Ungleichseitiges Dreieck

Das Scalenle -Dreieck hat alle seine ungleichen Seiten

Was ist ein Skalendreieck??

A ungleichseitiges Dreieck Es ist ein Drei -Seiten -Polygon, bei dem jeder unterschiedliche Maßnahmen oder Längen hat; Aus diesem Grund erhielt es den Namen Escaleno, was in lateinischer Bedeutung ungleich bedeutet.

Die Dreiecke sind Polygone, die als die einfachste in der Geometrie angesehen werden, da drei Seiten, drei Winkel und drei Eckpunkte gebildet werden. Im Falle des Skalen dreiecks für alle verschiedenen Seiten impliziert dies, dass seine drei Winkel auch sein werden.

Skalieren von Dreieckseigenschaften

Skalierungsdreiecke sind einfache Polygone, da keiner seiner Seiten oder Winkel das gleiche Maß aufweist, im Gegensatz zu den Isosceles und Gleichgewichtsdreiecken.

Da alle ihre Seiten und Winkel unterschiedliche Maßnahmen haben, gelten diese Dreiecke als unregelmäßige konvexe Polygone.

Nach der Amplitude der inneren Winkel werden Skalendreiecke als:

• Skalen -Rechteck -Dreieck: Alle seine Seiten sind unterschiedlich. Einer seiner Winkel ist gerade (90^entweder) und die anderen sind akut und mit unterschiedlichen Maßnahmen.
• Scalene Obtuse Dreieck: Alle seine Seiten sind unterschiedlich und einer seiner Winkel ist stumpf (> 90^entweder).
• Skalen -Acutangle -Dreieck: Alle seine Seiten sind unterschiedlich. Alle seine Winkel sind akut (< 90^entweder) Mit unterschiedlichen Maßnahmen.

Ein weiteres Merkmal der Skalendreiecke ist die aufgrund der Inkonsistene.

Komponenten/Elemente

Der Median

Es ist eine Linie, die vom Mittelpunkt auf einer Seite verlässt und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt erreicht. Die drei Medien nehmen an einem Punkt namens Baricentro oder Centroid teil.

Der Halbierende

Es ist ein Semi -Recht, das jeden Winkel in zwei gleichen Winkel unterteilt. Die Bisektoren eines Dreiecks stimmen in Bezug auf den Anreiz zu.

Die Meditrix

Es ist ein Segment senkrecht zur Seite des Dreiecks, das in der Mitte davon stammt. Es gibt drei Medien in einem Dreieck und besucht an einem Punkt namens Circincentro.

Die Höhe 

Es ist die Linie, die vom Scheitelpunkt auf die gegenüberliegende Seite führt, und auch diese Linie ist senkrecht zu dieser Seite. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt namens Ortotenter übereinstimmen.

Eigenschaften der Escaleno

Skalendreiecke werden definiert oder identifiziert, weil sie mehrere Eigenschaften haben, die sie darstellen, die aus den von großen Mathematikern vorgeschlagenen Theoreme stammen. Sie sind:

Innere Winkel

Die Summe der inneren Winkel entspricht immer 180^entweder.

Summe der Seiten

Die Summe der Maßnahmen von zwei Seiten sollte immer größer sein als das Maß der dritten Seite, a + b> c.

Unpassende Seiten

Alle Seiten der Kletterdreiecke haben unterschiedliche Maßnahmen oder Längen; das heißt, sie sind unpassend.

Unpassende Winkel

Da alle Seiten des Scalenle -Dreiecks unterschiedlich sind, werden auch seine Winkel sein. Die Summe der inneren Winkel ist jedoch immer gleich 180 ° und in einigen Fällen kann einer seiner Winkel stumpf oder gerade sein, während in anderen Fällen alle seine Winkel akut sein werden.

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Größe, Median, Meditrix und Halbierende sind nicht zufällig

Wie jedes Dreieck hat Escaleno verschiedene Zeilenlinien, die es zusammenstellen, wie z.

Aufgrund der Besonderheit seiner Seiten fällt in dieser Art von Dreieck keine dieser Linien in einem einzigen zusammen.

Orocentro, Baricentro, Incentro und Circumcentro sind nicht zufällig

Wie bei der Höhe werden Median, Halbierende und Meditrix durch verschiedene Liniensegmente dargestellt, und in einem Skalen -Dreieck werden die Treffpunkte -die Orthocenter, den Incentre und der Circentro Baricenter -werden an verschiedenen Punkten gefunden (dh nicht zusammenfallen).

Je nachdem, ob das Dreieck Akutangle, Rechteck oder stumpf ist, hat das Orthocenter unterschiedliche Orte:

Zu. Wenn das Dreieck Akutangle ist, befindet sich das Orthocenter im Dreieck.

