Lineare Transformationen Eigenschaften, Wie verwendet man, Typen, Beispiele, Beispiele

A Lineare Transformation, Was wir einfach anrufen werden, bezieht die Elemente von zwei Vektorräumen V und W und zugewiesen jeden Vektor v Zugehörigkeit zu V einem einzelnen Vektor W das gehört zu w durch eine bestimmte Operation.

Diese Transformation erfüllt zwei Bedingungen:

Abbildung 1. Eine lineare Transformation gilt für einen Vektor des Vektorraums V, um einen anderen Vektor zum W -Vektorraum zu erhalten. Quelle: f. Zapata.

-Bedingung 1

Es bezieht sich auf die Zugabe, so dass eine t -lineare Transformation erfüllt werden muss:

T (v + W) = T (v) + T (W)

-Bedingung 2

Die zweite Bedingung stellt die Homogenität bei der Multiplikation eines Skalars durch einen Vektor dar:

T (cv) = cút (v)

Die lineare Transformation ist, wie der Name schon sagt.

Die Notation für Funktionen wird auch im Fall von linearen Transformationen verwendet.

Ein Beispiel für eine lineare Transformation ist:

Um anzuzeigen, dass der Buchstabe t verwendet wird. Die Transformation wird auf einen Vektor angewendet v deren Komponenten sind x und y, was durch eine einzelne Säulenmatrix dargestellt wurde. Das Ergebnis ist ein weiterer Vektor W deren Komponenten sind x und 0, ebenfalls durch eine Spaltenmatrix dargestellt.

Daher ist dies eine Transformation des R -Vektorraums r² In Richtung des Vektorraums r², zusammenfassend ist es so geschrieben:

T: r² → R²         

Wenn wir den Vektor haben:

Die Transformation gibt uns zurück:

Und so bei jedem R -Vektor². In Beispiel 1 wird verifiziert, dass diese Transformation linear ist.

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Eigenschaften linearer Transformationen

Nehmen Sie an, eine lineare Transformation von V in W, in der Vektoren Vektoren v Und oder Sie gehören zu V, dann werden die folgenden Eigenschaften erfüllt:

Eigentum 1

T (0) = 0

Wo 0 ist der Nullvektor.

Eigentum 2

T (-v) = - t (v)

Eigentum 3

T (oder  - v) = T (oder) - T (v)

Eigentum 4

Sei v = c₁v₁ + C₂v₂ +.. . +  C_Nv_N

 So:

T (c₁v₁ + C₂v₂ +.. . +  C_Nv_N) = c₁ T (v₁) + c₂ T (v₂) +.. . +  C_N T (v_N)

Elemente der linearen Transformation

Lassen Sie V und W bereits erwähnte Vektorräume, in denen die lineare Transformation t Elemente von V in W transformiert. Wir können die folgenden Elemente definieren:

-C Kern oder Kernel: Es ist eine Untergruppe der Domäne, mit der sie bezeichnet wird N (t) entweder ker (t) und verstehen Sie alle Elemente von V so, dass:

T (v) = 0.

Die lineare Transformation t (v) = 0 wird genannt NULL -Transformation.

Natürlich der Nullvektor v = 0 erfüllt sowieso mit diesem Zustand, aber der Kernel besteht aus den gesamten Nicht -Null -Vektoren, die es ebenfalls erfüllen, für ein gegebenes t.

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-Bild von t: Es ist der Satz von Vektoren, die zu W gehören, so dass es das Bild eines Vektors in V ist. Es ist als bezeichnet als als Im t) Und es ist Untergruppe des W Vector -Raums.

Diese Elemente helfen uns, lineare Transformationen später zu klassifizieren.

Was sind lineare Transformationen für?

Anfänglich arbeiten lineare Transformationen mit Vektorräumen, die von Vektoren gebildet werden. Oft assoziieren wir Vektoren mit Stärke und anderen physikalischen Größen. Bei der digitalen Bildverarbeitung kann jedoch ein Pixel durch einen Vektor dargestellt werden.

In diesem Fall kann das Bild durch bequeme lineare Transformationen manipuliert werden, um die gewünschten Effekte zu erhalten, z.

Lineare Transformationen werden auch in der Wirtschafts- und Entscheidungsfindung häufig verwendet, um beispielsweise die Menge an Rohstoff zu kennen.

