Escaleno Trapezio -Eigenschaften, Formeln und Gleichungen, Beispiele

A Trapez Skalene Es handelt.

Das ABCD -Viereck wird gezeigt, wobei die Seiten AB und DC parallel zueinander sind. Damit reicht es aus, es zu einem Trapez zu machen, aber zusätzlich sind die Innenwinkel α, β, γ und δ alle unterschiedlich, daher ist das Trapez es Escalano.

Abbildung 1. Das ABCD -Viereck ist ein Trapez für den Zustand 1 und Skalene für Zustand 2. Quelle: f. Zapata.

[TOC]

Elemente des Scaleno -Trapect

Unter den charakteristischsten Elementen:

-Basen und Seite: Die parallelen Seiten des Trapezs sind ihre Basen und die beiden nicht parallelen Seiten sind die Seiten.

In einem Skalen -Trapezio sind die Basen unterschiedlich Längen und auch die Seiten. Ein Skalen -Trapez kann jedoch eine Seite gleicher Länge wie eine Basis haben.

-Median: Es ist das Segment, das sich den Mittelpunkten der Seiten verbindet.

-Diagonale: Die Diagonale eines Trapezes ist das Segment, das zwei gegenüberliegende Scheitelpunkte verbindet. Ein Trapez, wie jeder viereckige, hat zwei Diagonalen. Im Skalen -Trapezio sind sie unterschiedlich lang.

Andere Trapezoide

Zusätzlich zum Escaleno Trapezio gibt es noch andere spezielle Trapezoide: das Rechteck Trapez und das iskellische Trapezoid.

Ein Trapez ist rechteck.

Die Trapez -Form hat zahlreiche Anwendungen auf Design und Branchenebene, wie z.

Figur 2. Die Trapezformform ist in der ALAR -Flugzeugkonfiguration häufig. Quelle: Wikimedia Commons.

Eigenschaften

Als nächstes werden die Eigenschaften des Klettertäures aufgeführt, von denen viele zu den anderen Arten von Trapez umfangreich sind. Im Folgenden gilt die Immobilie, wenn Sie über „Trapezio“ sprechen, für jegliche Art, einschließlich der Skalene.

1. Der Median des Trapezes, dh das Segment, das die Mittelpunkte seiner nicht parallelen Seiten vereint, ist parallel zu einer der Basen.

2.- Der Median eines Trapezes hat eine Länge, die der Semi -Soum seiner Basen ist und seine Diagonalen am Mittelpunkt schneidet.

3.- Die Diagonalen eines Trapezes überschneiden sich an einem Punkt, der sie in zwei Abschnitte unterteilt, die proportional zum Verhältnis der Basen sind.

4.- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes entspricht der Summe der Quadrate ihrer Seiten sowie dem Doppelprodukt seiner Basen.

5.- Das Segment, das sich den mittleren Diagonalen anschließt.

Kann Ihnen dienen: Injektivfunktion: Woraus es besteht, wofür es und Beispiele ist

6.- Die Winkel neben den Seiten sind ergänzend.

7.- In einem Skalen -Trapez sind die Länge seiner Diagonalen unterschiedlich.

8.- Ein Trapez hat nur einen registrierten Umfang, wenn die Summe seiner Basen der Summe seiner Seiten entspricht.

9.- Wenn ein Trapez einen registrierten Umfang hat, ist der Winkel mit Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs und der Seiten, die durch die Enden der Seiten des Trapezes gehen.

10.- Ein Escaleno -Trapez hat keinen umschriebenen Umfang, die einzige Art von Trapez, dass es die iosschenkellen ist, wenn es sich.

Formeln und Gleichungen

Die folgenden Beziehungen des Klettertrapezes werden auf die folgende Abbildung verwiesen.

1.- Wenn ae = ed und bf = fc → ef || AB und EF || DC.

2.- Ef = (ab + dc)/2 das ist: m = (a + c)/2.

3.- Di = ib = d₁ /2 und Ag = gc = d₂ /2.

4.- DJ / JB = (C / A) In ähnlicher Weise CJ / Ja = (C / A).

Figur 3. Median und Diagonalen eines Skalen -Trapezoids. Quelle: f. Zapata.

5.- Db² + AC² = Anzeige² + BC² + 2 Ab ∙ DC 

Entsprechend:

D₁² + D₂² = d² + B² + 2 a ∙ c

6.- Gi = (ab - dc)/2

Das heißt:

n = (a - c)/2

7.- α + δ = 180⁰ und β + γ = 180⁰

8.- Wenn α ≠ β ≠ γ ≠ δ ist, dann d1 ≠ d2.

