Dreiecksgeschichte, Elemente, Klassifizierung, Eigenschaften

Der Dreiecke Sie sind flache und geschlossene geometrische Figuren, die aus drei Seiten bestehen. Ein Dreieck wird durch drei Linien bestimmt, die zwei bis zwei geschnitten werden und miteinander drei Winkel bilden. Die dreieckige Form, voller Symbolik, ist in unzähligen Objekten und als Konstruktionselement vorhanden.

Der Ursprung des Dreiecks geht in der Geschichte verloren. Aus archäologischen Beweisen ist bekannt, dass die primitive Menschheit ihn gut kannte, da archäologische Überreste bestätigen, dass er in Werkzeugen und Waffen eingesetzt wurde.

Abbildung 1. Dreiecke. Quelle: Public Domainpartures.

Es ist auch offensichtlich, dass die alten Ägypter eine solide Kenntnis der Geometrie und insbesondere über die dreieckige Form hatten. Sie wurden in den architektonischen Elementen ihrer monumentalen Konstruktionen verkörpert.

Im Rhind Papyrus gibt es Formeln zur Berechnung von Dreiecken und Trapezgebieten sowie einige Bände und andere Konzepte der rudimentären Trigonometrie.

Andererseits ist bekannt, dass die Babylonier den Bereich des Dreiecks und anderer geometrischer Figuren berechnen konnten, die sie für praktische Zwecke wie die Abteilungen des Landes verwendeten. Sie waren sich auch vieler Eigenschaften von Dreiecken bewusst.

Es waren jedoch die alten Griechen, die heute viele der häufigen geometrischen Konzepte systematisierten, obwohl ein Großteil dieses Wissens nicht exklusiv war, da es sicherlich mit diesen anderen alten Zivilisationen geteilt wurde.

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Elemente des Dreiecks

Die Elemente eines Dreiecks sind in der folgenden Abbildung angegeben. Es gibt drei: Eckpunkte, Seiten und Winkel.

Figur 2. Notation von Dreiecken und ihren Elementen. Quelle: Wikimedia Commons, modifiziert durch f. Zapata

-Scheitelpunkte: Dies sind die Schnittpunkte der Linien, deren Segmente das Dreieck bestimmen. In der oberen Abbildung beispielsweise die Linie l_AC das das Wechselstromsegment enthält, kreuzt die Linie l_Ab das enthält Segment AB genau an Punkt a.

-Seiten: Zwischen jedem paar Eckpunkte wird ein Liniensegment gezeichnet, das eine Seite des Dreiecks darstellt. Dieses Segment kann mit den Buchstaben der Enden oder mit einem bestimmten Buchstaben bezeichnet werden, um es aufzurufen. Im Beispiel von Abbildung 2 wird die AB -Seite auch als "C" bezeichnet.

-Winkel: Zwischen jeder Seite mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt entsteht ein Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem des Dreiecks zusammenfällt. Der Winkel wird im Allgemeinen mit einem griechischen Buchstaben bezeichnet, wie am Anfang angegeben.

Um ein bestimmtes Dreieck mit einer bestimmten Form und Größe zu erstellen, haben Sie nur einige der folgenden Datensätze:

-Die drei Seiten, ziemlich offensichtlich im Fall eines Dreiecks.

-Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, und die verbleibende Seite wird sofort gezeichnet.

-Zwei Winkel (intern) und die Seite zwischen ihnen. Als Erweiterung werden die beiden fehlenden Seiten gezogen und das Dreieck ist bereit.

Notation

Im Allgemeinen werden in der Notation von Dreiecken die folgenden Konventionen verwendet: Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben, den Seiten mit winzigen lateinischen Buchstaben und den Winkeln nach griechischen Buchstaben angezeigt (siehe Abbildung 2).

Auf diese Weise wird das Dreieck nach seinen Eckpunkten benannt. Zum Beispiel ist das Dreieck links in Abbildung 2 das ABC -Dreieck, und das rechts ist das Dreieck a'b'c ''.

Es ist auch möglich, andere Notationen zu verwenden. Zum Beispiel wird Winkel α in Abbildung 2 als BAC bezeichnet. Beachten Sie, dass der Buchstabe des Scheitelpunkts in die Mitte geht und die Buchstaben in die entgegengesetzte Richtung zu den Taktnadeln geschrieben sind.

Es kann Ihnen dienen: Abgrenzung des Problems

In anderen Fällen wird ein Circumflex -Akzent angegeben, um den Winkel zu bezeichnen:

Oder das Symbol ille wird verwendet, da die vorherige Notation im Druck möglicherweise nicht einfach ist, gefolgt von dem Buchstaben, der dem Scheitelpunkt entspricht:

α = test

Arten von Dreiecken

Es gibt mehrere Dreiecksklassifizierungskriterien. Am üblichsten ist es, sie nach dem Maß ihrer Seiten oder nach dem Maß ihrer Winkel zu klassifizieren. Abhängig vom Maß ihrer Seiten können die Dreiecke sein: Scalene, Isosceles oder Gleichgewicht:

-Skalene: Die drei Seiten sind unterschiedlich.

-Isosceles: Es hat zwei verschiedene Seiten und eine.

-Gleichgewicht: Die drei Seiten sind gleich.

Figur 3. Klassifizierung von Dreiecken an ihren Seiten. Quelle: f. Zapata

Nach dem Maß ihrer Winkel werden die Dreiecke so genannt:

-Stumpf, Wenn einer der inneren Winkel größer als 90 ° ist.

-Akutangle, Wenn die drei inneren Winkel des Dreiecks akut sind, dh weniger als 90 °

-Rechteck, Für den Fall, dass einer seiner inneren Winkel 90 ° wert ist. Die Seiten, die 90º bilden.

Figur 4. Klassifizierung von Dreiecken durch ihre inneren Winkel. Quelle: f. Zapata.

Kongruenz der Dreiecke

Wenn zwei Dreiecke die gleiche Form haben und gleich groß sind, wird gesagt, dass sie kongruent sind. Natürlich hängt die Kongruenz mit Gleichheit zusammen. Warum, warum wir in der Geometrie also über "zwei kongruente Dreiecke" anstelle von "zwei gleichen Dreiecken" sprechen, sprechen wir also in der Geometrie?

Nun, es wird bevorzugt, den Begriff "Kongruenz" zu verwenden, um sich an die Wahrheit zu halten, da zwei Dreiecke die gleiche Form und Größe haben können, aber in der Ebene unterschiedlich ausgerichtet sein können (siehe Abbildung 3). Aus der Sicht der Geometrie wären sie nicht mehr streng gleich.

Abbildung 5. Kongruente Dreiecke, aber nicht unbedingt dasselbe, weil seine Ausrichtung in der Ebene unterschiedlich ist. Quelle: f. Zapata.

Kongruenzkriterien

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eine der folgenden Situationen auftritt:

-Die drei Seiten messen dasselbe (wiederum ist dies die offensichtlichste).

-Sie haben zwei identische Seiten und mit dem gleichen Winkel zwischen ihnen.

-Beide haben zwei identische innere Winkel und die Seite zwischen diesen Winkeln ist der gleiche.

Wie zu sehen ist, geht es um die beiden Dreiecke, so dass ihre Form und Größe genau gleich sind.

Die Kongruenzkriterien sind sehr nützlich, da in der Praxis unzählige mechanische Teile und Teile in Reihe hergestellt werden müssen, damit ihre Maßnahmen und Form genau gleich sind.

Ähnlichkeit der Dreiecke

Ein Dreieck ähnelt einem anderen, wenn sie die gleiche Form haben, auch wenn sie unterschiedlich groß sind. Um sicherzustellen, dass die Form gleich ist, ist es erforderlich, dass interne Winkel den gleichen Wert haben und die Seiten proportional sind.

Abbildung 6. Zwei ähnliche Dreiecke: Ihre Größen unterscheiden sich, aber ihre Anteile sind die gleichen. Quelle: f. Zapata.

Die Dreiecke von Abbildung 2 sind ebenfalls ähnlich wie die in Abbildung 6. Daher:

Test a = test A ', test B = test B 'und test C = Test C '

Was die Seiten betrifft, so werden die folgenden Gründe für die Ähnlichkeit erfüllt:

a/a '= b/b' = c/c '

Eigenschaften

Die grundlegenden Eigenschaften von Dreiecken sind wie folgt:

-Die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks beträgt immer 180 °.

-Für jedes Dreieck beträgt die Summe seiner äußeren Winkel 360 °.

