Laplace-Transformation

Was ist Laplaces Transformation?

Der Laplace-Transformation In den letzten Jahren war es unter anderem von großer Bedeutung für Ingenieurwesen, Mathematik und Physik, da es nicht nur von großem Interesse für die Theoretik ist, sondern eine einfache Möglichkeit, Differentialgleichungen zu lösen und sie in algebraische Gleichungen zu verwandeln.

Ursprünglich wurde die Laplace-Transformation von Pierre-Simon Laplace (1745-1827) in seiner Studie zur Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt und im Prinzip als mathematisches Objekt nur theoretischer Interesse behandelt.

Aktuelle Anwendungen ergeben.

Definition der Laplace -Transformation

Sei f eine definierte Funktion für t ≥ 0. Die Laplace -Transformation wird wie folgt definiert:

Es wird gesagt, dass die Laplace -Transform.

Um die Funktion zu bezeichnen, die gewünscht wird, winzige Buchstaben zu transformieren, und der Großbuchstaben entspricht seiner Transformation. Auf diese Weise werden wir:

Beispiele

Betrachten Sie die konstante Funktion f (t) = 1. Wir müssen uns verwandeln:

Vorausgesetzt, dass das Integral konvergiert, dh, vorausgesetzt, s> 0. Ansonsten s < 0, la integral diverge.

Sei G (t) = t. Seine Laplace -Transformation wird gegeben durch:

Wenn Sie durch Teile integriert und das wissen^-St Es tendiert zu 0, wenn t zu Unend und S> 0 tendiert, zusammen mit dem vorherigen Beispiel: Wir müssen:

Das Transformal kann oder nicht existieren, beispielsweise für die Funktion f (t) = 1/t, ist das Integral, das seine Laplace -Transformation definiert.

Die ausreichenden Bedingungen, um sicherzustellen, dass die Laplace -Transformation einer Funktion f besteht.

Es wird gesagt, dass eine Funktion in Teilen für t ≥ 0 kontinuierlich ist, wenn für jedes Intervall [a, b] mit A> 0 eine endliche Anzahl von Punkten t gibt_k, Wo f Diskontinuitäten hat und in jedem Subinterval [t kontinuierlich ist_K-1,T_k].

Andererseits wird gesagt, dass eine exponentielle Funktion C, wenn es echte Konstanten M> 0, C und T> 0 gibt, so dass:

Als Beispiele müssen wir f (t) = t haben² Es ist exponentiell, da | t²| < e^3t Für alle t> 0.

Formal haben wir den folgenden Satz:

Theorem (ausreichende Bedingungen für die Existenz)

Wenn f eine kontinuierliche Funktion für T> 0 und Exponential C ist, gibt es die Laplace -Transformation für s> c.

Es ist wichtig zu hervorheben, dass dies eine Erkrankung der ausreichenden Erkrankung ist, dh, es könnte einen Fall geben, dass es eine Funktion gibt.

Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f (t) = t^-1/2 Das ist in Teilen für t ≥ 0 nicht kontinuierlich, aber seine Laplace -Transformation besteht.

Laplace -Transformation einiger grundlegender Funktionen

Die folgende Tabelle zeigt die Laplace -Transformationen der häufigsten Funktionen.

Kann Ihnen dienen: ganze Zahlen

Geschichte der Laplace -Transformation

Die Laplace-Transformation verdankt ihren Namen Pierre-Simon Laplace, Mathematiker und französischer Astronom und Theoretiker, der 1749 geboren wurde und 1827 starb. Sein Ruhm war so, dass er als Newton in Frankreich bekannt war.

Im Jahr 1744 widmete Leonard Euler (1707-1783) seine Studien mit der Form

Als Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen, aber diese Forschung schnell aufgab. Später untersuchte Joseph Louis Lagrange (1736-1813), der Euler sehr bewunderte, diese Art von Integral und verwandte sie mit der Theorie der Wahrscheinlichkeit.

1782, Laplace

1782 begann Laplace mit der Untersuchung dieser Integrale als Lösungen für Differentialgleichungen, und laut Historikern beschloss er 1785, das Problem neu formulieren zu können, was später Laplaces Transformationen hervorbrachte, wie sie heute verstanden werden.

Nachdem sie im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt wurden.

Heaviside Oliver

Es war im Mid -Nineteenth -Jahrhundert, als der englische Ingenieur Oliver Heaviside entdeckte, dass Differentialbetreiber als algebraische Variablen behandelt werden können.

