oy = v_entweder senα

Höchstzeit

Die maximale Zeit ist die Zeit, die das Objekt zum Erreichen benötigt und_Max. Um es zu berechnen, wird es verwendet:

v_Und = v_entweder .Sünde α - Gt

Wissend, dass v_Und Es ist 0 gemacht, wenn t = t_Max, Ergebnis:

v_entweder .Sünde α - G.T_Max = 0

T_Max = v_Oy /G

Maximale horizontale Reichweite und Flugzeit

Der Umfang ist sehr wichtig, da er angibt, wo das Objekt fällt. Wir werden also wissen, ob es in Weiß gibt oder nicht. Um es zu finden, brauchen wir Flugzeit, Gesamtzeit oder t_v.

Der vorherigen Illustration ist es leicht zu dem Schluss, das zu schließen T_v = 2.T_Max. Die Aufmerksamkeit ist jedoch nur dann wahr, wenn der Start auf der Ebene liegt, dh die Höhe des Ausgangspunkts entspricht der Höhe der Ankunft. Andernfalls löst die Zeit die Gleichung zweiten Grades, die sich aus dem Ersetzen der endgültigen Position ergibt Und_Finale:

Und_Finale = v_entweder .Sünde α.T_v - ½g.T_v²

In jedem Fall lautet der maximale horizontale Bereich:

X_Max = v_Ochse. T_v

Beispiele für parabolische Schieße

Der parabolische Schuss ist Teil der Bewegung von Menschen und Tieren. Auch von fast allen Sportarten und Spielen, in denen die Schwerkraft interveniert. Zum Beispiel:

Parabolische Schießerei bei menschlichen Aktivitäten

-Der Stein, der von einem Katapult geworfen wird.

-Der Torhüter des Torhüters.

-Der Ball, der den Krug wirft.

-Der Pfeil, der aus dem Bogen kommt.

-Alle möglichen Sprünge

-Wirf einen Stein.

-Jede Werfenwaffe.

Figur 4. Der Stein, den der Katapult und der Patey -Ball in der Endkiste geworfen haben, sind Beispiele für parabolische Schüsse. Quelle: Wikimedia Commons.

Der parabolische Schuss in der Natur

-Das Wasser sprießt aus natürlichen oder künstlichen Jets wie denen einer Quelle.

-Steine ​​und Lava sprießen aus einem Vulkan.

-Ein Ball, der auf dem Bürgersteig springt oder ein Stein, der es auf dem Wasser tut.

-Alle Arten von Tieren, die springen: Kängarus, Delfine, Gazellen, Katzen, Frösche, Kaninchen oder Insekten, um einige zu erwähnen.

Es kann Ihnen dienen: Mechanische Leistung: Was ist, Anwendungen, BeispieleAbbildung 5. Der Impala kann bis zu 3 m springen. Quelle: Wikimedia Commons. Arturo de frias marques/cc by-s (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0).

Übung

Eine Heuschrecke, die einen Winkel von 55 º mit der Horizontalen bildet und um 0 landet.80 Meter später. Finden:

a) Die maximale Höhe erreichte.

b) Wenn ich mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit springen würde, aber einen Winkel von 45 ° bildet, würde es höher werden?

c) Was kann von der maximalen horizontalen Reichweite für diesen Winkel gesagt werden?

Lösung für

Wenn die vom Problem bereitgestellten Daten nicht die anfängliche Geschwindigkeit v enthalten_entweder Die Berechnungen sind etwas mühsamer, aber aus den bekannten Gleichungen kann ein neuer Ausdruck abgeleitet werden. Ab:

X_Max = v_Ochse . T_Flug = v_entweder.cos α. T_v

Wenn es später landet, ist die Höhe wieder 0, dann:

v_entweder .Sünde α.T_v - ½g.T_v²= 0

Als T_v Es ist ein häufiger Faktor, es ist vereinfacht:

v_entweder .Sünde α - ½g.T_v= 0

Wir können t klären_v Aus der ersten Gleichung:

T_v = x_Max / v_entweder.cos α

Und ersetzen Sie in der zweiten:

v_entweder .Sünde α - (½g.X_Max / v_entweder.cos α) = 0

Durch Multiplizieren aller Begriffe mit v_entweder.cos αDer Ausdruck verändert sich nicht und der Nenner verschwindet:

(v_entweder .Sünde α.) (v_entweder.cos α) - ½g.X_Max = 0

v_entweder² Sünde α. cos α = ½g.X_Max

Kann bereits gelöscht werden v_entweder oder auch die folgende Identität ersetzen:

Sen 2α = 2 Sen α. cos α → v_entweder² Sen 2α = G.X_Max

Ist berechnet v_entweder²:

v_entweder² = g.X_Max / Sen 2α = (9.8 x 0.8 / sen 110) m²/S² = 8.34 m²/S²

Und schließlich die maximale Höhe:

Und_Max= v_Oy ²/2g = (8.34 x sen² 55)/(2 x 9.8) m = 0.286 m = 28.6 cm

Lösung b

Der Hummer schafft es, die gleiche horizontale Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten, aber wenn der Winkel abnimmt:

Und_Max= v_Oy ²/2g = (8.34 x sen² 45)/(2 x 9.8) m = 0.213 m = 21.3 cm

Erreicht eine kleinere Höhe.

Lösung c

Der maximale horizontale Bereich ist:

X_Max = v_entweder² Sen 2a / G

Wenn der Winkel variiert, ändert sich auch der horizontale Bereich:

X_Max = 8.3. 4 Sen 90 / 9.8  M = 0.851 m = 85.1 cm

Der Sprung ist jetzt länger. Der Leser kann überprüfen, ob er für den Winkel von 45 º maximal ist: dann:

sin 2α = sin 90 = 1.

Verweise

1. Figueroa, d. 2005. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, a. 2010. Physik. Zweite Ausgabe. McGraw Hill.
3. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, r. 1999. Physisch. Vol. 1. 3. Aufl. in Spanisch. Kontinentaler Redaktionsgesellschaft s.ZU. von c.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 1.