Trapecio isosceles Eigenschaften, Beziehungen und Formeln, Beispiele

A Trapez Isosceles Es ist ein Viereck, bei dem zwei der Seiten parallel zueinander sind, und auch die beiden Winkel neben einer dieser parallelen Seiten haben die gleiche Maßnahme.

In Abbildung 1 haben Sie das ABCD -Viereck, in dem die AD- und BC -Seiten parallel sind. Zusätzlich haben die Winkel ζdab und ζadc neben der parallelen Seite AD das gleiche Maß α auf. 

Abbildung 1. Trapezisoskell. Quelle: f. Zapata.

Daher ist dieses viereckige oder vierseitige Polygon tatsächlich ein isoskelles Trapez.

In einem Trapez werden die parallele Seiten genannt Basen und Nicht-Parallel werden genannt seitlich. Ein weiteres wichtiges Merkmal ist das Höhe, Welches ist der Abstand, der die parallele Seiten trennt.

Zusätzlich zu den iSoskelen Trapez gibt es andere Arten von Trapez:

-TRavecio Escaleno, Das hat all seine unterschiedlichen Winkel und Seiten.

-TRechteck Rapcio, in dem eine Seite gerade benachbarte Winkel hat.

Die Trapez -Form ist in verschiedenen Bereichen von Design, Architektur, Elektronik, Berechnung und vielem mehr häufig, wie später zu sehen ist. Daher ist es wichtig, sich mit seinen Eigenschaften vertraut zu machen.

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Eigenschaften

Exklusives isoskelles Trapez

Wenn ein Trapez isoskeln ist, trifft er die folgenden charakteristischen Eigenschaften:

1.- Die Seiten haben die gleiche Maßnahme.

2.- Die Winkel neben den Basen sind gleich.

3.- Gegenwinkel sind ergänzend.

4.- Die Diagonalen haben die gleiche Länge, das gleiche sind die beiden Segmente, die die gegenüberliegenden Eckpunkte vereinen.

5.- Der zwischen den Basen und den Diagonalen gebildete Winkel ist alle gleichermaßen.

6.- Es hat Umfang umschrieben.

Wenn ein Trapez einen der vorherigen Eigenschaften trifft, dann ist es ein Isosceles Trapez.

Wenn in einem Trapez -Isosceles einer der Winkel gerade ist (90 °), dann werden alle anderen Winkel ein Rechteck bilden. Das heißt, ein Rechteck ist ein besonderer Fall von iskellem Trapez.

Figur 2. Der Corn Palomites Container und die Schultische sind wie isoskeln geformt. Quelle: pxFuel (links)/McDowell Craig durch Flickr. (Rechts)

Für alle Trapez

Die folgenden Eigenschaften sind für jedes Trapez gültig:

7.- Der Median des Trapezes, das ist das Segment, das sich mit den Mittelpunkten seiner nicht parallelen Seiten verbindet, ist parallel zu einer der Basen.

8.- Die Länge des Medians entspricht dem semi -Semum (Summe geteilt durch 2) der seiner Basen.

9.- Der Median eines Trapezs schneidet seine Diagonalen im Mittelpunkt.

10.- Die Diagonalen eines Trapezes kreuzen sich an einem Punkt, der sie in zwei Abschnitte unterteilt.

elf.- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes entspricht der Summe der Quadrate ihrer Seiten sowie dem Doppelprodukt seiner Basen.

Es kann Ihnen dienen: Wie viele Tausendstel passen sie in einen Zehntel??

12.- Das Segment, das sich den mittleren Diagonalen anschließt.

13.- Die Winkel neben den Seiten sind ergänzend.

14.- Ein Trapez hat einen registrierten Umfang, wenn die Summe seiner Basen gleich der Summe seiner Seiten ist.

fünfzehn.- Wenn ein Trapez einen registrierten Umfang hat, sind die Winkel mit Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs und der Seiten, die durch die Enden derselben Seite fließen, gerade Winkel.

Beziehungen und Formeln

Die folgenden Satz von Beziehungen und Formeln werden in Abbildung 3 verwiesen, wobei zusätzlich zu den isoszelischen Trapez anderen wichtigen wichtigen Segmenten wie Diagonalen, Höhe und Medium berechnet werden.

Figur 3. Median, Diagonale, Höhe und Umfang, umschrieben in einem iskelischen Trapezoid. Quelle: f. Zapata.

Exklusive Beziehungen der iskelischen Trapecio

1.- AB = DC = C = D

2.- ∡dab = ∡cda und ∡abc = ∡bcd

3.- ∡dab + ∡bcd = 180º und ∡cda + ∡abc = 180º

4.- Bd = ac

5.- ∡cad = ∡bda = ∡cbd = ∡bca = α₁

6.- A, B, C und D gehören zum umschriebenen Umfang.

