Fourier -Transformationseigenschaften, Anwendungen, Beispiele

Der Fourier-Transformation Es handelt sichUmfassende geräumte. Es besteht aus einer Neudefinition von Funktionen F (t) in Bezug auf cos (t) und sen (t).

Die trigonometrischen Identitäten dieser Funktionen dienen zusammen mit ihren Ableitungs- und Antiderivationseigenschaften dazu, die Transformation von Fourier durch die folgende komplexe Funktion zu definieren:

Was erfüllt ist, während der Ausdruck sinnvoll ist, dh, wenn das uns funktionsfähige Integral konvergent ist. Algebraisch wird gesagt, dass Fouriers Transformation ein linearer Heimatomorphismus ist.

Jede Funktion, die mit Fourier -Transformation bearbeitet werden kann.

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Eigenschaften

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Die Fourier -Transformation erfüllt die folgenden Eigenschaften:

Existenz

Um die Existenz der Fourier -Transformation in eine in den Royals definierte F (t) -Funktion zu überprüfen R, Die folgenden 2 Axiome müssen erfüllt sein:

1. f (t) ist für alles kontinuierlich in Stücke R
2. f (t) ist integrierbar in R

Fourier -Transformationslinearität

Lassen Sie M (t) und N (t) zwei zwei Funktionen mit definierten Fourier transformiert, wobei die Konstanten A und B alle.

F [a m (t) + b n (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Das stützt sich auch auf der Linearität des gleichnamigen Integrals.

Fourier transformiert aus einem Derivat

Sie haben eine Funktion F  was in allen Reais kontinuierlich und integrierbar ist, wo:

Und die Ableitung von F (f ') Es ist kontinuierlich und in allem in Stücke definiert R

Die Fourier -Transformation eines Derivats wird durch Integration durch Teile durch den folgenden Ausdruck definiert:

F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)

In den Ableitungen höherer Ordnung wird es homologe Weise angewendet, wo Sie für alle n 1:

F [F ^N'(t)] (z) = (iz)^NF [f (t)] (z)

Differenzierung der Fourier -Transformation

Sie haben eine Funktion F  was in allen Reais kontinuierlich und integrierbar ist, wo:

I (d/dz)F [f (t)] (z) = F  [T .  f (t)] (z)

Fourier transformiert aus einer Übersetzung

Für alle θ das gehört zu einem Set und T Das gehört zum Set S ', du musst:

F [ τ_Zu θ] =  Und^-IAY F [ θ]                                 F [ τ_ZuT ] =  Und^-Iax  F [ T]   

Mit  τ_Zu  Arbeit als Übersetzungsbetreiber am Vektor zu.

Übersetzung der Fourier -Transformation

Für alle θ das gehört zu einem Set und T Das gehört zum Set S ', du musst:

τ_Zu F [θ] =  F [Und^-Iax.θ]                                τ_Zu F [t ] =  F [Und^-IAY . T]

Kann Ihnen dienen: Hypercubo: Definition, Dimensionen, Koordinaten, entfaltet

Für alle Zu was gehört zu R

Fourier -Transformation einer Skalengruppe

Für alle θ das gehört zu einem Satz s. T Das gehört zum Set S '

λ zugehörig R - 0  Sie müssen:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Und/λ)                 

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (und/λ)

Ja F Es ist eine kontinuierliche und rein integrierbare Funktion, bei der a> 0. So:

F [f (at)] (z) =   (1/a) F [f (t)] (z/a) 

Um dieses Ergebnis zu demonstrieren, können wir mit der Änderung der Variablen fortfahren.

Wenn t → + dann s = at → + ∞

Wenn t → - dann s = at → - ∞

Symmetrie

Die Symmetrie der Fourier -Transforma zu untersuchen.