Die Anzahl der Stücke, die erforderlich sind, um die verschiedenen von einer Fabrik erzeugten Modelle zusammenzustellen, kann durch eine Matrixanordnung bearbeitet werden, wie wir später sehen werden.

Arten von linearen Transformationen (Klassifizierung)

Wie Funktionen können lineare Transformationen sein:

-Injektiv oder Monomorphismen

-Bijektive oder Epimorphismen

-Überspricht oder Isomorphismen

Darüber hinaus sind die folgenden Typen:

-Endomorphismen

-Automorphismen.

Injektive lineare Transformationen

Sei V- und W -Vektorräume und t a lineare Transformation t: V → W. T ist injiziert, wenn:

Ker (T) = 0

Lineare Übersprichttransformationen

Wenn V und W die Vektorräume so sind, dass t: V → W, wird gesagt, dass T bijektiv ist, wenn:

Im (t) = w

Bijjektive lineare Transformationen

Eine lineare Transformation t: V → W ist bijektiv, wenn es sowohl injektiv als auch übersprachig ist. Daher ist es erfüllt, dass:

Ker (T) = 0 Und Im (t) = w

Endomorphismen

Sie sind lineare Transformationen, in denen Domäne und Codominium zusammenfallen.

Automorphismen

Diese Art von linearen Transformationen sind bijektive Endomorphismen.

Spezielle lineare Transformationen

Linearer Bediener

Eine lineare Transformation T: V → V, die von einem Vektorraum in denselben Vektorraum geht, heißt Linearer Bediener.

Zero Transformation

Die oben erwähnte Null -Transformation ist wichtig, um den Kern einer linearen Transformation zu finden:

Es kann Ihnen dienen: Tetradecágon

T: v → W so dass t (t (v) = 0 Für jeden v.

Identitätstransformation

T: v → v so dass t (t (v) = v  Für jeden v.

Transformation definiert durch eine Matrix

T: v → W so dass t (t (v) = Av, wo a eine Matrix ist und v Es ist ein Spaltenvektor.

Linienfunktion

Die linearen Funktionen des y = mx -Typs sind lineare Transformationen. Nehmen wir zum Beispiel y = 3x und prüfen Sie, ob es den beiden Anfangsbedingungen erfüllt, und testen Sie mit zwei Werten A und B alle:

f (a+b) = 3 (a+b) = 3a+3b = f (a)+f (b)

f (ka) = 3 (ka) = koge (3a) = kúf (a)

In der Tat ist es eine lineare Transformation.

Anwendungen

Lineare Transformationen haben mathematische Anwendungen wie:

-Koordinaten -Achsenrotation.

-In der Lösung von Systemen linearer Differentialgleichungen.

-Self -Wert- und Autobahnprobleme.

Und sie haben auch Anwendungen in anderen Wissenschaftsbereichen, zum Beispiel in Mechanik, Quantenmechanik und Wirtschaft unter anderen Bereichen.

Beispiele für lineare Transformationen

Beispiel 1

Bei vielen Mechanikproblemen müssen wir die Projektion eines Vektors finden v Zugehörigkeit zum Weltraum auf einer bestimmten Ebene. Dieser Vektor v kann zum Beispiel eine Kraft darstellen.

Angenommen, Sie möchten den Vektor projizieren v = Auf der XY -Ebene. Wir können eine lineare Transformation definieren, die durch die folgende Matrix angegeben ist:

Wenn wir es auf den Vektor anwenden v Wir erhalten einen Vektor, dessen Z -Komponente abgebrochen wird. Geometrisch wird es mit der Projektion von dargestellt v Auf der XY -Ebene als roter Vektor mit zwei Komponenten.

Figur 2. Projektion eines Vektors im Raum in einer Ebene, der durch eine lineare Transformation erhalten wird. Quelle: f. Zapata.

Beispiel 2

Angenommen, Sie haben eine Fabrik, die drei Arten von Spielzeugkarren erzeugt: C1, C2 und C3, für die Sie wiederum drei Arten von Stücken in bestimmten Mengen benötigen, um jeden Wagenarten zu produzieren:

-Äxte oder Stück

-Räder oder Stück B

-Chassis oder Stück c

Für jede Art von Warenkorb ist die Anzahl der Teile unterschiedlich, da die Modelle unterschiedlich sind. Wir können die Mengen in einer 3 × 3 -Matrix aufnehmen, in der die Säulen von der Art des Wagens geleitet werden, und die Ränge entsprechen der Menge der Teile, die erforderlich sind, um jedes Modell auszuarbeiten.