Beziehungen für Trapez

7. Wenn ak = kb und dl = lc ⇒ kl || AD und KL || BC

8.- KL = (ad + bc)/2

9.- AM = MC = AC/2 und DN = NB = DB/2

10.- Ao/oc = ad/bc y do/ob = ad/bc

elf.- AC² + Db² = Ab² + DC² + 2 März

12.- Mn = (ad - bc)/2

13.- ∡dab + ∡abc = 180º und ∡cda + ∡bcd = 180º

14.- Wenn AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ r welches Equidista von AD, BC, AB und DC

fünfzehn.- Wenn ∃ r welches aquidista von ad, bc, ab und dc, dann: dann:

∡bra = ∡drc = 90º

Isosceles Trapezbeziehungen mit einem registrierten Umfang

Wenn in einem isoskellischen Trapez die Summe der Basen gleich dem Doppel einer Seite ist, dann gibt es den registrierten Umfang.

Figur 4. Trapez mit registriertem Umfang. Quelle: f. Zapata.

Die folgenden Eigenschaften gelten, wenn das iSoskele Trapez einen registrierten Umfang hat (siehe Abbildung 4 oben):

16.- KL = ab = dc = (ad + bc)/2

17.- Die Diagonalen werden im rechten Winkel geschnitten: AC ⊥ Bd

18.- Die Höhe ist die gleiche wie der Median: hf = kl, dh h = m.

19.- Das Quadrat der Höhe entspricht dem Produkt der Basen: H² = BCoge

zwanzig.- Unter diesen spezifischen Bedingungen entspricht die Trapezfläche dem Quadrat der Höhe oder dem Produkt der Basen: Fläche = H² = BCoge.

Formeln, um eine Seite zu bestimmen, die die anderen und einen Winkel bekannt zu machen

Bekannt eine Basis, die Seite und ein Winkel, die andere Basis kann bestimmt werden durch:

a = b + 2c cos α

B = a - 2c cos α

Wenn die Länge der Basen als bekannt ist und ein Winkel bezeichnet wird, sind die Längen beider Seiten:

Es kann Ihnen dienen: Fermat Limit: Was besteht

C = (a - b) / (2 cos α)

Bestimmung auf der einen Seite, bekannt die anderen und eine Diagonale

A = (d₁² - C²)/ B;

B = (d₁² - C²)/ Zu 

C = √ (d₁² - Aoffe)

Wo d₁ Es ist die Länge der Diagonalen.

Basis von der Höhe, der Fläche und der anderen Basis

a = (2 a)/h - b

b = (2 a)/h - a

Bekannte die Basen, den Bereich und einen Winkel

C = (2a) /[(a + b) sin α]

Bekannt lateral der Median, der Bereich und ein Winkel

C = a / (m).Sünde α)

Bekannte Höhe die Seiten

H = √ [4 c² - (A - b)²]

Bekannte Höhe ein Winkel und zwei Seiten

H = tg αebook (a - b)/2 = c . Sünde α

Bekannte Diagonalen alle Seiten oder zwei Seiten und ein Winkel

D₁ = √ (c²+ a b)

D₁ = √ (a²+ C² - 2 a c cos α)

D₁ = √ (b² + C²- 2 B C cos β)

Isosceles Dreieck Umfang 

P = a + b + 2c

Isosceles Trapez

Es gibt verschiedene Formeln, um die Fläche abhängig von den bekannten Daten zu berechnen. Das Folgende ist je nach Basen und Höhe das bekannteste:

A = h≤ (a + b)/2

Und diese anderen können auch verwendet werden:

-Wenn die Seiten bekannt sind

A = [(a +b)/4] √ [4c² - (A - b)²]

-Wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel haben

A = (b + c cos α) c sen α = (a - c cos α) C sen α

-Wenn der Radius des registrierten Umfangs bekannt ist und ein Winkel

A = 4 r² / Sin α = 4 r² / Sin β

-Wenn die Basen und ein Winkel bekannt sind

A = a · B / sin α = aoffe / sen β 

-Wenn das Trapez ein Umfang registriert werden kann

A = c · (a · b) = m · (a · b) = rasierte (a + b)/2

-Bekannte die Diagonalen und den Winkel, die miteinander bilden

A = (d₁²/2) sen γ = (d₁² / 2) sen Δ 

-Wenn Sie die Seite, den Median und einen Winkel haben

A = MC.sin α = MC.Sen β

Umschriebener Umfangradio

Nur isceles Trapezoide haben einen umschriebenen Umfang. Wenn die Hauptbasis bekannt ist, ist die Seite C und die Diagonale d₁, Dann ist der Radius r des Umfangs, der durch die vier Scheitelpunkte des Trapezes fließt,:

R = a · cq₁ / 4√ [p (p -a) (p -C) (p -d₁)]

Wobei p = (a + c + d₁) / 2

Beispiele für die Verwendung des iSoskelen Trapezes

Das isoskellische Trapez auf dem Gebiet erscheint, wie in Abbildung 2 zu sehen ist. Und hier haben wir einige zusätzliche Beispiele:

In Architektur und Konstruktion

Die alten Inkas wussten das iSoskele Trapez und verwendeten es als Konstruktionselement in diesem Fenster von Cuzco, Peru:

Abbildung 5 . Fenster mit einer Trapez -Form der Coricancha, Cuzco. Quelle: Wikimedia Commons.

