Fourier diskrete transformierte Eigenschaften, Anwendungen, Beispiele

Der Fourier diskret transformiert Es handelt sich um eine numerische Methode, mit der Proben im Zusammenhang mit den Spektralfrequenzen definiert werden, aus denen ein Signal besteht. Studien regelmäßige Funktionen in geschlossenen Parametern und werfen dadurch ein weiteres diskretes Signal.

Um die diskrete Transformation von Furier von N -Punkten bei einem diskreten Signal zu erhalten, müssen die folgenden 2 Bedingungen in einer Sequenz erfüllt sein X [n]

 x [n] = 0   N n - 1

Wenn Sie diese Bedingungen erfüllen, kann Fouriers diskrete Transformation definiert werden als

Tdf

Fouriers diskrete Transformation kann als Stichprobe an n Punkten der Fourier -Transformation definiert werden.

[TOC]

Interpretation von Fouriers diskreter Transformation

Quelle: Pexels

Es gibt 2 Standpunkte, aus denen die in einer Sequenz x erhaltenen Ergebnisse interpretiert werden können_S[n] durch Fouriers diskrete Transformation.

-Die erste entspricht den Spektralkoeffizienten, die der Fourier -Serie bereits bekannt sind. Es wird in diskreten periodischen Signalen beobachtet, wobei Proben mit Sequenz x zusammenfallen_S[N].

-Der zweite handelt von dem Spektrum eines diskreten aperiadischen Signals, wobei die Proben der Sequenz x entsprechen_S[N].

Die diskrete Transformation ist ein Ansatz zum Spektrum des ursprünglichen Analogsignals. Seine Phase hängt von den Probenahmemomenten ab, während seine Größe vom Probenahmeintervall abhängt.

Eigenschaften

Die algebraischen Grundlagen der Struktur bilden die logische Grundlage der folgenden Abschnitte.

Linearität

C . S_N → c . F[S_k]; Wenn eine Sequenz mit einem Skalar multipliziert wird, wird es auch ihre Transformation sein.

T_N + V_N = F [t_k]+F [v_k]; Die Transformation einer Summe entspricht der Summe der transformierten.

Dualität

F [s_N] → (1/n) s_-K; Wenn die diskrete Transformation von Fourier in einen bereits transformierten Ausdruck zurückgerufen wird, wird der gleiche Ausdruck erhalten, der in N in Bezug auf die vertikale Achse in N umgezogen wird.

Faltung

Die Verfolgung ähnlicher Ziele, die in der Laplace -Transformation die Faltung der Funktionen auf das Produkt unter seinen Fourier -Transformationen bezieht. Die Faltung gilt auch für diskrete Zeiten und ist für viele moderne Verfahren verantwortlich.

X_N * R_N → f [x_N] .F [r_N]; Die Transformation einer Faltung entspricht dem Produkt der Veränderungen.

X_N . R_N→ f [x_N] * F [r_N]; Die Transformation eines Produkts entspricht der Faltung der transformierten.

Verschiebung

X_N-m → f [x_k] e ^{-I (2π/n) km} ; Wenn sich eine Nachfolge in M ​​-Proben verzögert, ist die Auswirkung auf die diskrete Transformation eine Modifikation des durch (2π/n) km definierten Winkels.

Kann Ihnen dienen: Warum ist Algebra in bestimmten täglichen Lebenssituationen wichtig??

Symmetrie konjugiert

X_T [-K] = x*_T[k] = x_T [N - k]

Modulation

W^-nm_N . x [n] ↔ x_T[K - m]

Produkt

x [n] y [n] ↔ (1/n) x_T[k]*und_T[K]

Symmetrie

X [-n] ↔ x_T[-K] = x*_T[K]

Konjugieren

x*[n] ↔ x*_T[-K]

Parseval -Gleichung 

Ähnlichkeiten und Unterschiede mit der Fourier -Transformation

In Bezug auf das konventionelle Transformal von Fourier hat es mehrere Ähnlichkeiten und Unterschiede. Fouriers Transformation wandelt eine Sequenz in eine kontinuierliche Linie um. Auf diese Weise wird gesagt, dass das Ergebnis der Fourier -Variablen eine komplexe reale variable Funktion ist.