Dies ist ein Beispiel für die Transformation durch eine Matrix, die so wäre:

Wenn die Fabrik eine bestimmte Bestellung erhält, die besteht X Menge an C1, Und  von C2 und z Ab C3, wie viele Teile A, B und C zur Verfügung stehen, um die Bestellkarren zusammenzustellen?

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Wir müssen eine lineare Transformation t (x) finden, so dass:

Um den Vektor zu bekommen und:

Das gibt uns die Menge an Teilen, die wir zur Verfügung haben müssen. Im Jahr 2 bewerten wir die Wirksamkeit der linearen Transformationen, um die Menge der Teile zu ermitteln, die erforderlich sind, um eine bestimmte Reihenfolge zu erfüllen.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Überprüfen Sie, ob die folgende Transformation t: r² → R² Es ist linear:

Lösung

Dazu müssen Sie sicherstellen, dass die Transformation die beiden zu Beginn beschriebenen Bedingungen erfüllt, zuerst die Hinzufügung und dann das Produkt eines Skalars für einen Vektor. Sie müssen also zwei Vektoren nehmen v Und  oder Zugehörigkeit zu r², Schreiben Sie sie durch Matrixnotation oder Angabe der Komponenten.

Diese Vektoren sind:

v = x₁, Und₁

oder = x₂, Und₂

Erster Zustand

-Wenn man sich daran erinnert, dass die Vektoren die Komponentenkomponente hinzugefügt werden, muss überprüft werden, ob:

T (v+oder) = T (v) + T (oder)

T (v+oder) = T (x₁+ X₂ ; Und₁ + Und₂)

Von hier aus wird es erhalten, dass:

T (x₁+ X₂ ; Und₁ + Und₂) = (x₁+ X₂; 0)

-Andererseits, wenn die Transformation auf jeden Vektor getrennt angewendet wird:

T (x₁,Und₁) + T (x₂,Und₂) = (x₁,0) + (x₂,0)

Durch Hinzufügen der resultierenden Vektoren wird sie effektiv erhalten:

W = (X₁+ X₂; 0)

Da beide Ergebnisse identisch sind, ist die erste Bedingung erfüllt.

Zweiter Zustand

Jetzt werden wir überprüfen, ob sich durch Multiplizieren eines Sklers C die Transformation verlassen kann:

T (cv) = cút (v)

Sean:

v = x₁, Und₁

C.v = Cëx₁, Cúy₁

So:

T (cv) = T (Cúx₁, Cúy₁ ) = (Cúx₁ , 0)

Aber wir wissen das aus dem vorherigen Schritt, dass t (v) = T (x₁, Und₁ ) = (X₁ , 0).

Da beide Ausdrücke identisch sind, wird auch der zweite Zustand erfüllt und die Transformation linear ist.

- Übung 2

Eine Spielzeugwagenfabrik stellt drei Fahrzeugmodelle zusammen: C1, C2 und C3, für die Sie Teile A, B und C benötigen, die jeweils Achsen, Räder und Chassis sind. Die erforderlichen Beträge befinden sich in der folgenden Tabelle:

Die Fabrik wurde gebeten, 12 Modelle C1, 22 C2 und 16 C3 vorzubereiten. Wie viele Teile A, B und C sind erforderlich, um die Bestellung abzuschließen?

Lösung

Lineare Transformation t (x) = y wird angewendet, dessen Ergebnis das Produkt zwischen Matrizen ist:

Insgesamt sind sie erforderlich:

-96 Achsen

-256 Räder

-50 Chassis.

Verweise

1. Algebra und analytische Geometrie. Kern und Bild. Klassifizierung linearer Transformationen. Erholt von: Aga.FRBA.Utn.Edu.ar.
2. Grossman, s. 2012. Lineare Algebra. 7. Auflage. McGraw Hill.
3. Gutiérrez, e. 2014. Lineare Algebra und ihre Anwendungen. Patria Redaktionsgruppe.
4. Larson, r. 2016. Grundlagen der linearen Algebra. 6. Auflage. Cengage Lernen.
5. Wikipedia. Lineare Anwendungen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.