9.- Abbildung 4 zeigt ein Skalen -Trapez mit einem registrierten Umfang. In diesem Fall wird er erfüllt:

A + c = d + b

10.- In einem ABCD -Escalene -Trapez mit einem registrierten Zentrum des Zentrums wird auch der folgende erfüllt:

∡aod = ∡Boc = 90⁰

Figur 4. Wenn in einem Trapez überprüft wird, dass die Summe ihrer Basen gleich der Summe der Seiten ist, gibt es den Umfang, der in demselben eingeschrieben ist. Quelle: f. Zapata.

Höhe

Die Höhe eines Trapezes ist definiert als das Segment, das von einem Punkt der Basis senkrecht zur entgegengesetzten Basis (oder seiner Verlängerung) verläuft.

Alle Höhen des Trapezes haben die gleiche Maßnahme h. Kurz gesagt, Höhe ist der Abstand oder die Trennung zwischen den Basen.

Die Höhe H kann bestimmt werden, wenn die Länge einer Seite und einer der Winkel neben der Seite bekannt ist:

H = D sin (α) = D sin (γ) = B sin (β) = B sin (δ)

Median

Das mediane Maß für das Trapez sind die Halbböden der Basen:

M = (a + b)/2

Diagonale

D₁ = √ [a² + D² - 2 ∙ a ∙ d ∙ cos (α)]

D₂= √ [a² + B² - 2 ∙ A ∙ B ∙ cos (β)]

Es kann auch berechnet werden, wenn nur die Länge des Trapezes bekannt ist:

D₁ = √ [b² + A ∙ c - a (b)² - D²)/(a - c)]

D₂ = √ [d² + A ∙ c - a (d² - B²)/(a - c)]

Umfang

Der Umfang ist die Gesamtlänge der Kontur, dh die Summe aller Seiten:

Kann Ihnen dienen: diskrete Zufallsvariable

P = a + b + c + d

Bereich

Die Fläche eines Trapezes ist die Halbböden seiner Basen, die mit seiner Höhe multipliziert werden:

A = h ∙ (a + b)/2

Es kann auch berechnet werden, wenn der Median M und die Höhe bekannt sind:

A = m ∙ h

Wenn nur die Länge der Trapezseiten bekannt ist, kann der Bereich durch Heróns Formel für das Trapez bestimmt werden:

A = [(a+c)/| a-c |] ∙ √ [(S-A) (S-C) (S-A-D) (S-A-B)]]

Wobei S das Semi -Perimeter ist: s = (a+b+c+d)/2.

Andere Beziehungen für den Aufstieg

Der Schnitt des Medians mit den Diagonalen und der Parallele, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht, führt zu anderen Beziehungen.

Abbildung 5. Andere Beziehungen für den Aufstieg. Quelle: f. Zapata.

-Beziehungen für den Median EF

EF = (a+c)/2; EG = if = c/2; Ei = gf = a/2

-Beziehungen für das parallele Segment zu den KL Kreuzung j der Diagonalen

Ja KL || AB || DC mit j ∈ KL, dann kj = jl = (a ∙ c)/(a+c)

Bau des Skalen -Trapeziums mit Herrschaft und Kompass

Angesichts der Längenbasen Zu Und C, A> c und mit Seite der Längen b und D, Sein b> d, Wir folgen diesen Schritten (siehe Abbildung 6):

1.- Mit der Regel wird das Segment des größten AB gezeichnet.

2.- Aus einer SE und auf AB ist Punkt P so gekennzeichnet, dass ap = c.

3.- Mit dem Kompass mit C- und Radio -D -Zentrum wird ein Bogen gezeichnet.

4.- Es wird in B in B mit Radio B gefertigt, um einen Bogen zu zeichnen, der den im vorherigen Schritt erstellten Bogen interpretiert. Wir nennen das den Schnittpunkt.

Abbildung 6. Bau von Escaleno Trapecio, die seine Seiten besitzen. Quelle: f. Zapata.

5.- Mit der Mitte im Ziehen eines Radius -Bogens d.

6.- Mit der Mitte, in der ein Radiusbogen zeichnen kann, der in den im vorherigen Schritt erstellten Bogen abgefangen hat. Es wird R bis zum Schneiderpunkt gerufen.

7.- Die Segmente BQ, QR und RA werden mit der Regel gezeichnet.

8.- Das ABQR Viereck ist ein Skalen -Trapez, da APQR ein Parallelogramm ist, das garantiert, dass AB || Qr.

