Trinom

Ein Trinom ist ein Polynom mit drei Begriffen. Quelle: f. Zapata.

Was ist ein Trinomial?

Ein Trinom ist ein Polynom, das aus der angegebenen Summe von drei verschiedenen Begriffen besteht, dh es wird algebraisch drei Monome unterschiedlicher Grade gebaut, entweder eine oder mehrere Variable. Sie sind sehr häufige Polynome in Algebra.

Einige Beispiele für Trinome sind Folgendes:

• X² + 5x - 3 (Klasse 2)
• x- x² - 6x³  (Trinom von Grad 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinom von absolutem Grad 3, Grad 3 in x und Grad 2 in y)

Der erste und zweite dieser Trinome ist eine einzelne Variable, in diesem Fall die Variable "x", während der dritte Trinom zwei Variablen "x" und "y" sind.

Beispiele für Trinome

Es gibt verschiedene Arten von Trinomen, die in zahlreichen Anwendungen vorgestellt werden, darunter:

Perfekte quadratische Trinom

Bei der Entwicklung des Quadrats einer Summe oder des Quadrats einer Differenz in Begriffen wird ein perfekter quadratischer Trinom erhalten. Beide Entwicklungen sind als bekannt als als bemerkenswerte Produkte.

Erstens haben Sie das Quadrat der Summe: (a + b)². Wenn Sie diesen Ausdruck entwickeln, erhalten Sie:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ b + b ∙ a + b²

Die beiden zentralen Begriffe sind identisch und werden auf 2a ∙ B reduziert, daher:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

Die Trinomial a² + 2a ∙ b + b² Enthält zwei perfekte Quadrate: a² und B², Während der verbleibende Begriff dem Doppelprodukt der beiden Terme des ursprünglichen Binomials entspricht.

Das Quadrat eines Unterschieds ist ein Trinom ähnlich wie das vorherige, mit Ausnahme eines negativen Vorzeichens, das das Doppelprodukt der originalen Binomial -Begriffe beeinflusst:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - a ∙ b - b ∙ a + b²

Wieder werden die ähnlichen Begriffe auf einen einzigen Begriff reduziert und es wird erhalten, dass:

Kann Ihnen dienen: Moivre Theorem

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Es ist nicht mehr möglich, das Ergebnis zu reduzieren.

Diese bemerkenswerten, leicht auswendigen Produkte assoziieren ein perfektes quadratisches Trinom mit dem Quadrat des entsprechenden Binomials, zum Beispiel:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Es ist zu beachten, dass nicht alle perfekten quadratischen Trinome eine Variable oder eine Grad 2 sind. Hier sind Beispiele für diese Art von Trinomen mit zwei und mehr Variablen und auch mit unterschiedlichem Grad von 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + und²
• (2z² + Und)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²und + und²
• (5xy³ - z)² = 25x²Und⁶ - 10 xy³z + z²

Trinom der x Form² + Bx + c

In diesem Trinom ist nur einer der Begriffe ein perfektes Quadrat, in diesem Fall ist es x² und sein numerischer Koeffizient beträgt 1. Der folgende Boge -Term ist linear und der letzte Term ist der unabhängige Term. Beispiele für diese Art von Trinomen sind:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• Und² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• M² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinom der Axtform² + Bx + c

Es ähnelt den vorherigen, außer dass sich der Koeffizient des quadratischen Terms von 1 unterscheidet, wie in diesen Trinomen:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Trinomialfaktorisierung

Ein sehr häufiger algebraischer Betrieb ist eine Trinomfaktorisierung, die darin besteht, sie als Produkt verschiedener Faktoren von 1 zu schreiben. Für jede der beschriebenen Trinome gibt es spezifische Verfahren.

Perfekte quadratische Trinomfaktorisierung

Sie können durch Inspektion von bemerkenswerten Produkten faktorisiert werden:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Die Schritte, um einen perfekten quadratischen Trinom zu berücksichtigen, sind:

1.- Stellen Sie sicher, dass das Trinom zwei perfekte Quadrate enthält² und B², Beide Begriffe müssen demselben Zeichen vorausgehen, normalerweise dem Zeichen +. Wenn beide Vorzeichen vorausgehen - kann dies ohne Probleme Faktor sein.

Kann Ihnen dienen: Perfekte quadratische Trinomial

2.- Bestimmen Sie die Werte von A und B, indem Sie die Quadratwurzel von a extrahieren² und B².

3.- Bestätigen, dass der dritte Term das Doppelprodukt von A und B ist.

Trinomialfaktorisierung der x -Form² + Bx + c

Dies ist das Trinom mit einem einzigartigen quadratischen Begriff, um zu berücksichtigen, dass es als zwei Binomialprodukte geschrieben ist:

X² + BX + C = (x + r) ∙ (x + s)

Wobei R und S zwei Zahlen sind, um zu bestimmen.

Beachten Sie, dass bei der Entwicklung der rechten Seite durch Verteilungseigentum sie erhalten wird:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Damit dieser Ausdruck die ursprüngliche Trinomie widerspiegelt, müssen die Zahlen U und V die folgenden Bedingungen erfüllen:

R ∙ s = c
R + s = b

Einige Trinome der x Form² + BX + C zulässt keine Faktorisierung nach dieser Methode, sie können jedoch mit Hilfe der allgemeinen Formel oder Lösungsmittelformel faktorisch sein.

Trinomialfaktorisierung der AX -Form² + Bx + c

Ein Verfahren, um diese Art von Trinomen zu berücksichtigen, lautet:

1. Multiplizieren und den Trinom durch den Koeffizienten "a" teilen
2. Machen Sie das Produkt zwischen "A" und der ersten und dritten Laufzeit des Trinoms, und lassen Sie das Produkt ohne die zweite Amtszeit.
3. Das im vorherige Abschnitt beschriebene Verfahren wird auf das Trinom angewendet, dh als Produkt von zwei Binomien geschrieben, aber in diesem Fall ist der erste Term jedes Binomials nicht "x", sondern "A ∙ x".
4. Zwei N -Zahlen R und S werden gesucht, dass a ∙ c = r ∙ s und auch r + s = b
5. Schließlich werden die Binomien, die die Übung aufgelöst werden, so weit wie möglich vereinfacht.

Gelöste Übungen

Übung 1

Finden Sie das Trinom, das bei der Entwicklung des folgenden bemerkenswerten Produkts entsteht: (4x - 3y)²

• Lösung

Die bemerkenswerte Produktformel für das Quadrat eines Unterschieds wird angewendet, was zu:

Es kann Ihnen dienen: rechteckige Koordinaten: Beispiele und Übungen gelöst

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Übung 2

Tatsache die folgende Trinomial:

X² +  5x + 6

• Lösung

Dies ist eine Trinom der x Form² + BX + C mit B = 5 und C = 6, sodass Sie versuchen können, das oben beschriebene Verfahren zu berücksichtigen. Dazu müssen Sie zwei R- und S -Zahlen finden, die multipliziert werden, werden 6 und in 5 hinzugefügt:

R ∙ s = 6 und r + s = 5.

Die gesuchten Zahlen sind r = 3 und s = 2, da sie diese Bedingungen erfüllen, daher:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Es bleibt für den Leser als Übung, um zu überprüfen, ob die Entwicklung der rechten Seite leicht zum ursprünglichen Trinom gelang.

Übung 3

Faktorisieren Sie 3x² - 5x - 2.

• Lösung

Dies ist ein Trinom der Axtform² + Bx + C mit a = 3, b = -5 und c = –2. Der Prozess ist:

-Multiplizieren und mit a = 3 teilen:

Machen Sie das Produkt von „A“ für den ersten und dritten Term, so dass das Produkt mit dem zweiten Term angezeigt wird:

Jetzt müssen Sie das zwei Binomialprodukt schreiben, dessen erster Begriff 3x ist und nach zwei R- und S -Zahlen suchen, so dass:

• Wenn multipliziert in –6
• Und wenn es algebraisch hinzugefügt wird, wird es –5 erhalten –5

Diese Zahlen sind r = –6 und s = 1:

Schließlich wird das resultierende Binomialprodukt vereinfacht:

Vorgeschlagene Übungen

Faktor die folgenden Trinome: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementaralgebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. 1. Auflage. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Präzision mit Berechnungsvorschriften. 4. Auflage. McGraw Hill.