Physikalische Trajektorieneigenschaften, Typen, Beispiele und Übungen

Der Flugbahn in der Physik Es ist die Kurve, die ein Mobilfunk beschreibt, wenn er während seiner Bewegung aufeinanderfolgende Punkte durchläuft. Da dies unzählige Varianten annehmen kann, werden sie auch die Trajektorien sein, denen das Mobilgeräte folgen kann.

Um von einem Ort zum anderen zu gehen, kann eine Person unterschiedliche Wege und unterschiedliche Wege aufnehmen: zu Fuß durch die Bürgersteige in Straßen und Wegen oder mit dem Auto oder Motorrad auf einer Autobahn ankommen. Während einer Fahrt durch den Wald kann der Wanderer einer komplizierten Flugbahn folgen, die Kurven beinhaltet, das Klettern oder Ab fallen und bis er mehrmals durch denselben Punkt vorbeikommt.

Abbildung 1. Verbinden der extremen Punkte jedes Positionsvektors Die Flugbahn, gefolgt vom Partikel, wird erhalten. Quelle: Algarabien [Public Domain]

Wenn die Punkte, durch die das Handy reist. Dies ist die einfachste Flugbahn, um eindimensional zu sein. Das Angeben der Position erfordert eine einzelne Koordinate.

Das Mobiltelefon kann jedoch einer Curvylbahn folgen, die geschlossen oder geöffnet werden kann. In diesen Fällen erfordert die Überwachung der Position zwei oder drei Koordinaten. Dies sind Bewegungen in der Ebene und in den Raum. Das hat mit Links: Begrenzende materielle Bedingungen der Bewegung. Einige Beispiele sind:

- Die Umlaufbahnen, die die Planeten rund um die Sonne beschreiben. Obwohl sie in einigen Fällen ein kreisförmiges approximieren können, wie im Fall der Erde.

- Der Ball, den der Torhüter in einem Torkick tritt, folgt einer parabolischen Flugbahn.

- Ein Flugvogel im Flug beschreibt kurvilineare Trajektorien im Weltraum, da er sich zusätzlich zu einer Ebene in einer Ebene bewegt, kann er nach Belieben steigen oder niedriger werden.

Die Physikbahn kann mathematisch ausgedrückt werden, wenn die mobile Position zu jeder Zeit bekannt ist. Sei R Der Positionsvektor, der wiederum Koordinaten hat X, Und Und z Im allgemeinsten Fall einer dreidimensionalen Bewegung. Die Funktion kennen R (T) Die Flugbahn wird vollständig bestimmt.

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Leute

Im Allgemeinen kann die Flugbahn eine ziemlich komplizierte Kurve sein, insbesondere wenn Sie mathematisch ausdrücken möchten. Daher beginnt es mit den einfachsten Modellen, bei denen Handys auf einer geraden Linie oder in einem Flugzeug reisen, was der Boden oder ein anderes geeignetes sein kann:

Bewegungen in einem, zwei und drei Dimensionen

Die am meisten untersuchten Flugbahnen sind:

- Geradlinig, Wenn Sie auf einer horizontalen, vertikalen oder geneigten Linie reisen. Ein Ball, der diese Flugbahn oder ein Objekt, das auch durch eine geneigte Ebene rutscht, vertikal nach oben geworfen wird. Sie sind eindimensionale Bewegungen, eine einzelne Koordinate reicht aus, um ihre Position vollständig zu bestimmen.

- Parabolisch, in dem das Handy einen Parabola -Bogen beschreibt. Es ist häufig, da jedes Objekt, das unter der Schwere der Schwerkraft (ein Projektil) schräg gestartet wird, dieser Flugbahn folgt. Um die mobile Position anzugeben, müssen Sie zwei Koordinaten angeben: X Und Und.

- Kreisförmig, tritt auf, wenn das sich bewegende Teilchen einem Umfang folgt. Es ist auch in der Natur und der täglichen Praxis üblich. Viele alltägliche Objekte folgen einer kreisförmigen Flugbahn wie Reifen, Maschinenstücken und Satelliten in der Umlaufbahn, um einige Beispiele zu geben.

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- Elliptisch, Das Objekt bewegt sich nach einer Ellipse. Wie am Anfang erwähnt, ist es die Flugbahn, die die Planeten in der Umlaufbahn um die Sonne folgen.