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- Ein äußerer Winkel eines Dreiecks entspricht der Summe der beiden Innenwinkel, die nicht an diesen Winkel nebeneinander liegen.

Theoreme

Erster Satz von solchen

Sie werden dem griechischen Philosophen und Mathematiker von Miletus zugeschrieben, der mehrere Theoreme im Zusammenhang mit der Geometrie entwickelte. Die erste von ihnen legt Folgendes fest:

Wenn mehrere parallele Linien zwei Querlinien schneiden, bestimmen sie proportionale Segmente.

Abbildung 7. Der Geschichten Satz. Quelle: f. Zapata.

Mit anderen Worten:

a/a '= b/b' = c/c '

Der erste Satz von solchen gilt für ein Dreieck. Zum Beispiel befindet sich links das ABC Blue -Dreieck, das von den roten Parallelen nach rechts geschnitten wird:

Abbildung 8. Der Satz solcher und die ähnlichen Dreiecke.

Das violettes Dreieck von Violet ähnelt dem ABC Blue -Dreieck. Daher kann nach diesem Satz Folgendes geschrieben werden:

AB '/ac' = ab/ac

Und es stimmt mit dem überein, was oben im Segment der Dreieck -Ähnlichkeit erklärt wurde. Übrigens können parallele Linien auch vertikal oder parallel zur Hypotenuse sein und ähnliche Dreiecke werden erhalten.

Zweiter Satz davon

Dieser Satz bezieht sich auch auf ein Dreieck und einen Mittelumfang oder wie die unten gezeigten. In dieser Abbildung ist AC ein Durchmesser des Umfangs und B ist ein Punkt davon, der sich von A und B unterscheidet.

Der zweite Satz solcher Staaten, dass:

Der Winkel zwischen den AB- und BC -Segmenten beträgt immer 90 °, daher ist das ABC -Dreieck Rechteck.

Abbildung 9. Der zweite Satz solcher. Quelle: Wikimedia Commons. Induktivoad [Public Domain].

Satz des Pythagoras

Dies ist eines der berühmtesten Theoreme der Geschichte. Es liegt an den griechischen Mathematikern Pythagoras von Samos (569 - 475 bis. C.) und gilt für ein rechtes Dreieck. Sagt so:

Die Summe der Quadrate der Längen der Kategorien Rechteck -Dreieck ist gleich der Länge des Hypotenuses hoch zum Quadrat.

Wenn wir als Beispiel das blaue Dreieck von Abbildung 8 oder das violette Dreieck nehmen, da beide Rechtecke sind, kann man sagen, dass:

AC² = Ab² + BC² (Blaues Dreieck)

Ac '² = Ab '² + BC '² (Violettes Dreieck)

Der Bereich eines Dreiecks

Der Dreiecksbereich wird durch das Produkt seiner Basis angegeben Zu und seine Größe H, geteilt durch 2. Und durch Trigonometrie kann diese Höhe geschrieben werden als H = B sinθ.

Abbildung 10. Dreiecksbereich. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiele für Dreiecke

Beispiel 1

Es wird gesagt, dass es durch seinen ersten Satz gelungen ist, die Höhe der großen Pyramide in Ägypten, einem der 7 Wunder der Antike der Boden.

Dies ist das Schema des Verfahrens, gefolgt von solchen:

Abbildung 11. Schema zur Messung der Höhe der großen Pyramide durch Ähnlichkeit von Dreiecken. Quelle: Wikimedia Commons. Dake [CC BY-SA 3.0 (http: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0/]]

Solche zu Recht angenommen, dass die Sonnenstrahlen parallel beeinflussen. In diesem Sinne stellte er sich das große rechte rechte Dreieck vor.

Es gibt die Höhe der Pyramide und C ist die Entfernung auf dem Boden, gemessen vom Zentrum zum Schatten, der von der Pyramide auf dem Wüstenboden projiziert wird. Es mag mühsam sein, C zu messen, aber es ist sicherlich einfacher, als die Höhe der Pyramide zu messen.

Links befindet sich das kleine Dreieck von Katzen A und B, wobei a die Höhe des Pfahls vertikal auf dem Boden steckt und B der Schatten ist, den es projiziert. Beide Längen sind messbar, genau wie C (c ist gleich der Länge der Schatten + Hälfte der Länge der Pyramide).

