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Rechteck Trapezeigenschaften, Beziehungen und Formeln, Beispiele

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Rechteck Trapezeigenschaften, Beziehungen und Formeln, Beispiele

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Ibrahim Steuk

A Rechteck Trapez Es ist eine flache Figur von vier Seiten, so dass zwei von ihnen parallel zueinander sind, genannt Basen Und auch eine der anderen Seiten ist senkrecht zu den Basen.

Aus diesem Grund sind zwei der inneren Winkel gerade, dh messen sie 90º. Daher der Name des "Rechtecks", der der Figur gegeben wird. Das folgende Bild eines Rechteck -Trapezes verdeutlicht diese Eigenschaften:

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Trapezelemente

Die Elemente des Trapezes sind:

-Basen

-Scheitelpunkte

-Höhe

-Innere Winkel

-Durchschnittliche Basis

-Diagonale

Wir werden diese Elemente mit Hilfe der Abbildungen 1 und 2 beschreiben:

Abbildung 1. Ein Rechteck Trapez, gekennzeichnet durch zwei innere Winkel von 90 °: A und B. Quelle: f. Zapata.

Die Seiten des Rechteck -Trapezes werden mit Kleinbuchstaben A, B, C und D bezeichnet. Die Ecken der Figur oder Scheitelpunkte Sie sind in Großbuchstaben angegeben. Endlich Innere Winkel Sie werden mit griechischen Buchstaben ausgedrückt.

Nach der Definition die Basen Von diesem Trapez sind die Seiten A und B, die wie beobachtet sind, parallel und auch unterschiedliche Länge aufweisen.

Die senkrechte Seite zu beiden Basen ist die Seite C links, das ist das Höhe H des Trapezes. Und schließlich gibt es Seite D, der den akuten Winkel α mit der Seite a bildet.

Die Summe von Innere Winkel eines Vierecks beträgt 360 °. Es ist leicht zu wissen, dass der fehlende Winkel C in der Abbildung 180 - α beträgt.

Der durchschnittliche Basis Es ist das Segment, das sich an den Mittelsitzen der nicht -parallelen Seiten verbindet (EF -Segment in Abbildung 2).

Figur 2. Die Elemente des Rechteck Trapezes. Quelle: f. Zapata.

Und schließlich gibt es die Diagonalen D₁ und d₂, Die Segmente, die die entgegengesetzten Eckpunkte vereinen und sich an Punkt O überschneiden (siehe Abbildung 2).

Beziehungen und Formeln

Höhe h des Trapezes

H = c

Umfang p

Es ist das Maß für die Kontur und wird durch Hinzufügen der Seiten berechnet:

Umfang = A + B + C + D

Die Seite D Es wird in Höhe oder Seite ausgedrückt C Durch den Pythagoras -Theorem:

D = √ (a-b)² + C²

Ersetzen im Umfang:

P = a + b + c + √ (a-b)² + C²

Durchschnittliche Basis

Es sind die Semi -Bedingungen der Basen:

Mittlere Basis = (a+b)/2

Manchmal wird die auf diese Weise ausgedrückte durchschnittliche Basis gefunden:

Medium Base = (Major Base + Minor Base) /2

Bereich

Bereich A des Trapezes ist das Produkt der durchschnittlichen Basis nach Höhe:

A = (Hauptbasis + Minor Base) x Höhe /2

A = (a+b) c/2

Diagonale, Seiten und Winkel

Mehrere Dreiecke erscheinen in Abbildung 2, sowohl Rechtecke als auch Nichtrectangles. Für diejenigen, die rechte Dreiecke sind, können sie vom Pythagoras -Theorem und denjenigen, die dies nicht tun, die Theoreme des Cosinus und der Brust angewendet werden.

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Auf diese Weise gibt es Beziehungen zwischen den Seiten und zwischen den Seiten und den inneren Winkeln des Trapezios.

CPA -Dreieck

Es ist Rechteck, seine Beine sind gleich und sie sind B wert, während die Hypotenuse die diagonale D ist₁, Deshalb:

D₁² = b² + B² = 2b²

DAB -Dreieck

Es ist auch Rechteck, die Beine sind Zu Und C (oder auch Zu Und H) Und die Hypotenuse ist D₂, so dass:

D₂² = a² + C²= a² + H²

CDA -Dreieck

Da dieses Dreieck kein Rechteck ist, wird der Cosinus -Theorem angewendet oder auch die Brust.