Sie haben θ und δ, die zu gehören S. Von dort kann es abgeleitet werden, dass:

Erhalten

1 / (2π)^D  F [θ ], F [Δ] Parseval -Identität

1 / (2π)^D/2  || F [θ ] ||_L²_R^D     Plancherel -Formel

Fourier verwandelt sich von einem Produkt in Faltung

Die Verfolgung ähnlicher Ziele, die in der Laplace -Transformation die Faltung der Funktionen auf das Produkt unter seinen Fourier -Transformationen bezieht.

Es hat F und G als 2 Funktionen begrenzt, definiert und vollständig integrierbar:

F (f *g) = f (f) . F (g)

Dann bei der Änderung der Variablen

t + s = x; Das Doppelintegral -Doppelintegral wird fortgesetzt

F (f) . F (g) = f (f) . G)

Kontinuität und Unendlichkeit fallen

Für alle θ, das gehört zu R, f [ θ] folgen den Kriterien der kontinuierlichen Funktion in r begrenzt^D.

Auch F [ θ] (y) → 0 in c si | y | → ∞

Geschichte

Dieses mathematische Konzept wurde von Joseph B präsentiert. Fourier im Jahr 1811 während der Entwicklung eines Vertrags über die Wärmebreite. Es wurde schnell von verschiedenen Zweigen Wissenschaft und Ingenieurwesen übernommen.

Es wurde als Hauptarbeitsinstrument bei der Untersuchung von Gleichungen mit Teilableitungen festgelegt, verglichen auch mit der Arbeitsbeziehung zwischen den Laplace transformierte und gewöhnliche Differentialgleichungen.

Wofür ist die Fourier -Transformation für?

Es dient hauptsächlich für signifikante Gleichungen, während es in Machtelemente umgewandelt wird, die Differentialausdrücke in Form von integrierbaren Polynomen bezeichnen.

Bei der Optimierung, Modulation und Modellierung von Ergebnis.

Fouriers Serie

Sie sind definierte Serien in Bezug auf Cosen und Brüste; Sie dienen dazu, die Arbeit mit allgemeinen regelmäßigen Funktionen zu erleichtern. Bei der Anwendung sind sie Teil der Auflösungstechniken der teilweisen und gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Es kann Ihnen dienen: Real Variable -Funktion und ihre grafische Darstellung

Die Fourier -Serie ist noch allgemeiner als Taylors Serie, da sie periodische Diskontinua -Funktionen entwickeln, die in der Taylor -Serie keine Darstellung haben.

Andere Formen der Fourier -Serie

Die Fourier -Transformation analytisch zu verstehen, ist wichtig.

-Fourier -Serie über eine 2L -Periodenfunktion

Oft ist es notwendig, die Struktur einer Fourier-Serie an periodische Funktionen anzupassen, deren Periode P = 2L> 0 im Intervall [-l, l] beträgt.

-Fourier -Serie in gleichmäßigen und seltsamen Funktionen

Das Intervall [-π, π] wird berücksichtigt, der Vorteile bietet, wenn die symmetrischen Eigenschaften der Funktionen nutzen.

Wenn f Drehmoment ist, wird die Fourier -Serie als eine Reihe von Cosenos etabliert.

Wenn f seltsam ist, wird die Fourier -Serie als eine Reihe von Brüsten etabliert.

-Komplexe Notation der Fourier -Serie

Wenn Sie eine F (t) -Funktion haben, die alle entwickelten Anforderungen der Fourier-Serie erfüllt, ist es möglich, sie im Intervall [-t, t] mit seiner komplexen Notation zu bezeichnen:

Anwendungen

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Berechnung der grundlegenden Lösung

Fouriers Transformation ist ein leistungsstarkes Werkzeug bei der Untersuchung partieller Differentialgleichungen des linearen Typs mit konstanten Koeffizienten. Beantragen Sie Funktionen mit Domänen nicht gleichermaßen begrenzt.

Wie bei der Laplace -Transformation transformiert die Fourier -Transformation eine Funktion von partiellen Ableitungen in eine gewöhnliche Differentialgleichung, die viel einfacher zu bedienen ist.