Die diskrete Transformation von Fourier erhält im Gegensatz zu einem diskreten Signal und verwandelt es in ein anderes diskretes Zeichen, dh eine Sequenz.

Was nutzt Fouriers diskrete Transformation?

Sie dienen hauptsächlich für signifikante Gleichungen, während sie Ausdrücke in Machtelemente verwandeln. Bezeichnung differentieller Ausdrücke in Formen integrierbarer Polynome.

Bei der Optimierung, Modulation und Modellierung von Ergebnis.

Quelle: Pixabay

Geschichte

Dieses mathematische Konzept wurde von Joseph B präsentiert. Fourier im Jahr 1811, während er einen Vertrag bezüglich der entwickelte Wärmebreite. Es wurde schnell von verschiedenen Zweigen Wissenschaft und Ingenieurwesen übernommen.

Es wurde als Hauptarbeitsinstrument bei der Untersuchung von Gleichungen mit Teilableitungen festgelegt, verglichen auch mit der Arbeitsbeziehung zwischen den Laplace transformierte und gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jede Funktion, die mit Fourier -Transformation bearbeitet werden kann.

Fourier Discreet transformiert und seine umgekehrten

Die diskrete Transformation wird durch den Ausdruck erhalten:

Nach einer diskreten Sequenz x [n]

Die Umkehrung der diskreten Transformation von Fourier wird durch den Ausdruck definiert:

Inverse TDF

Es ermöglicht, sobald die diskrete transformierte, die Sequenz in der Zeitdomäne x [n] definieren.

Putz

Der Parametrisierungsprozess, der der diskreten Transformation von Fourier entspricht. Um die Transformation zu bearbeiten, müssen wir die Sequenz rechtzeitig einschränken. In vielen Fällen haben die fraglichen Signale diese Einschränkungen nicht.

Eine Nachfolge, die die Größenkriterien nicht erfüllt, die für die diskrete Transformation gelten, kann mit einer „Fenster“ -Funktion multipliziert werden, wodurch das Verhalten der Nachfolge in einem kontrollierten Parameter definiert wird.

Kann Ihnen dienen: Kreisförmige Permutationen: Demonstration, Beispiele, aufgelöste Übungen

X [n] . V [n]

Die Spektrumbreite hängt von der Fensterbreite ab. Mit zunehmender Fensterbreite wird die kalkulierte Transformation enger sein.

Anwendungen

Berechnung der grundlegenden Lösung

Fouriers diskrete Transformation ist ein leistungsstarkes Werkzeug für die Untersuchung diskreter Folgen.

Die diskrete Transformation von Fourier transformiert eine kontinuierliche variable Funktion in eine diskrete Variable -Transformation.

Cauchys Problem für die Wärmegleichung zeigt ein häufiges Gebiet der Anwendung der diskreten Transformation von Fourier. Wo die Funktion erzeugt wird Dirichlet -Hitze oder Kernkern, Dies gilt für die Werteabtastung in einem definierten Parameter.

Signaltheorie

Der allgemeine Grund für die Anwendung der diskreten Transformation von Fourier in diesem Zweig ist hauptsächlich auf die charakteristische Zersetzung eines Signals als unendliche Überlappung von leichter behandelbaren Signalen zurückzuführen.

Es kann eine Schallwelle oder eine elektromagnetische Welle sein, die diskrete Transformation von Fourier drückt sie in einer einfachen Wellenüberlappung aus. Diese Darstellung ist in der Elektrotechnik ziemlich häufig.

Fouriers Serie

Sie sind definierte Serien in Bezug auf Cosenos und Brüste. Sie dienen dazu, die Arbeit mit allgemeinen regelmäßigen Funktionen zu erleichtern. Bei der Anwendung sind sie Teil der Auflösungstechniken der teilweisen und gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Die Fourier -Serie ist noch allgemeiner als Taylors Serie, da sie periodische Diskontinua -Funktionen entwickeln, die in der Taylor -Serie keine Darstellung haben.