Oliver Heaviside war Physiker, englischer elektrischer und mathematischer Ingenieur, der 1850 in London geboren wurde und 1925 starb. Während Sie versuchten, Probleme von Differentialgleichungen zu lösen, die auf die Vibrationstheorie angewendet wurden, und Laplace -Studien unter Verwendung von Studien zu fordern, begann es die modernen Anwendungen von Lapla -Transformationen zu formen.

Die von Heaviside entlarvten Ergebnisse verbreiten sich schnell.

Die Nützlichkeit der Arbeit von Heaviside bei der Lösung von Physikgleichungen führte jedoch dazu, dass ihre Methoden zwischen Physikern und Ingenieuren beliebt waren.

Trotz dieser Rückschläge und nach einigen Jahrzehnten gescheiterter Versuche könnte es zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine strenge Rechtfertigung für die von Heaviside festgelegten operativen Regeln erhalten.

Diese Versuche zahlten sich dank der Bemühungen verschiedener Mathematiker wie Bromwich, Carson, Van der Pol unter anderem aus.

Laplace -Transformationseigenschaften

Unter den Eigenschaften der Laplace -Transformation sticht der folgende heraus:

Linearität

Sei C1- und C2 -Funktionen konstant und f (t) und g (t), deren Laplace -Transformationen F (s) bzw. G (s) sind, dann muss es:

Aufgrund dieser Eigenschaft wird gesagt, dass Laplace -Transformator ein linearer Operator ist.

Beispiel:

Erster Übersetzungssatz

Wenn es passiert:

Und 'a' ist dann eine reelle Zahl, dann:

Beispiel:

Als Laplace de cos Transform (2T) = s/(s^2 + 4) dann:

Zweiter Übersetzungssatz

Ja

So

Beispiel:

Wenn f (t) = t^3, dann f (s) = 6/s^4. Und damit die Transformation von 

ist g (s) = 6e^-2s/s^4

Skalenwechsel

Ja

Und 'a' unterscheidet sich sehr von Null, wir müssen wir

Beispiel:

Da die Transformation von f (t) = sen (t) f (s) = 1/(s^2 + 1) ist

Kann Ihnen dienen: entwickelte Notation: Was ist, Beispiele und Übungen

Laplace transformiert aus Derivaten

Wenn f, f ', f ", ..., f^(N) Sie sind für T ≥ 0 kontinuierlich und exponentiell und f^(N)(t) ist in Teilen für t ≥ 0 kontinuierlich

Integrale Laplace -Transformation

Ja

So

Multiplikation mit t^N

Wenn wir müssen

So

Division von t

Wenn wir müssen

So

Regelmäßige Funktionen

Sei f eine periodische Funktion mit Periode t> 0, dh f (t +t) = f (t), dann

Verhalten von f (s), wenn s tendiert, um unendlich zu sein

Wenn f in Teilen und in exponentieller Reihenfolge kontinuierlich ist und

So

Umgekehrt transformiert

Wenn wir die Laplace -Transformation auf eine Funktion f (t) anwenden, erhalten wir F (s), was diese Transformation darstellt. Ebenso können wir sagen, dass f (t) die Transformation des inversen Laplace von F (S) ist und als geschrieben ist

Wir wissen, dass die Laplace -Transformationen von f (t) = 1 und g (t) = t f (s) = 1/s und g (s) = 1/s sind² je jeweils wir müssen

Einige gängige Laplace -transformierte sind die folgenden

Darüber hinaus ist die umgekehrte Laplace -Transformation linear, dh es wird erfüllt, dass dies erfüllt ist

Übung

Finden

Um diese Übung zu lösen. In diesem Fall, wenn wir n + 1 = 5 nehmen und die Linearitätseigenschaft der Reverse -Transformation verwenden, multiplizieren wir und dividieren mit 4! Bekommen

Für die zweite inverse Transformation wenden wir teilweise Brüche an, um die Funktion F (s) und dann die Eigenschaft der Linearität zu erhalten, die erhalten

Wie wir aus diesen Beispielen erkennen können, ist es üblich, dass die bewertete Funktion f (s) nicht genau den in der Tabelle angegebenen Funktionen übereinstimmt. In diesen Fällen reicht es aus, die Funktion umzuschreiben, bis sie die richtige Form erreicht.

Laplace -Transformationsanwendungen

Differentialgleichung

Die Hauptanwendung, die Laplace -Transformationen besitzen, besteht darin, Differentialgleichungen zu lösen.

Unter Verwendung der Eigenschaft der Transformation eines Derivats ist klar, dass es klar ist

Und von dem abgeleiteten N-1 bei t = 0 bewertet.

