Balacket -Dreieck -Eigenschaften, Eigenschaften, Formeln, Bereich

A gleichseitiges Dreieck Es ist ein Drei -Seiten -Polygon, wo alle gleich sind; Das heißt, sie haben die gleiche Maßnahme. Für dieses Merkmal erhielt es den Namen Gleichgewicht (gleiche Seiten).

Die Dreiecke sind Polygone, die als die einfachste in der Geometrie angesehen werden, da drei Seiten, drei Winkel und drei Eckpunkte gebildet werden. Im Falle des gleichseitigen Dreiecks für gleiche Seiten impliziert dies, dass auch seine drei Winkel sein werden.

Ein Beispiel für das gleichseitige Dreieck

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Eigenschaften der Gleichgewichtsdreiecke

- Gleiche Seiten

Die gleichseitigen Dreiecke sind flache und geschlossene Figuren und bestehen aus drei Linien von Linien. Die Dreiecke werden durch ihre Eigenschaften in Bezug auf ihre Seiten und Winkel klassifiziert; Das Gleichgewicht wurde unter Verwendung des Maßes ihrer Seiten als Parameter klassifiziert, da diese genau gleich sind, das heißt, sie sind kongruent.

Das gleichseitige Dreieck ist ein spezieller Fall des iosschenkänen Dreiecks, da zwei seiner Seiten kongruent sind. Deshalb sind alle gleichseitigen Dreiecke auch isoskeln.

Auf diese Weise haben die gleichseitigen Dreiecke die gleichen Eigenschaften eines isschenkeln.

Die gleichseitigen Dreiecke können auch durch die Amplitude ihrer inneren Winkel als gleichseitiges akutes Dreieck klassifiziert werden, das alle drei Seiten und drei inneren Winkel mit demselben Maß hat. Die Winkel werden akut sein, das heißt, sie werden weniger als 90 sein^entweder.

- Komponenten

Dreiecke haben im Allgemeinen mehrere Linien und Punkte, die es zusammenstellen. Sie werden verwendet, um die Fläche, die Seiten, die Winkel, den Median, die Halbierung, den Mediatrix und die Höhe zu berechnen.

• Der Median: Es ist eine Linie, die vom Mittelpunkt auf einer Seite verlässt und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt erreicht. Die drei Medien nehmen an einem Punkt namens Baricentro oder Centroid teil.
• Der Halbierende: Es ist ein Semi -Recht. Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Im gleichseitigen Dreieck wird der Halbierende aus dem Scheitelpunkt eines Winkels auf seine gegenüberliegende Seite gezogen, wodurch er in seinen Mittelpunkt geschnitten wird. Sie sind auf dem Vordergrund so genannt.
• Die Meditrix: Es ist ein Segment senkrecht zur Seite des Dreiecks, das in der Mitte davon stammt. Es gibt drei Mediatik in einem Dreieck und sie stimmen zu einem Punkt namens Circincentro zu.
• Die Höhe: Es ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur Seite entgegengesetzt ist, und auch diese Linie ist senkrecht zu dieser Seite. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt namens Ortotenter übereinstimmen.

Im folgenden Diagramm beobachten wir ein Skalen dreieck, in dem einige der oben genannten Komponenten detailliert sind

Wir können die Komponenten deutlich sehen, etwas, das im gleichseitigen Dreieck schwieriger ist, da einige zusammenfallen. Wir erklären sie unten:

Der Halbiersektor, der Median und Meditrix sind zufällig

Der Halbierektor unterteilt sich neben ein Dreieck in zwei Teile. In gleichseitigen Dreiecken wird diese Seite in zwei genau die gleichen Teile unterteilt, dh das Dreieck wird in zwei kongruente Rechtecke unterteilt.

Somit fällt der Halbiersektor aus einem beliebigen Winkel eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Median und dem Meditrix auf der gegenüberliegenden Seite zu diesem Winkel zusammen.

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Beispiel:

Die folgende Abbildung zeigt das ABC -Dreieck mit einem Mid D, das eine seiner Seiten in zwei Anzeigen- und BD -Segmente unterteilt.

Wenn Sie eine Linie von Punkt D zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt zeichnen, wird per Definition die Median -CD erhalten, die relativ zum Vertex C und zur Seite AB ist.

Wenn das CD -Segment das ABC -Dreieck in zwei gleiche CDB- und CDA -Dreiecke unterteilt.

Beim Zeichnen des CD -Segments ist der Scheitelpunktwinkel in zwei gleiche Winkel von 30 unterteilt^entweder, Der Winkel des Scheitelpunkts A misst weiterhin 60^entweder Und die CD -Linie bildet einen Winkel von 90^entweder In Bezug auf den Mittelpunkt D.

Das CD -Segment bildet Winkel, die für ADC- und BDC -Dreiecke das gleiche Maß haben, dh sie sind ergänzend so, dass das Maß für jedes ist:

Med. (Adb) + med. (ADC) = 180^entweder

2 _* Med. (ADC) = 180^entweder

Med. (ADC) = 180^entweder ÷ 2

Med. (ADC) = 90^entweder.