Andere Formen der Fourier -Serie

Fouriers Transformation analytisch zu verstehen ist es wichtig.

-Fourier -Serie über eine 2L -Periodenfunktion:

Oft ist es notwendig, die Struktur einer Fourier-Serie an periodische Funktionen anzupassen, deren Periode P = 2L> 0 im Intervall [-l, l] beträgt.

-Fourier -Serie in gleichmäßigen und seltsamen Funktionen

Das Intervall [-π, π] wird berücksichtigt, der Vorteile bietet, wenn die symmetrischen Eigenschaften der Funktionen nutzen.

Kann Ihnen dienen: Finite -Set: Eigenschaften, Beispiele, gelöste Übungen

Wenn f Drehmoment ist, wird die Fourier -Serie als eine Reihe von Cosenos etabliert.

Wenn f seltsam ist, wird die Fourier -Serie als eine Reihe von Brüsten etabliert.

-Komplexe Notation der Fourier -Serie

Wenn Sie eine F (t) -Funktion haben, die alle Anforderungen der Fourier-Serie entspricht, ist es möglich, sie im Intervall [-t, t] mit seiner komplexen Notation zu bezeichnen: 

Beispiele

In Bezug auf die Berechnung der grundlegenden Lösung werden folgende Beispiele vorgestellt:

Laplace -Gleichung

Wärmegleichung

Schrödinger Gleichung

Wellengleichung

Andererseits gibt es Beispiele für die Anwendung der diskreten Transformation von Fourier im Bereich der Signaltheorie:

-Systemidentifikationsprobleme. Etabliert F und G

-Problem mit der Konsistenz des Ausgangssignals

-Probleme mit der Signalfilterung

Übungen

Übung 1

Berechnen Sie die diskrete Transformation von Fourier für die folgende Nachfolge.

Das x [n] tdf kann definiert werden als:

X_T[k] = 4, -j2, 0, j2 für k = 0, 1, 2, 3

Übung 2

Es wird durch einen digitalen Algorithmus das durch den Ausdruck x (t) = e definierte spektrale Signal bestimmen^-T. Wobei der maximale Antragskoeffizient f ist F ist f_M= 1Hz. Eine Harmonische entspricht F = 0.3 Hz. Der Fehler ist auf weniger als 5% begrenzt. Berechnung F_S , D und n.

Berücksichtigung des Stichprobensatzes F_S = 2f_M = 2 Hz

Eine Frequenzauflösung von F₀ = 0.1 Hz, wobei d = 1/0,1 = 10s erhalten werden

0.3 Hz ist die Frequenz, die dem Index k = 3 entspricht, wobei n = 3 × 8 = 24 Proben. Anzeigt, dass F_S = N/d = 24/10 = 2.4> 2

Da der Zweck darin besteht, den geringsten Wert für n zu erreichen, können die folgenden Werte als Lösung betrachtet werden:

F₀ = 0.3 Hz

D = 1/0.3 = 3.33s

K = 1

N = 1 × 8 = 8

Verweise

1. Beherrschen der diskreten Fourier -Transformation in einer, zwei oder mehreren Dimensionen: Fallstricke und Artefakte. Isaacmastor. Springer Science & Business Media, 19. Juli 19. Juli. 2013
2. Das DFT: Ein Eigentümerhandbuch für die diskrete Fourier -Transformation. William l. Briggs, Van Emden Henson. Siam, 1. Januar. 1995
3. Digitale Signalverarbeitung: Theorie und Praxis. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformationen und schnelle Algorithmen für Signalanalysen und Darstellungen. Guoaner Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. Dezember. 2012
5. Diskrete und kontinuierliche Fourier -Transformationen: Analyse, Anwendungen und schnelle Algorithmen. Eleanor Chu. CRC Press, 19. 2008