Nach dem Coseno -Theorem:

D₁² = a² + D² - 2ad cos α

CDP -Dreieck

Dieses Dreieck ist rechteckig und mit seinen Seiten werden die trigonometrischen Gründe des Winkels α gebaut:

sin α = h/d

cos α = pd/d

Aber die PD = A - B -Seite, deshalb:

cos α = (a -b) / d → a - b = d cos α

a = b + d cos α

Sie haben auch:

Tg α = sin α / cos α = h / (a-b) → H = Tg α (a-b)

CDB -Dreieck

In diesem Dreieck haben wir den Winkel, dessen Scheitelpunkt in C ist. Es ist in der Figur nicht markiert, aber zu Beginn stach es heraus, dass es 180 - α wert ist. Dieses Dreieck ist kein Rechteck, daher kann der Cosinus -Theorem oder der Brustsatz angewendet werden.

Nun kann leicht nachgewiesen werden::

Sen (180 - α) = sin α

cos (180 - α) = - cos α

Anwenden des Coseno -Theorems:

D₂² = d² + B²- 2DB COS (180 - α) = D² + B²+ 2DB COS α

Beispiele für Rechtecke

Die Trapücher und insbesondere die Rechtecke werden auf vielen Seiten gefunden und manchmal nicht immer greifbar. Hier haben wir mehrere Beispiele:

Trapecio als Designelement

Die geometrischen Figuren sind in der Architektur zahlreicher Gebäude, wie in dieser Kirche in New York, im Überfluss vorhanden, die eine Struktur in Form von Rechteck Trapez zeigt.

Auch die Trapezform ist häufig in der Gestaltung von Behältern, Behältern und Klingen (Klingen (Cutter oder genau), Blätter und im Grafikdesign.

Figur 3. Engel in einem Rechteck Trapez in einer Kirche in New York. Quelle: David Goehring durch Flickr.

Trapezwellengenerator

Elektrische Signale können nicht nur quadratisch, sinus oder dreieckig sein. Es gibt auch Trapezsignale, die in zahlreichen Schaltungen nützlich sind. In Abbildung 4 gibt es ein Trapezsignal, das aus zwei Rechtecken besteht. Zwischen ihnen bilden sie ein einzelnes isoskelles Trapez.

Kann Ihnen dienen: Divisors von 8: Was sind und eine einfache Erklärung

Figur 4. Ein Trapezsignal. Quelle: Wikimedia Commons.

In der numerischen Berechnung

Um das definierte Integral der Funktion F (x) zwischen A und B numerisch zu berechnen, wird die Trapezregel verwendet, um die Fläche unter dem Graphen von F (x) zu approximieren. In der folgenden Abbildung links nähert sich die integralen Ansätze mit einem einzelnen Rechteck Trapez.

Ein besserer Ansatz ist der der richtigen Abbildung mit mehreren Rechtecken.

Abbildung 5. Ein definiertes Integral zwischen A und B ist nichts anderes als die Fläche unter der Kurve F (x) zwischen diesen Werten. Ein Rechteck -Trapez kann als erster Ansatz für diesen Bereich dienen, aber je mehr Trapezoide verwendet werden, desto besser ist der Ansatz. Quelle: Wikimedia Commons.

Trapez -Laststrahl

Die Kräfte konzentrieren sich nicht immer auf einen einzigen Punkt, da die Körper, auf die sie handeln. Dies ist der Fall einer Brücke, durch die Fahrzeuge kontinuierlich zirkulieren, das Wasser eines Pools an den vertikalen Wänden desselben oder eines Daches, auf dem sich Wasser oder Schnee ansammelt.

Deshalb werden die Kräfte je nach Körper, auf den sie handeln, pro Einheit von Länge, Oberfläche oder Volumen verteilt.