- Hyperbolisch, Astronomische Objekte unter der Wirkung einer zentralen Kraft (Schwerkraft) können elliptische (geschlossen) oder hyperbolische (offene) Trajektorien folgen, die seltener als die ersten sind.

- Helikal, o Spiralbewegung, wie die eines Vogels, der in einem thermischen Strom aufsteigt.

- Schwanken oder pendel, Das Handy beschreibt einen Bogen in Rundreisebewegungen.

Beispiele

Die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Flugbahnen sind sehr nützlich, um schnell eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Bewegungen eines Objekts sind. In jedem Fall muss klargestellt werden, dass die Flugbahn eines Handys vom Ort des Beobachters abhängt. Dies bedeutet, dass das gleiche Ereignis auf unterschiedliche Weise gesehen werden kann, je nachdem, wo sich jeder befindet.

Zum Beispiel ein Mädchen pedal mit konstanter Geschwindigkeit und wirft einen Ball hoch. Sie bemerkt, dass der Ball eine geradlinige Flugbahn beschreibt. 

Für einen Beobachter, der auf der Straße steht, die sie sieht, wird der Ball eine parabolische Bewegung haben. Für ihn wurde der Ball zunächst mit einer geneigten Geschwindigkeit geworfen, was das Ergebnis der Geschwindigkeit der Hand des Mädchens plus der Fahrradgeschwindigkeit entspricht.

Figur 2. Diese Animation zeigt den vertikalen Start eines Balls eines Mädchens, das mit dem Fahrrad fährt, wie sie sieht (geradlinige Flugbahn) und wie Sie einen Beobachter sehen (parabolische Flugbahn). (Vorbereitet von f. Zapata).

Flugbahn eines Mobilfunks auf explizite, implizite und parametrische Weise

- Explizit, direkte Angabe der Kurve oder der geometrischen Stelle, die durch die Gleichung angegeben ist und (x)

- Implizit, in der eine Kurve ausgedrückt wird als f (x, y, z) = 0

-Parametrisch, Auf diese Weise treten die Koordinaten von x und y z ab, abhängig von einem Parameter, der im Allgemeinen als Zeit ausgewählt wird T. In diesem Fall besteht die Flugbahn aus den Funktionen: x (t), und T) Und z (t).

Als nächstes sind zwei sehr untersuchte Flugbahnen in der Kinematik aufgeführt: die parabolische Flugbahn und die kreisförmige Flugbahn.

Start in einem Vakuum

Ein Objekt (das Projektil) wird geworfen und bildet einen Winkel A mit der horizontalen und mit einer anfänglichen Geschwindigkeit v_entweder Wie das Bild zeigt. Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt. Die Bewegung kann als zwei unabhängige und gleichzeitige Bewegungen behandelt werden: eine horizontale mit Konstante und eine andere vertikale Geschwindigkeit unter der Schwere der Schwerkraft.

x (t) = x_entweder +v_Ochse.T

und (t) = y_entweder +v_Oy.T -½g.T²

Diese Gleichungen sind Parametrische Gleichungen des Projektilstarts. Wie oben erläutert, haben sie gemeinsamen Parameter T, Was ist Zeit.

Im rechten Dreieck der Figur ist Folgendes zu sehen:

v_Ochse = v_entweder cos θ_Yo

v_Oy = v_entweder Sünde θ_Yo

Figur 3. Parabolische Flugbahn gefolgt von einem Projektil, das die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors zeigt. H ist die maximale und R -Höhe ist die maximale horizontale Reichweite. Quelle: Ayush12Gupta [CC BY-SA 4.0 (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0)]]

Durch das Ersetzen dieser Gleichungen, die den Startwinkel in den parametrischen Gleichungen enthalten, ist er:

Kann Ihnen dienen: Beugung des Klangs: Was ist, Beispiele, Anwendungen

x (t) = x_entweder +v_entweder cos θ_Yo.T

und (t) = y_entweder +v_entweder. Sünde θ_Yo.T -½g.T²

Parabolische Flugbahn Gleichung

Die explizite Gleichung der Trajektorie löscht T der Gleichung für x (t) und ersetzt in der Y (t) -Ab) Gleichung (t). Um die algebraische Arbeit zu erleichtern, kann angenommen werden, dass der Ursprung (0,0) am Startpunkt und auf diese Weise x liegt_entweder = y_entweder = 0.