B. Wenn das Dreieck rechteck ist, fällt das Orthocenter mit dem Scheitelpunkt auf der geraden Seite zusammen.

C. Wenn das Dreieck stumpf ist, befindet sich das Ootocenter außerhalb des Dreiecks.

Relative Höhen

Die Höhen sind relativ zu den Seiten.

Im Falle des Skalen dreiecks haben diese Höhen unterschiedliche Maßnahmen. Jedes Dreieck hat drei relative Höhen und um sie zu berechnen, wird die Herón -Formel verwendet.

Umfangsberechnung, Fläche, Höhe und Seiten

Wie man den Umfang berechnet?

Der Umfang eines Polygons wird durch die Summe der Seiten berechnet.

Wie in diesem Fall hat das Scalene -Dreieck alle seine Seiten mit einer anderen Messung, sein Umfang wird:

P = Seite zu + Seite B + Seite C.

Wie man die Fläche berechnet?

Die Dreiecke werden immer mit derselben Formel berechnet, die Basis mit der Höhe multiplizieren und sich um zwei Teilen teilen:

Bereich = (Basis _* H) ÷ 2

In einigen Fällen ist die Höhe des Skalendreiecks nicht bekannt, aber es gibt eine Formel, die vom Mathematiker Herón vorgeschlagen wurde, um den Bereich zu berechnen, der das Maß der drei Seiten eines Dreiecks kennt.

Wo:

• A, B und C repräsentieren die Seiten des Dreiecks.
• SP entspricht dem Semi -Perimeter des Dreiecks, dh der Hälfte des Umfangs:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Für den Fall, dass nur zwei der Seiten des Dreiecks und der zwischen ihnen gebildete Winkel angezeigt werden, kann die Fläche berechnet werden, indem die trigonometrischen Gründe angewendet werden. So musst du:

Bereich = (Seite _* H) ÷ 2

Wobei die Höhe (h) das Produkt auf einer Seite durch den gegenüberliegenden Winkel ist. Zum Beispiel wird für jede Seite der Bereich sein:

• Bereich = (b) _* C _* Sünde a) ÷ 2
• Bereich = (a _* C _* Sünde b) ÷ 2.
• Bereich = (a _* B _* Sen c) ÷ 2

Wie man die Höhe berechnet?

Wie alle Seiten des Skalendreiecks sind sie unterschiedlich, es ist nicht möglich, die Höhe mit dem Pythagoras -Theorem zu berechnen.

Aus der Herón -Formel, die auf den Maßnahmen der drei Seiten eines Dreiecks basiert, kann die Fläche berechnet werden.

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Die Höhe kann aus der allgemeinen Formel des Bereichs klar sein:

Formel zur Berechnung der Höhe eines Skalnendreiecks

Die Seite wird durch das Maß von Seite A, B oder C ersetzt.

Eine andere Möglichkeit, die Höhe zu berechnen, wenn der Wert eines der Winkel bekannt ist.

Wenn beispielsweise der entgegengesetzte Winkel der Höhe bekannt ist, wird er von der Brust bestimmt:

Trigonometrische Formel zur Berechnung der Höhe eines Skalenecks

Wie man die Seiten berechnet?

Wenn Sie das Maß von zwei Seiten und dem Winkel gegen diese haben, ist es möglich, die dritte Seite zu bestimmen, die den Cosenos -Theorem anwendet.

Zum Beispiel wird in einem AB -Dreieck die Höhe relativ zum Wechselstromsegment gezeichnet. Auf diese Weise ist das Dreieck in zwei Rechteck -Dreiecke unterteilt.

Aufteilung eines Skalendreiecks in zwei Rechtecke, um die Seiten zu berechnen

Zur Berechnung der Seite C (Segment AB) wird der Pythagoras -Theorem für jedes Dreieck angewendet:

• Für das blaue Dreieck müssen Sie:

C² = h² + M²

Als m = b - n wird es ersetzt:

C² = h² + B² (B - n)²

C² = h² + B² - 2Bn + N².

• Für das rosa Dreieck müssen Sie:

H² = a² - N²

Es wird in der vorherigen Gleichung ersetzt:

C² = a² - N² + B² - 2Bn + N²

C² = a² + B² - 2Bn.

Zu wissen, dass n = a _* cos c, wird in der vorherigen Gleichung ersetzt und der Wert von Seite C wird erhalten:

C² = a² + B² - 2B_* Zu _* cos c.

Nach dem Gesetz von Cosenos können die Seiten berechnet werden als:

• Zu² = b² + C² - 2B_* C _* Sachen.
• B² = a² + C² - 2_* C _* cos b.
• C² = a² + B² - 2B_* Zu _* cos c.

Es gibt Fälle, in denen die Messungen der Dreieckseiten nicht bekannt sind, sondern ihre Höhe und die Winkel, die in den Eckpunkten gebildet werden. Um den Bereich in diesen Fällen zu bestimmen, müssen trigonometrische Gründe angewendet werden.