Bei einem Strahl kann eine pro Längeneinheit verteilte Kraft verschiedene Verteilungen aufweisen, beispielsweise die von unten gezeigte Rechtecktrapez:

Abbildung 6. Ladungen auf einem Strahl. Quelle: Bedford, zu. Neunzehn sechsundneunzig. Statisch. Addison Wesley Inter -American.

In Wirklichkeit entsprechen nicht immer Verteilungen solchen regelmäßigen geometrischen Formen, aber sie können in vielen Fällen ein guter Ansatz sein.

Als Bildungs- und Lernwerkzeug

Blöcke und Blätter mit geometrischen Formen, einschließlich Trapezoiden, sind für Kinder sehr nützlich, um sich selbst in jungen Jahren mit der faszinierenden Welt der Geometrie vertraut zu machen.

Abbildung 7. Blöcke mit einfachen geometrischen Formen. Wie viele Rechtecke sind in den Blöcken versteckt? Quelle: Wikimedia Commons.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Im Rechteck Trapez in Abbildung 1 ist die größte Basis 50 cm wert und die kleinste Basis entspricht 30 cm. Es ist auch bekannt, dass die schräge Seite 35 cm misst. Finden:

A) Winkel α

b) Höhe

c) Umfang

d) mittlere Basis

e) Bereich

f) Diagonal

Lösung für

Die Anweisungsdaten werden auf diese Weise zusammengefasst:

A = höhere Basis = 50 cm

B = Minor Base = 30 cm

D = geneigte Seite = 35 cm

Kann Ihnen dienen: Grundlegende Operationen

Um den Winkel α zu finden, besuchen wir den Abschnitt "Formeln und Gleichungen. Der gesuchte Winkel findet sich in mehreren der analysierten Dreiecke, zum Beispiel der CDP.

Dort haben wir diese Formel, die das Unbekannte und auch die Daten enthält, die wir kennen:

cos α = (a-b) / d

Deshalb:

α = Bögen [(a-b) / d] = Bögen [(50-30) / 35] = Bögen 20/35 = 55.15 º

Lösung b

Aus der Gleichung:

sin α = h/d

H = d.Sünde α = 35 Sen 55.15 º cm = 28.72 cm

Lösung c

Der Umfang ist die Summe der Seiten, und da die Höhe gleich Seite C ist, müssen wir:

C = H = 28.72 cm

Deshalb:

P = (50 + 30 + 35 + 28.72) cm = 143.72 cm

Lösung d

Die durchschnittliche Basis sind die Halbkörper der Basen:

Mittlere Basis = (50 + 30 cm)/2 = 40 cm

Lösung e

Der Trapezbereich lautet:

A = durchschnittliche Basis x Höhe = 40 cm x 28.72 = 1148.8 cm².

Lösung f

Für die diagonale d₁ Diese Formel kann verwendet werden:

D₁² = b² + B² = 2b²

D₁²= 2 x (30 cm)² = 1800 cm²

D₁ = √1800 cm² = 42.42 cm

Und für die diagonale d₂:

D₂² = d² + B²+ 2DB COS α = (35 cm)² + (30 cm)² + 2 x 35 x 30 cm² Cos 55.15 º = 3325 cm²

D₂ = √ 3325 cm² = 57.66 cm

Dies ist nicht der einzige Weg, um D zu finden₂, Da gibt es auch das DAB -Dreieck.

- Übung 2

Das folgende Geschwindigkeitsdiagramm abhängig von einem Mobilgeräte, das eine gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung hat. Berechnen Sie die vom Mobiltelefon während des Zeitintervall zwischen 0 zurückgelegte Strecke.5 und 1.2 Sekunden.

Abbildung 8. Grafik gegen die Zeit eines Mobiltelefons mit einheitlich beschleunigter Rückbewegung. Quelle: Wikimedia Commons.

Lösung

Die vom Handy zurückgelegte Strecke entspricht dem Gebiet unter der Grafik, das durch das angegebene Zeitintervall abgegrenzt wird.

Abbildung 9. Die vom Handy zurückgelegte Strecke entspricht dem Gebiet unter der Grafik. Quelle: Modifiziert durch f. Zapata.

Der schattierte Bereich ist der Bereich eines Rechteck -Trapezes, das von: