Eigenschaften schräge Dreiecke, Beispiele, Übungen

Der Schräge Dreiecke Sie sind diejenigen, die keinen rechten Winkel haben, daher entspricht keiner ihrer inneren Winkel 90 °. Ein schräge Dreieck kann also sein Akutangle oder stumpf.

Im ersten Fall sind die inneren Winkel des Dreiecks akut oder was ist gleich: weniger als 90 °, während im zweiten, es gibt immer einen Winkel von mehr als 90 °, dh einen stumpfen Winkel. Schauen wir uns in der folgenden Abbildung jeweils ein Beispiel für jeden an:

Abbildung 1. Schräge Dreiecke: Links ein schräges und akutangle Dreieck. Auf der rechten Seite ein schräg und stumpfes Dreieck. Quelle: f. Zapata.

Um die Längen der Seiten und die Maße der Innenwinkel dieser Art von Dreiecken zu finden.

Es gibt jedoch Alternativen zur Lösung des Dreiecks: die Theoreme des Cosinus und des Busens und die Tatsache, dass die Summe der inneren Winkel gleich 180 ° ist.

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Oblicuágulos -Dreiecke Beispiele

Wenn wir uns in Abbildung 1 führen, können wir die schrägen Dreiecke durch zwei Kriterien, die wir unten geben, leicht erkennen.

Acutangle -Dreieck

Sei das Dreieck der Seiten A, B und C, mit α der Winkel vor der Seite bis.

Wenn das Quadrat auf der Seite gegenüber dem akuten Winkel α geringer ist als die Summe der Quadrate der verbleibenden Seiten, ist das Dreieck Akutange. Algebraisch:

Zu² < b² + C²; α < 90º

Das relative gleichseitige Dreieck, der seine drei Seiten gleichermaßen hat, ist Akutangle und daher schräg, da seine inneren Winkel gleich sind und 60º messen.

Stumpfes Dreieck

Andererseits, wenn das Quadrat auf der gegenüberliegenden Seite Zu Im Stumpfenwinkel α ist größer als die Summe der Quadrate der anderen beiden, wir befinden uns in Gegenwart eines stumpfen Dreiecks. Deshalb:

Zu² > b² + C²; α> 90º

Zum Beispiel ist ein Dreieck, dessen innere Winkel 105º, 60º und 15º beträgt. Beachten Sie, dass 105º + 60º + 15º = 180º.

Theoreme des Sinus und des Cosinus

Um die schrägen Dreiecke zu lösen, dh die Maßnahmen aller ihrer Seiten und aller ihrer Winkel zu finden, sind die Theoreme der Brust und des Cosinus erforderlich.

Sei a, b und c die Seiten eines Dreiecks und α, β und γ ihre inneren Winkel. So:

Brustsatz

Der Brustsatz stellt Folgendes fest:

Wenn α der entgegengesetzte Winkel zu Seite A ist, ist β der Winkel gegen Seite B und γ ist der Winkel vor Seite C.

Es kann Ihnen dienen: antiderivativ: Formeln und Gleichungen, Beispiele, Übungen

Äquivalent:

Wir entscheiden uns dafür, den Brustsatz anzuwenden, wenn wir ein Dreieck lösen wollen, als mehr Winkel bekannt sind als Seiten.

Coseno Theorem

Nach dem Coseno -Theorem:

C² = a² + B² - 2 Märed γ · γ

Wieder befindet sich der Winkel γ vor Seite C. Wir können auch äquivalente Ausdrücke für die Seiten A und B schreiben, wie folgt:

Zu² = b² + C² - 2 Märed α. Α

UND

B² = a² + C² - 2 Märed β

Der Cosinus -Theorem wird vorzugsweise angewendet, wenn der Wert von zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt ist. Sobald die drei Seiten eines Dreiecks bekannt waren, ermöglicht uns der Satz, den Cosinus des Winkels zwischen zwei zu berechnen.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Überprüfen Sie, ob das Dreieck, dessen Seiten 20, 10 und 12 beliebige Einheiten messen, stumpf ist.

Lösung

Wir kennen keine der inneren Winkel, aber nach den Kriterien, die dazu dienen, stumpfe Dreiecke zu erkennen.

Zuerst finden wir die Quadrate auf jeder Seite:

zwanzig² = 400

10² = 100

12² = 144

Und wir sehen das tatsächlich: 400> 100 + 144, seit 400> 244. Daher enthält das Dreieck einen Winkel von mehr als 90 ° vor der Seite, der 20 misst. Folglich ist dieses Dreieck zusätzlich zu schrägen, sondern auch stumpf.

- Übung 2

Angesichts des in Abbildung 2 gezeigten schrägen Dreiecks, dessen Maßnahmen in willkürlichen Einheiten angegeben sind, bestimmen Sie:

a) Der Wert von x. Ist es ein Akutangle oder ein stumpfes Dreieck??

b) die verbleibenden inneren Winkel des Dreiecks

c) Umfang

d) Bereich.

Figur 2. 2a) Dreieck für das Jahr aufgelöst 2 und 2b) das gleiche Dreieck mit einer Höhe, die dazu dient, die Fläche zu bestimmen. Quelle: f. Zapata.

Lösung für

Des Dreiecks sind zwei benachbarte Seiten bekannt, deren Maßnahmen 38 sind.0 und 45.8 und der Winkel zwischen ihnen, der 30 ° ist, daher wird der Cosinus -Theorem sofort angewendet:

X² = 38.0² + Vier fünf.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Deshalb:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Die Zeichnung legt nahe, dass α> 90 ° und das Dreieck zusätzlich zu Schrägen stumpf sind. Um es zu überprüfen, finden wir die Quadrate der Seiten wie in der vorherigen Übung:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Vier fünf.8² = 2097.64

Der Winkel α ist größer als 90 °, wenn er wahr ist als das Quadrat der gegenüberliegenden Seite: 45.8²  Es ist größer als die Summe der Quadrate der anderen Seiten, das 22 ist.96² + 38.0².

Kann Ihnen dienen: Gesetze von Exponenten

Mal sehen, ob es passiert:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

In der Tat:

2097.64> 1971.2

Daher ist der Winkel α größer als 90 °.

Lösung b

Jetzt können wir den Brustsatz auftragen, um einen der fehlenden Winkel zu finden. Wir werden es für Winkel β erhöhen:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (Sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = Arcsen (0.8275) = 55.84º

Der fehlende Winkel kann wissen, dass die Summe der inneren Winkel eines jeden Dreiecks 180 ° beträgt. Deshalb:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Wenn Sie bevorzugt, können Sie auch den Cosinus -Theorem verwenden, um den Cosinus des Winkels zwischen zwei benachbarten Seiten zu finden. Sobald die Coseno -ARC -Funktion verwendet wird, um den Winkel zu bestimmen.

Die Ergebnisse können sich in den Dezimalstellen ein wenig unterscheiden.

Lösung c

Der Umfang P ist die Kontur der Abbildung, die der Summe der Messungen der drei Seiten entspricht:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 willkürliche Einheiten.

Lösung d

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines jeden Dreiecks lautet:

A = (1/2) x Basis x Höhe

Wir müssen eine der Seiten als Basis auswählen und die Höhe bestimmen. Zum Beispiel die Auswahl der Seite, die 45 misst.8, wir zeichnen die Höhe H Bis Scheitelpunkt A, was die rote Linie in Abbildung 2b ist.

Auf diese Weise teilen wir das ursprüngliche Dreieck in zwei Rechtecke, beide mit H Als gemeinsamer Kateto. Jeder von ihnen dient, da wir eine scharfe Seite und einen Winkel kennen.

Wir werden denjenigen nehmen, der Hypotenusa gleich 38 hat, eine Kategorie, die misst H, Welches ist die gesuchte Höhe und der akute Winkel von 30º.

Mit Hilfe der trigonometrischen Gründe des akuten Winkels 30º bestimmen wir den Wert von H:

Sen 30º = kateto gegenüber 30º / hypotenusa = h / 38

H = 38 x Sen 30º = 19

Deshalb:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 willkürliche Gebietsbereiche.

Wir hätten eine andere Seite als Basis auswählen können, beispielsweise Seite 38, in diesem Fall die Höhe H Es ist anders, da sich ein anderes Rechteckdreieck gebildet hat, aber das Ergebnis des Bereichs ist das gleiche. Es bleibt als Übung für den Leser, es zu überprüfen.

- Übung 3

Berechnen Sie die anderen Dreiecksdaten bei einem ABC -Dreieck, das a = 45º, B = 60º und A = 12 cm.

Kann Ihnen dienen: Zeichen der Gruppierung

Lösung

Die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks beträgt 180º

C = 180º-45º-60º = 75º.

Die drei Winkel sind bereits bekannt. Dann verwenden wir das Brustgesetz, um die beiden Seiten zu berechnen, die fehlen.

Die entstandenen Gleichungen sind 12 / ohne (45º) = b / ohne (60º) = c / ohne (75º).

Aus der ersten Gleichheit können Sie "B" löschen und das erhalten:

B = 12*ohne (60º)/ohne (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Sie können auch "C" klären und das bekommen:

C = 12*sin (75º)/sin (45º) = 6 (1+√3) ≈ 16.392 cm.

- Übung 4

Berechnen Sie die anderen Dreiecksdaten bei der Dreiecks ABC so, dass a = 60º, C = 75º und B = 10 cm.

Lösung

Wie im Vorjahr müssen Sie b = 180º-60º-75º = 45º. Darüber hinaus müssen Sie unter Verwendung des Brustgesetzes / ohne (60º) = 10 / ohne (45º) = c / ohne (75º), wo er erhalten wird, dass a = 10*ohne (60º) / ohne (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm und c = 10*sin (75º)/ohne (45º) = 5 (1+√3) ≈ 13.660 cm.

- Übung 5

Berechnen Sie die anderen Dreieck -Daten.

Lösung

In dieser Übung ist nur ein Winkel bekannt, daher ist es nicht möglich, zu beginnen, wie in den beiden früheren Übungen getan wurde. Darüber hinaus kann das Brustgesetz nicht angewendet werden, da keine Gleichung gelöst werden kann.

Daher wird das Gesetz von Cosenos angewendet. Sie müssen:

C² = 10²+15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300*0.173 ≈ 272.905 cm,

So dass c ≈ 16.51 cm. Wenn Sie nun die drei Seiten kennen, wird das Brustgesetz verwendet und es wird erhalten, dass:

10 / ohne (a) = 15 / ohne (b) = 16.51 cm /ohne (80º).

Von hier, wenn klar b ohne (b) = 15*ohne (80º)/ 16 ist.51 ≈ 0.894, was impliziert, dass B ≈ 63.38º.

Jetzt kann er erhalten werden, dass a = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Übung 6

Die Seiten eines schrägen Dreiecks sind a = 5 cm, b = 3 cm und c = 7 cm. Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks.

Lösung

Auch hier kann das Brustgesetz nicht direkt angewendet werden, da keine Gleichung dazu dienen würde, den Wert der Winkel zu erhalten.

Mit dem Gesetz des Cosinus müssen Sie c² = a² + b² - 2ab cos (c), von where an cos (c) = (a² + b² - c²)/ 2ab = (5² + 3² -7²)/ 2*5 *3 = -15/30 = -1/2 und daher c = 120º.

Jetzt kann das Brustgesetz angewendet werden und somit 5/ohne (a) = 3/ohne (b) = 7/ohne (120 °) erhalten, wobei B gelöscht werden kann und dies ohne (b) = 3* ohne (120º )/7 = 0.371, damit B = 21.79º.

Schließlich wird der letzte Winkel mit diesem A = 180º-130º-21 berechnet.79º = 38.21.

Verweise

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3. Jiménez, r. Mathematik II: Geometrie und Trigonometrie. 2. Auflage. Pearson.
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