Cauchys Problem für die Wärmegleichung zeigt ein häufiges Anwendungsfeld der Fourier -Transformation, in der die Funktion erzeugt wird Dirichlet -Hitze oder Kernkern.

In Bezug auf die Berechnung der grundlegenden Lösung werden folgende Fälle vorgestellt, in denen es üblich ist, die Fourier -Transformation zu finden:

-Laplace -Gleichung

-Wärmegleichung

-Schrödinger Gleichung

-Wellengleichung

Signaltheorie

Der allgemeine Grund für die Anwendung der Fourier -Transformation in diesem Zweig ist hauptsächlich auf die charakteristische Zerlegung eines Signals als unendliche Überlappung von leichter behandelbaren Signalen zurückzuführen.

Es kann eine Schallwelle oder eine elektromagnetische Welle sein, die Fourier -Transformation drückt sie in einer einfachen Wellenüberlappung aus. Diese Darstellung ist in der Elektrotechnik ziemlich häufig.

Kann Ihnen dienen: vertikale Linie

Andererseits sind sie Beispiele für die Anwendung der Fourier -Transformation im Bereich der Signaltheorie:

-Systemidentifikationsprobleme. Etabliert F und G

-Problem mit der Konsistenz des Ausgangssignals

-Probleme mit der Signalfilterung

Beispiele

Beispiel 1

Definieren Sie die Fourier -Transformation für den folgenden Ausdruck:

Wir können es auch wie folgt darstellen:

F (t) = Sünde (t) [h_{(T + k)} - H_{(T - k)} ]

Rechteckiger Puls ist definiert:

p (t) = h_{(T + k)} - H_{(T - k)}

Die Fourier -Transformation wird auf den nächsten Ausdruck angewendet, der dem Modulationssatz ähnelt.

f (t) = p (t) sin (t)

Wo: F [w] = (1/2) i [P (W + 1) - P (W - 1)]

Und die Fourier -Transformation wird definiert durch:

F [w] =  (1/2) i [(2/2W+1) Sen (k (w+1)) - (2/2w+1) Sen (K (W-1))]

Beispiel 2

Definieren Sie die Fourier -Transformation für den Ausdruck:

Per Definition drücken wir die Transformation wie folgt aus

Da f (h) eine gleichmäßige Funktion ist, kann dies bestätigt werden

Wenn Sie sich im Integral in Bezug auf Z abgeben, kann der Ausdruck umgeschrieben werden. Dieser Schritt ist bei der Arbeit mit Differentialgleichungen von Bedeutung.

Die Integration durch Teile wird angewendet, indem die Variablen und deren Unterschiede wie folgt ausgewählt werden

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e^-H)²                       V = (e^-H)² / 2

Ersetzen

Nach der Bewertung unter dem grundlegenden Berechnungstheorum

Anwendung des Vorwissens im Zusammenhang mit den Differentialgleichungen erster Ordnung wird als bezeichnet als bezeichnet als

Um k zu bekommen, bewerten wir 

Schließlich wird Fouriers Transformation als definiert als

Vorgeschlagene Übungen

• Bestimmen Sie die Expression Fourier -Transformation
• Lösen Sie das folgende unangefochtene Integral mit der Gleichstellung von Pareseval
• Holen Sie sich die Transformation des Ausdrucks mit (1+w²)

Verweise

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier -Analyse. Addison-Wesley Iberoamericana, Autonome University of Madrid, 1995.
2. Löwen, j. L., Mathematische Analyse und numerische Methoden für Wissenschaft und Technologie. Springer-Verlag, 1990.
3. Lieb, e. H., Gaußsche Kerne haben nur Gaußsche Maximierer. Erfinden. Mathematik. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, h., McKean, h. P., Fourier -Serie und Integrale. Akademische Presse, New York, 1972.
5. Schwartz, l., Théorie des Distributionen. Ed. Hermann, Paris, 1966.