Und so ist das CD -Segment auch das Mediatrix auf der AB -Seite.

Der Halbierende und die Höhe sind zufällig

Wenn der Halbierende vom Scheitelpunkt eines Winkels bis zum Mittelpunkt der entgegengesetzten Seite verfolgt, unterteilt dies das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke.

So, dass ein Winkel von 90 gebildet wird^entweder (gerade). Dies zeigt an, dass dieses Liniensegment dieser Seite völlig senkrecht ist, und per Definition wäre diese Linie die Höhe.

Auf diese Weise fällt der Halbierende eines beliebigen Winkels eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe relativ zur gegenüberliegenden Seite dieses Winkels zusammen.

Orocentro, Baricentro, Incentro und Colecentro Coinside

Da die Höhe, Median, Halbier und Meditrix gleichzeitig durch das gleiche Segment dargestellt werden, in einem gleichseitigen Dreieck sind die Treffpunkte dieser Segmente -die Orthocenter, Baricenter, Anreiz und Beschneidung -am selben Punkt gefunden:

Eigenschaften

Die Haupteigenschaft der gleichseitigen Dreiecke ist, dass sie immer iskelische Dreiecke sein werden.

Auf diese Weise erbte die gleichseitigen Dreiecke alle Eigenschaften des iSceles -Dreiecks:

Innere Winkel

Die Summe der inneren Winkel entspricht immer 180^entweder, Und da alle seine Winkel kongruent sind, misst jede dieser diese 60^entweder.

Externe Winkel

Die Summe der externen Winkel ist immer gleich 360 entspricht^entweder, Daher misst jeder externe Winkel 120^entweder. Das liegt daran^entweder.

Summe der Seiten

Die Summe der Maßnahmen von zwei Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, dh A + b> c, wobei a, b und c die Messungen auf jeder Seite sind.

Kongruente Seite

Die gleichseitigen Dreiecke haben ihre drei Seiten mit der gleichen Messung oder Länge; Das heißt, sie sind kongruent. Daher müssen Sie im vorherigen Artikel = b = c.

Kongruente Winkel

Die gleichseitigen Dreiecke sind auch als gleichberechtigte Dreiecke bekannt, da ihre drei inneren Winkel miteinander übereinstimmen. Dies liegt daran, dass alle ihre Seiten auch die gleiche Maßnahme haben.

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Wie man den Umfang berechnet?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet. Wie in diesem Fall hat das gleichseitige Dreieck alle seine Seiten mit gleichem Maß, sein Umfang wird mit der folgenden Formel berechnet:

P = 3 _* Seite.

Wie man die Höhe berechnet?

Da die Höhe die Linie senkrecht zur Basis ist, teilen Sie sie in zwei gleiche Teile, indem Sie sich bis zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt erstrecken. Somit werden zwei Dreiecke gleiche Rechtecke gebildet.

Die Höhe (h) repräsentiert den entgegengesetzten Kateto (a), die Hälfte der Wechselstromseite zum angrenzenden Kateto (b) und die BC -Seite repräsentiert die Hypotenuse (c).

Mit dem Pythagoras -Theorem kann der Wert der Höhe bestimmt werden:

Zu² + B² = c²

Wo:

Zu² = Höhe (h).

B² = Seite B / 2.

C² = Seite a.

Ersetzen Sie diese Werte im Pythagoras -Theorem und klären Sie die Höhe, die Sie haben:

H² + ( l / 2)² = l²

H² +  l²/ 4 = l²

H² = l²  -  l²/ 4

H² = (4_*l² -  l²) / 4

H² =  3_*l² /4

√H² = √ (3_*l² /4)

Wenn der von den kongruente Seiten gebildete Winkel, die Höhe (dargestellt durch ein Bein), kann er berechnet werden, indem die trigonometrischen Gründe angewendet werden.

Die Kategorien werden je nach Winkel, der als Referenz genommen wird, entgegengesetzt oder benachbart bezeichnet.

In der vorherigen Abbildung wird beispielsweise der Kateto H für Winkel C entgegengesetzt, aber neben dem Winkel B:

Somit kann die Höhe berechnet werden mit:

Wie man die Seiten berechnet?

Es gibt Fälle, in denen die Messungen der Dreieckseiten nicht bekannt sind, sondern ihre Höhe und die Winkel, die in den Eckpunkten gebildet werden.

Um den Bereich in diesen Fällen zu bestimmen, müssen trigonometrische Gründe angewendet werden.

Wenn Sie den Winkel eines seiner Eckpunkte kennen, wird die Kategorie identifiziert und der entsprechende trigonometrische Grund verwendet:

So wird der Kateto AB gegen Winkel C entgegengesetzt, aber neben dem Winkel a. Abhängig von der Seite oder dem Bein, der der Höhe entspricht, wird die andere Seite gelöscht, um den Wert davon zu erhalten.