Wenn Sie den Winkel eines seiner Eckpunkte kennen, wird die Kategorie identifiziert und der entsprechende trigonometrische Grund verwendet:

Trigonometrische Formel zur Berechnung der Seiten eines Skalenecks

Zum Beispiel ist der Kateto AB für Winkel C entgegengesetzt, aber neben dem Winkel a. Je nach Seite oder Bein, die der Höhe entspricht, wird die andere Seite gelöscht, um den Wert davon zu erhalten.

Gelöste Übungen

Erste Übung

Berechnen Sie die Fläche und eine Höhe des Escalano ABC -Dreiecks und wissen, dass seine Seiten sind:

A = 8 cm.

B = 12 cm.

C = 16 cm.

Lösung

Da werden die Daten die Messungen der drei Seiten des Scalenle -Dreiecks angegeben.

Da Sie nicht den Wert der Höhe haben, kann der Bereich durch Anwenden der Herón -Formel bestimmt werden.

Zunächst wird der Semi -Perimeter berechnet:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

SP = 36 cm ÷ 2

SP = 18 cm.

Jetzt werden die Werte in Heróns Formel ersetzt:

Kann Ihnen dienen: absolute Frequenz: Formel, Berechnung, Verteilung, Beispiel Herón -Formel

Zu wissen, dass die Fläche die relative Höhe zu Seite B berechnet werden kann. Aus der allgemeinen Formel, die Sie räumen, haben Sie:

Bereich = (Seite _* H) ÷ 2

46, 47 cm² = (12 cm _* H) ÷ 2

H = (2 _* 46,47 cm²) ÷ 12 cm

H = 92,94 cm² ÷ 12 cm

H = 7,75 cm.

Zweite Übung

Angesichts des ABC Escalano -Dreiecks, dessen Maßnahmen sind:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

In Scheitelpunkt B wird ein Winkel von 50º gebildet. Berechnen Sie die Höhe relativ zu Seite C, Umfang und Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall gibt es zwei Maßnahmen. Um die Höhe zu bestimmen, muss das Maß der dritten Seite berechnet werden.

Da der entgegengesetzte Winkel den angegebenen Seiten gegeben ist, ist es möglich, das Gesetz von Cosenos anzuwenden, um das Maß der Wechselstrom (b) Seite zu bestimmen:

B² = a² + C² - 2_*C _* cos b

Wo:

A = bc = 15 m.

C = ab = 25 m.

B = AC.

B = 50^entweder.

Die Daten werden ersetzt:

B² = (15)² + (25)² - 2_*(fünfzehn)_*(25) _* cos 50

B² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

B² = (225) + (625) - (482.025)

B² = 367.985

B = √367,985

B = 19,18 m.

Da Sie bereits den Wert der drei Seiten haben, wird der Umfang dieses Dreiecks berechnet:

P = Seite zu + Seite B + Seite C

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Es ist nun möglich, den Bereich zu bestimmen, indem die Herón -Formel angewendet wird, aber zuerst muss der Semi -Perimeter berechnet werden:

SP = P ÷ 2

SP = 59,18 m ÷ 2

SP = 29,59 m.

Die Maßnahmen der Seiten und des Semi -Perimeters in der Herón -Formel werden ersetzt:

Schließlich kann die relative Höhe auf Seite C berechnet werden. Aus der allgemeinen Formel, die Sie beseitigen müssen, müssen Sie:

Bereich = (Seite _* H) ÷ 2

143,63 m² = (25 m _* H) ÷ 2

H = (2 _* 143,63 m²) ÷ 25 m

H = 287,3 m² ÷ 25 m

H = 11,5 m.

Dritte Übung

Im Escaleno ABC -Dreieck misst die B -Seite 40 cm, die C -Seite misst 22 cm und im Scheitelpunkt A ist ein Winkel von 90^entweder. Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall werden die Maße von zwei Seiten des ABC -Skala -Dreiecks sowie der Winkel angegeben, der im Scheitelpunkt gebildet wird.

Um den Bereich zu bestimmen, ist es nicht erforderlich, das Maß von Seite A zu berechnen, da der Winkel durch trigonometrische Gründe verwendet wird, um ihn zu finden.

Da der entgegengesetzte Winkel der Höhe bekannt ist, wird dies durch das Produkt auf einer Seite und die Brust des Winkels bestimmt.

Ersetzen in der Gebietsformel, die Sie müssen:

• Bereich = (Seite _* H) ÷ 2
• H = c _* Sünde a

Bereich = (b) _* C _* Sünde a) ÷ 2

Fläche = (40 cm _* 22 cm _* Sen 90) ÷ 2

Fläche = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Fläche = 880 cm² ÷ 2

Fläche = 440 cm².

Verweise

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