Diese Eigenschaft macht die Transformation.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Laplace -Transformation verwendet wird, um Differentialgleichungen zu lösen.

Beispiel 1

Bei der folgenden Anfangswertproblem

Verwenden Sie die Laplace -Transformation, um die Lösung zu finden.

Wir wenden die Laplace -Transformation auf jedes Mitglied der Differentialgleichung an

Für die Eigenschaft der Transformation eines Derivats haben wir

Bei der Entwicklung des gesamten Ausdrucks und der Klärung und des) haben wir

Verwenden Sie Teilbrüche, um die rechte Seite der von uns erhaltenen Gleichung umzuschreiben

Schließlich ist es unser Ziel, eine Funktion und (t) zu finden, die die Differentialgleichung erfüllt. Unter Verwendung der inversen Laplace -Transformation führt es dazu

Beispiel 2

Lösen

Wie im vorherigen Fall wenden wir die Transformation auf beiden Seiten der Gleichung und des separaten Terms an.

Auf diese Weise haben wir als Ergebnis

Ersetzen durch die angegebenen und löschten anfänglichen Werte und (s)

Mit einfachen Fraktionen können wir die Folge der Gleichung neu schreiben

Und die Anwendung der umgekehrten Transformation von Laplace gibt uns als Ergebnis

In diesen Beispielen könnte die falsche Schlussfolgerung gezogen werden, dass diese Methode nicht viel besser ist als herkömmliche Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen.

Kann Ihnen dienen: Verhältnis

Die Vorteile der Laplace -Transformation sind, dass sie nicht notwendig ist.

Bei der Lösung von Anfangswertproblemen nach dieser Methode verwenden wir von Anfang an die Anfangsbedingungen, sodass es nicht erforderlich ist, andere Berechnungen durchzuführen, um die bestimmte Lösung zu finden.

Differentialgleichungssysteme

Die Laplace -Transformation kann auch verwendet werden, um Lösungen für gleichzeitige gewöhnliche Differentialgleichungen zu finden, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Lösen

Mit den Anfangsbedingungen x (0) = 8 e y (0) = 3.

Wenn wir müssen

So

Das Lösen gibt uns als Ergebnis

Und wenn wir die umgekehrte Transformation von Laplace anwenden, haben wir

Mechanik und elektrische Schaltkreise

Die Laplace -Transformation ist in der Physik von großer Bedeutung, hauptsächlich Anwendungen für Mechaniker und elektrische Schaltungen.

Ein einfacher Stromkreis besteht aus den folgenden Elementen:

Elemente eines Stromkreises

Ein Schalter, eine Batterie oder Quelle, ein Induktor, ein Widerstand und ein Kondensator. Wenn der Schalter geschlossen ist, ist ein elektrischer Strom, der von i (t) bezeichnet wird. Die Kondensatorlast wird mit q (t) bezeichnet.

Nach Kirchhoffs zweitem Gesetz muss die vom Fuente E an den geschlossene Kreis erzeugte Spannung gleich der Summe jeder der Spannungsstürze sein.

Der elektrische Strom I (t) bezieht sich auf Last q (t) im Kondensator über i = dq/dt. Andererseits wird der Spannungsabfall in jedem der Elemente wie folgt definiert:

Der Spannungsabfall eines Widerstands ist ir = r (DQ/DT)

Der Spannungsabfall in einem Induktor ist L (di/dt) = L (D. D²Q/dt²)

Der Spannungsabfall eines Kondensators ist Q/C

Mit diesen Daten und bei der Anwendung von Kirchhoffs zweitem Gesetz auf den einfachen Schaltkreis wird eine Differentialgleichung in zweiter Ordnung erhalten, die das System beschreibt und es uns ermöglicht, den Wert von q (t) zu bestimmen.

Beispiel

Ein Induktor, ein Kondensator und Widerstand sind mit einer Batterie E angeschlossen, wie in der Abbildung gezeigt. Der Induktor ist 2 Henries, der 0,02 Farads -Kondensator und der 16 Onhmios -Widerstand. Im Moment schließt t = 0 die Schaltung. Finden Sie die Last und den Strom jederzeit t> 0, wenn e = 300 Volt.

Wir haben, dass die Differentialgleichung, die diesen Schaltkreis beschreibt, wie folgt lautet:

Wobei die Anfangsbedingungen q (0) = 0 sind, i (0) = 0 = q '(0).

Auftragen der Laplace -Transformation wir bekommen das

Und löschen q (t)

Anschließend die inverse Laplace -Transformation, die wir haben

Verweise

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