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Dann durch Ähnlichkeit von Dreiecken:

A/b = d/c

Und die Höhe der großen Pyramide ist: d = c.(A/b)

Beispiel 2

Zivilkonstruktionspanzer sind Strukturen, die auf dünnen Stangen mit dünnen Holz- oder Metallstangen basieren, die in vielen Gebäuden als Unterstützung verwendet werden. Sie sind auch als Gitter, Fachwerte oder Retikulierte bekannt (Binder auf Englisch).

In ihnen sind die Dreiecke immer vorhanden, da die Balken an Punkten, die als Knoten bezeichnet werden, miteinander verbunden sind, die möglicherweise festgelegt oder artikuliert werden können.

Abbildung 12. Das Dreieck ist im Rahmen dieser Brücke vorhanden. Quelle: pxhere.

Beispiel 3

Die als Triangulation bekannte Methode ermöglicht es Ihnen, die Position von unzugänglichen Punkten zu erhalten.

Zum Beispiel möchten Sie in der folgenden Abbildung wissen, an welchem ​​Punkt das Meer das Schiff ist, bezeichnet als b.

Abbildung 13. Triangulationsschema zum lokalen Schiff. Quelle: Wikimedia Commons. Colette [CC BY-SA 3.0 (http: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0/]]

Erstens wird die Entfernung zwischen zwei Punkten an der Küste gemessen, die in der Abbildung a und c sind. Dann müssen Sie die Winkel α und β mit Hilfe von a bestimmen Theodolit, Ein Gerät, das dazu dient, vertikale und horizontale Winkel zu messen.

Mit all diesen Informationen wird ein Dreieck gebaut, auf dessen oberer Scheitel das Schiff ist. Es würde den Winkel γ mit Mitteln verringern.

Übungen

Übung 1

In der gezeigten Abbildung sind die Sonnenstrahlen parallel. Auf diese Weise projiziert der 5 -Meter -Hochbaum einen 6 -Meter -Schatten auf dem Boden. Gleichzeitig beträgt der Schatten des Gebäudes 40 Meter. Finden Sie die Höhe des Gebäudes nach diesem Satz von solchen.

Abbildung 14. Programm für das Jahr gelöst 1. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Das rote Dreieck hat Seiten von 5 bzw. 6 Metern, während das Blau eine Höhe h -die Höhe des Gebäudes und der Basi. Beide Dreiecke sind daher ähnlich:

H / 40 = 5/6 → H = 40.(5/6) M = 33.3 m

Übung 2

Sie müssen den horizontalen Abstand zwischen zwei Punkten kennen ZU Und B, Aber sie befinden sich auf einem sehr unregelmäßigen Gelände.

Ungefähr im Mittelpunkt (p)_M) Aus diesem Land sticht eine Bedeutung von 1 auf.75 Meter hoch. Wenn das Maßband 26 Meter lang von A bis zur Bekanntheit und 27 Meter von B bis zum gleichen Punkt angezeigt wird, finden Sie die Entfernung Ab.

Abbildung 15. Schema für die Übung gelöst 2. Quelle: Jiménez, R. Mathematik ii. Geometrie und Trigonometrie.

Lösung

Pythagoras Theorem wird auf eine der beiden Rechtecke in der Figur angewendet. Beginnend mit dem links:

Hypotenuse = C = 26 Meter

Höhe = a = 1.75 Meter

AP_M = (26² - 1.75²)^1/2 = 25.94 m

Jetzt wird Pythagoras im rechten Dreieck angewendet, diesmal C = 27 Meter, a = 1.75 Meter. Mit diesen Werten:

Bp_M= (27² - 1.75²)^1/2 = 26.94 m

Der Abstand AB fügt folgende Ergebnisse hinzu:

AB = 25.94 m +26.94 m = 52.88 m.

Verweise

1. Baldor, j. ZU. 1973.Flache und Raumgeometrie. Zentralamerikanische Kultur.
2. BARREDO, d. Die Geometrie des Dreiecks. Erholt von: Ficus.Pntic.Mec.Ist.
3. Jiménez, r. 2010. Mathematik ii. Geometrie und Trigonometrie. Zweite Ausgabe. Pearson.
4. Wentworth, g. Planet Geometrie. Erholt von: Gutenberg.Org.
5. Wikipedia. Dreieck. Geborgen von: ist. Wikipedia.Org.