Beispiel

Die folgenden Längen sind in CM: 7, 3, 4 und 6 angegeben.

a) Bestimmen Sie, ob Sie mit ihnen ein Skalen -Trapez bauen können, das einen Umfang umschreiben kann.

b) Finden Sie den Umfang, die Fläche, die Länge der Diagonalen und die Höhe des Trapezes sowie den Radius des registrierten Umfangs.

- Lösung für

Unter Verwendung der Segmente der Länge 7 und 3 als Basen und denen von Länge 4 und 6 als Seiten kann ein Skalen -Trapez mit dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Verfahren erstellt werden.

Wir müssen überprüfen, ob es einen registrierten Umfang hat, aber erinnert an die Eigenschaft (9):

Kann dir dienen: hexagonales Prisma

Ein Trapez hat nur einen registrierten Umfang, wenn die Summe seiner Basen der Summe seiner Seiten entspricht.

Wir sehen das in der Tat:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Dann wird der Zustand des eingeschriebenen Umfangs erfüllt.

- Lösung b

Umfang

Umfang P wird durch Hinzufügen der Seiten erhalten. Wenn die Basen insgesamt 10 und die Seiten sind, ist der Umfang:

P = 20 cm

Bereich

Um den Bereich zu bestimmen, der nur seine Seiten bekannt ist, wird die Beziehung angewendet:

A = [(a+c)/| a-c |] ∙ √ [(S-A) (S-C) (S-A-D) (S-A-B)]]

Wo s ist der Semi -Perimeter:

S = (a+b+c+d)/2.

In unserem Fall ist der Semi -Perimeter S = 10 cm wert. Nach dem Ersetzen der jeweiligen Werte:

A = 7 cm; B = 6 cm; C = 3 cm; D = 4 cm

Bleibt übrig:

A = [10/4] √ [(3) (7) (-1) (-3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Höhe

Höhe H ist mit dem Bereich A durch den folgenden Ausdruck zusammenhängen:

A = (a+c) ∙ h/2, wobei die Höhe durch Clearance erhalten werden kann:

H = 2a / (a+c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,968 cm.

Registrierter Umfangradio

Der Radius des registrierten Umfangs ist die Hälfte der Höhe wert:

R = h/2 = 1,984 cm

Diagonale

Schließlich gibt es die Länge der Diagonalen:

D₁ = √ [b² + A ∙ c - a (b)² - D²)/(a - c)]

D₂ = √ [d² + A ∙ c - a (d² - B²)/(a - c)]

Das ordnungsgemäße Ersetzen der Werte ist:

D₁ = √ [6² + 7 ∙ 3 - 7 (6)² - 4²)/(7 - 3)] = √ (36+21-7 (20)/4) = √ (22)

D₂ = √ [4² + 7 ∙ 3 - 7 (4)² - 6²)/(7-3)] = √ (16+21-7 (-20)/4) = √ (72)

Das heißt: D₁ = 4,69 cm und d₂ = 8,49 cm

Abbildung 7. Skalen -Trapezio, das den Zustand des Existenz des registrierten Umfangs entspricht. Quelle: f. Zapata.

Übung gelöst

Bestimmen Sie die Innenwinkel des Basen -Trapez -AB = A = 7, Cd = C = 3 und lateraler BC = B = 6, da = d = 4.

Lösung

Der Cosinus -Theorem kann angewendet werden, um die Winkel zu bestimmen. Zum Beispiel wird der Winkel ≤A = α aus dem Dreieck ABD mit AB = A = 7, BD = D2 = 8,49 und DA = 4 bestimmt.

Der auf dieses Dreieck angewendete Cosinus -Theorem bleibt wie folgt:

D₂² = a² + D² - 2 ∙ a ∙ d ∙ cos (α), dh:

72 = 49+16-56 ∙ cos (α).

Beim Clearing wird der Cosinus des Winkels α erhalten:

Cos (α) = -1/8

Das heißt, dass α = arccos (-1/8) = 97,18⁰.

Ebenso werden die anderen Winkel erhalten, die ihre Werte sind:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ und schließlich δ = 82,82⁰.

Verweise

1. C. UND. ZU. (2003). Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Mathematik 2. Patria Redaktionsgruppe.
3. Befreit, k. (2007). Entdecken Sie Polygone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. (2013). Verallgemeinerte Polygone. Birkhäuser.
5. Iger. (S.F.). Mathematik Erstes Semester Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometrie. (2014). Polygone. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren & Hornsby. (2006). Mathematik: Argumentation und Anwendungen (Zehnte Ausgabe). Pearson Ausbildung.
8. Patiño, m. (2006). Mathematik 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Geborgen von: ist.Wikipedia.com