Wie man die Fläche berechnet?

Die Dreiecke werden immer mit derselben Formel berechnet, die Basis mit der Höhe multiplizieren und sich um zwei Teilen teilen:

Bereich = (b) _* H) ÷ 2

Zu wissen, dass die Höhe durch die Formel angegeben ist:

Übungen

- Erste Übung

Die Seiten eines äquilateralen ABC -Dreiecks messen jeweils 20 cm. Berechnen Sie die Höhe und Fläche dieses Polygons.

Lösung

Um die Fläche dieses gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen.

Auf diese Weise können Sie den Pythagoras -Theorem verwenden, um es zu finden:

Zu² + B² = c²

Wo:

A = 20/2 = 10 cm.

B = Höhe.

C = 20 cm.

Die Daten werden im Satz ersetzt:

10² + B² = 20²

100 cm + B² = 400 cm

B² = (400 - 100) cm

B² = 300 cm

B = √300 cm

B = 17,32 cm.

Das heißt, die Höhe des Dreiecks beträgt 17,32 cm. Jetzt ist es möglich, den angegebenen Dreieckbereich zu berechnen, indem die Formel ersetzt wird:

Bereich = (b) _* H) ÷ 2

Fläche = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

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Fläche = 346,40 cm² ÷ 2

Fläche = 173,20 cm².

Eine weitere einfachere Möglichkeit, die Übung zu lösen, besteht darin, die Daten in der direkten Formel des Gebiets zu ersetzen, wobei der Wert der Höhe implizit festgestellt wird:

- Zweite Übung

In einem Feld, das die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat, werden Blumen pflanzen. Wenn der Umfang dieses Geländes 450 m entspricht, berechnen Sie die Anzahl der Meter, die die Blüten besetzten.

Lösung

Da der Umfang eines Dreiecks der Summe seiner drei Seiten entspricht und das Gelände wie ein gleichseitiges Dreieck geformt ist, haben die drei Seiten dieselbe Maß oder Länge:

P = Seite + Seite + Seite = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

L = 450 m ÷ 3

L = 150 m.

Jetzt ist es nur notwendig, die Höhe dieses Dreiecks zu berechnen.

Die Höhe unterteilt das Dreieck in zwei kongruente Rechtecke Dreiecke, wobei eine der Kategorien die Höhe und die andere Hälfte der Basis darstellt. Durch den Pythagoras -Theorem kann die Höhe bestimmt werden:

Zu² + B² = c²

Wo:

Zu = 150 m ÷ 2 = 75 m.

C = 150 m.

B = Höhe

Die Daten werden im Satz ersetzt:

(75 m)² + B² = (150 m)²

5.625 m + B² = 22.500 m

B² = 22.500 m - 5.625 m

B² = 16.875 m

B = √16.875 m

B = 129,90 m.

So wird der Bereich, den Blumen besetzen, sein wird:

Fläche = B * H ÷ 2

Fläche = (150 m) _* 129,9 m) ÷ 2

Gebiet = (19.485 m²) ÷ 2

Bereich = 9.742,5 m²

- Dritte Übung

Das ABC -Gleichgewichtsdreieck ist durch ein Liniensegment geteilt, das von seinem Scheitelpunkt C zum Mittelpunkt D auf der gegenüberliegenden Seite (AB) geht (AB). Dieses Segment misst 62 Meter. Berechnen Sie die Fläche und den Umfang dieses gleichseitigen Dreiecks.

Lösung

Da das gleichseitige Dreieck durch ein Liniensegment geteilt wird, das der Höhe entspricht und somit zwei kongruente Rechtecke bildet, unterteilt dies wiederum auch den Winkel des Scheitelpunkts C in zwei Winkel mit demselben Maß, 30, 30^entweder jede.

Die Höhe bildet einen Winkel von 90^entweder In Bezug auf Segment AB und den Winkel des Scheitelpunkts, um dann 60 zu messen^entweder.

Dann den Winkel von 30 als Referenz verwenden^entweder, Die CD -Höhe wird als Kateto neben dem Winkel und BC als Hypotenusa festgelegt.

Aus diesen Daten kann der Wert eines der Seiten des Dreiecks unter Verwendung der trigonometrischen Gründe ermittelt werden:

Wie im gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten genau das gleiche Maß oder die gleiche Länge, dass jede Seite des äquilateralen ABC -Dreiecks 71,6 Meter entspricht. Wenn Sie das wissen, ist es möglich, Ihren Bereich zu bestimmen:

Fläche = B * H ÷ 2

Bereich = (71,6 m) _* 62 m) ÷ 2

Bereich = 4.438,6 m² ÷ 2

Bereich = 2.219,3 m²

Der Umfang wird durch die Summe seiner drei Seiten gegeben:

P = Seite + Seite + Seite = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Verweise

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