Nach der Vereinfachung des Parameters "TEs wurde beseitigt und die verbleibende Gleichung ist und abhängig von x:

Dies ist die Flugbahngleichung in Explizite Form.

Kreisbahn

Eine kreisförmige Flugbahn ist gegeben durch:

(X - x_entweder)² + (und und_entweder)² = R²

Figur 4. Ein Teilchen bewegt sich in einer kreisförmigen Flugbahn in der Ebene. Quelle: Modifiziert durch f. Wikimedia Commons Schuh.

Hier x_entweder und und_entweder Sie repräsentieren das Zentrum des vom Mobiltelefons beschriebenen Umfangs und R ist der Radius desselben. P (x, y) ist ein Punkt der Flugbahn. Aus dem schattierten Rechteckdreieck (Abbildung 3) wird gewarnt, dass:

x = r. cos θ

y = r. Sünde θ

Der Parameter ist in diesem Fall der Sweep -Winkel θ, der als Winkelverschiebung bezeichnet wird. In dem speziellen Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit ω (Winkel pro Zeiteinheit) konstant ist, kann bestätigt werden, dass:

θ = θ_entweder + ΩT

Wo θ_entweder Es ist die anfängliche Winkelposition des Partikels, die auf:

θ = ωT

In diesem Fall kehrt die Zeit zu parametrischen Gleichungen zurück, wie z. B.:

x = r.cos ωT

y = r. Sünde ωT

Die Einheitenvektoren Yo Und J Sie sind sehr bequem, die Positionsfunktion eines Objekts zu schreiben R (T). Sie geben die Anweisungen auf der Achse an X und auf der Achse Und bzw. In seinen Begriffen ist die Position eines Teilchens, das eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung beschreibt,:

R (t) = r.cos ωT Yo + R. Sünde ωT J

Gelöste Übungen

Übung gelöst 1

Eine Kanone kann eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 200 m/s und einem Winkel von 40 ° in Bezug auf die Horizontale schießen. Wenn der Start in flachem Gelände durchgeführt wird und der Widerstand der Luft verachtet wird, finden Sie:

a) Die Flugbahngleichung und (x) ..

b) die parametrischen Gleichungen x (t) Und und T).

c) die horizontale Reichweite und die Zeit, die das Projektil in der Luft dauert.

d) die Höhe, auf der sich das Projektil befindet, wenn x = 12.000 m

Lösung für)

a) Um die Flugbahn zu finden, werden die in der Gleichung y (x) des vorhergehenden Abschnitts angegebenen Werte ersetzt:

und (x) = tg 40º. X - 9.8/(2 '400². cos²40º) X² ⇒  und (x) = 0.8391 x - 0.0000522x²

Lösung b)

b) Der Startpunkt wird am Ursprung des Koordinatensystems (0,0) ausgewählt:

x (t) = x_entweder +v_Ochse.T = 400'Cos 40º.T = 306.42. T.

und (t) = y_entweder +v_Oy.T -½g.T²= 400 'Sen 40º.T - 0.5 '9.8'T²= 257.12 t - 4.9.T²

Lösung c)

c) Um die Zeit zu finden, in der das Projektil in der Luft dauert, ist es fertig und (t) = 0, Der Start wird in flachem Gelände hergestellt:

Kann Ihnen dienen: Was ist relative und absolute Rauheit?

0 = 257.12.T - 4.9.T²

T = 257.12/4.9 s = 52.473 s

Der horizontale maximale Bereich ersetzt diesen Wert in x (t):

X_Max = 306.42'52.47 m = 16077.7 m

Eine andere Möglichkeit, x zu finden_Max In der Flugbahngleichung macht es direkt y = 0:

0 = 0.8391 x_Max - 0.0000522 x²_Max

x = 0.8391 /0.0000522 m = 16078.5m

Es gibt einen kleinen Unterschied aufgrund der Abrundung der Dezimalstellen.