Und hier erscheint das Trapez im Anruf erneut Trapezblech, Ein häufig verwendetes Material in der Konstruktion:

Abbildung 6. Trapezoidales Metallblech schützt vorübergehend die Fenster eines Gebäudes. Quelle: Wikimedia Commons.

Im Design

Wir haben bereits gesehen, dass das isoskellische Trapez in alltäglichen Objekten auftritt, inklusive Lebensmittel wie diese Schokoladenbar:

Abbildung 7. Schokoladenbar, dessen Gesichter wie isoskeln geformt sind. Quelle: pxFuel.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Ein Isosceles -Trapez basiert als 9 cm, basieren. Berechnung:

Es kann Ihnen dienen: Allgemeine Parabola -Gleichung (Beispiele und Übungen)

a) Seite

b) Höhe

c) Umfang

d) Ärea

Abbildung 8. Schema für Übung 1. Quelle: f. Zapata

Lösung für

Die Höhe cp = h wird gezeichnet, wobei der Fuß der Höhe die Segmente definiert:

Pd = x = (a-b)/2 und 

Ap = a - x = a - a/2 + b/2 = (a + b)/2.

Durch den Pythagoras -Theorem zum DPC -Rechteckdreieck:

C² = h² + (A - b)² /4

Und auch zum APC -Rechteck -Dreieck:

D² = h² + AP² = h² + (A+b)² /4

Schließlich wird ein Mitglied subtrahiert, die zweite Gleichung des ersten und vereinfacht:

D² - C² = ¼ [(a+b)² - (A-b)²] = ¼ [(a+b+a-b) (a+b-a+b)]

D² - C² = ¼ [2a 2b] = a b

C²= d² - A b ⇒ c = √ (d² - a b) = √ (8² - 9 Planung = √37 = 6,08 cm

Lösung b

H² = d² - (A+b)² /4 = 8² - (12² / 2² ) = 8² - 6² = 28

H = 2 √7 = 5,29 cm

Lösung c

Umfang = A + B + 2 C = 9 + 3 + 2 Märatur 6,083 = 24,166 cm

Lösung d

Fläche = H (a+b)/2 = 5,29 (12)/2 = 31,74 cm

- Übung 2

Es gibt ein iskelles Trapezoid, dessen größte Basis doppelt so hoch ist und ihre kleinste Basis gleich der Höhe ist, was 6 cm ist. Bestimmen:

a) die Seite der Seite

b) Umfang

c) Bereich

d) Winkel

Abbildung 8. Schema für Übung 2. Quelle: f. Zapata

Lösung für

Daten: a = 12, b = a/2 = 6 und h = b = 6

Wir gehen auf diese Weise vor: Die Höhe H wird gezogen und der Pythagoras -Theorem wird auf das Hypotenuse -Dreieck "C" und Catetos H und X angewendet:

C² = h²+Xc²

Anschließend müssen Sie den Höhenwert aus den Daten (H = B) und dem Cateto X berechnen: 

a = b + 2 x ⇒ x = (a-b)/2

Ersetzen der vorherigen Ausdrücke, die Sie haben:

C² = b²+(A-b)²/2²

Jetzt werden numerische Werte eingeführt und vereinfacht:

C² = 62+ (12-6) 2/4

C² = 62 (1+¼) = 62 (5/4)

Erhalten:

C = 3√5 = 6,71 cm

Lösung b

Der Umfang P = A + B + 2 C

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Lösung c

Der Bereich basierend auf der Höhe und Länge der Basen ist:

A = h≤ (a + b)/2 = 600 (12 + 6)/2 = 54 cm²

Lösung d

Der Winkel α, der die Seite mit der Hauptbasis bildet, wird durch Trigonometrie erhalten:

Tan (α) = H / x = 6/3 = 2

α = Arctan (2) = 63,44º

Der andere Winkel, der die Seite mit der kleinen Base bildet, ist β, was ergänzend von α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Verweise

1. UND. ZU. 2003. Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
2. Campos, f. 2014. Mathematik 2. Patria Redaktionsgruppe.
3. Befreit, k. 2007. Entdecken Sie Polygone. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. 2013. Verallgemeinerte Polygone. Birkhäuser.
5. Iger. Mathematik Erstes Semester Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometrie. 2014. Polygone. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren & Hornsby. 2006. Mathematik: Argumentation und Anwendungen. 10.  Auflage. Pearson Ausbildung.
8. Patiño, m. 2006. Mathematik 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Geborgen von: ist.Wikipedia.com