D) Lösung

d) Um die Höhe zu kennen, wenn x = 12000 m ist, wird dieser Wert direkt in der Flugbahngleichung ersetzt:

und (12000) = 0.8391'12000 - 0.0000522'12000² M = 2552.4 m

Übung gelöst 2

Die Positionsfunktion eines Objekts ist gegeben durch:

R (t) = 3T Yo + (4 -5t²) J M

Finden:

a) Die Gleichung für die Flugbahn. Welche Kurve ist?

b) die Anfangsposition und die Position bei t = 2 s.

c) die nach t = 2 s durchgeführte Verschiebung.

Lösung

a) Die Positionsfunktion wurde in Bezug auf die Einheitsvektoren gegeben Yo Und J, das bestimmen jeweils die Adresse auf den Achsen X Und Und, Deshalb:

x (t) = 3t

und T) = 4 -5t²

Die Flugbahngleichung und (x) Er klärt T von x (t) und ersetzen und T):

T = x/3

und (x) = 4 -5. (x/3)² = 4 - 5x²/9 (Gleichnis)

b) Die anfängliche Position ist: R (2) = 4 J M ; Die Position in T = 2 s Ist R (2) = 6 Yo -16 J M

c) Vertreibung DR Es ist die Subtraktion der beiden Positionsvektoren:

ΔR = R (2) - R (2) = 6 Yo -16 J- 4 J = 6 Yo - zwanzig J M

Übung gelöst 3

Die Erde hat einen Radius r = 6300 km und es ist bekannt, dass die Drehzeit ihrer Bewegung um ihre Achse einen Tag beträgt. Finden:

a) Die Gleichung der Flugbahn eines Punktes auf der Erdoberfläche und ihrer Positionsfunktion.

b) die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes.

Lösung für)

a) Die Positionsfunktion für einen beliebigen Punkt in der kreisförmigen Umlaufbahn lautet:

R (t) = r.cos ωT Yo + R.Sünde ωT J

Sie haben den Radius der Erde r, aber nicht die Winkelgeschwindigkeit ω, er kann jedoch aus dem Zeitraum berechnet werden, da es für die kreisförmige Bewegung zu sagen ist, dass es zu sagen ist:

Ω = 2π × Frequenz = 2π / Zeitraum

Die Bewegungsdauer beträgt: 1 Tag = 24 Stunden = 1440 Minuten = 86400 Sekunden, deshalb:

Ω =  2π / 86400 s = 0.000023148 ​​s^-1

Ersetzen in der Positionsfunktion:

R (t) = r.cos ωT Yo + R. Sünde ωT J = 6300 (cos 0.000023148t Yo + Sünde 0.000023148t J) Km

Der Pfad in einer parametrischen Form lautet:

x (t) = 6300. cos 0.000023148t

und (t) = 6300. Sünde 0.000023148t

Lösung b)

b) für die kreisförmige Bewegung die Größe der linearen Geschwindigkeit v eines Punktes hängt mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen W durch:

v = ΩR = 0.000023148 ​​s^-1'6300 km = 0.1458 km/s = 145.8 m/s

Sogar eine ständige Bewegung von sein 145.8 m/s, Es gibt eine Beschleunigung, die auf die Mitte der kreisförmigen Umlaufbahn hinweist, und verantwortlich dafür, den Punkt in der Rotation zu halten. Es ist Zentripetalbeschleunigung Zu_C, gegeben durch:

Zu_C = v² / R = (145).8 m/s)² / 6300 × 10³ M = 0.00337 m/s².

Verweise

1. Giancoli, d. Physik. (2006). Prinzipien mit Anwendungen. 6^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, l. 2007. Physik: Ein Blick auf die Welt. 6^ta Abgekürzte Ausgabe. Cengage Lernen. 23 - 27.
3. Resnick, r. (1999). Physisch. Band 1. Dritte Ausgabe auf Spanisch. Mexiko. Kontinentaler Redaktionsgesellschaft s.ZU. von c.V. 21-22.
4. Rex, a. (2011). Grundlagen der Physik. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitätsphysik mit moderner Physik. 14^th. Ed. Band 1. 50 - 53.
6. Serway, r., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. 7^ma. Auflage. Mexiko. Cengage Learning Editoren. 23-25.
7. Serway, r., Vulle, c. (2011). Grundlagen der Physik. 9^{n / A} Ed. Cengage Lernen. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Physik 10. Pearson Ausbildung. 133 - 149.