Perfekte quadratische Trinom

Abbildung 1.- Eine der Möglichkeiten, eine perfekte quadratische Trinomie zu erhalten, ist das Quadrat der Summe

Was ist der perfekte quadratische Trinomial?

Das perfekte quadratische Trinom ist, dass Polynom von drei Begriffen, von denen zwei perfekte Quadrate der Mengen A und B sind und das gleiche Zeichen vorausgehen ein anderes Zeichen.

Eine perfekte quadratische Trinomie wird durch quadratische Summe oder Differenz eines Binomialen und algebraisch erhalten. Seine Form ist wie folgt:

Zu² ± 2 ∙ ab + b²

Wie zu sehen ist, enthält der perfekte quadratische Trinom::

• Zwei nicht -ähnliche quadratische Begriffe vor demselben Zeichen: a² und B²
• Ein dritter Term 2 ∙ AB, der das Doppelprodukt der Quadratwurzeln der quadratischen Begriffe ist und dem ein positives oder negatives Vorzeichen vorausgeht.

Perfekte quadratische Trinome können eine oder mehrere Variable sein. Beispielsweise ist das folgende Trinom ein perfektes Quadrat einer Variablen:

• X² + 6x + 9

Beachten Sie, dass die ersten Begriffe (x²) und dritter (9) sind quadratisch von den als a und b bezeichneten Mengen bezeichnet. In der Tat x² Es ist das Quadrat von x und 9 ist das Quadrat von 3. Auf diese Weise können Sie Folgendes schreiben:

a = x

B = 3

Und der verbleibende Begriff ist das Doppelprodukt von x und 3:

6x = 2 ∙ 3 ​​∙ x

Sobald die Überprüfung vorgenommen wurde, ist es sicher, dass dieses Trinom perfekt quadratisch ist.

Beispiele

Figur 2.- Beispiele für perfekte quadratische Trinome. Quelle: f. Zapata.

Perfekte quadratische Trinome erscheinen auch in zwei oder mehr Variablen, zum Beispiel:

4x² + 4xy + und²

Es ist ein Trinom in zwei Variablen: "X" und "Y". Es kann sicher sein, dass es ein perfektes quadratisches Trinom ist, da es zwei quadratische Begriffe aufweist:

4x² = (2x)²

Und² = (y)²

Und der verbleibende Begriff ist das Doppelprodukt der jeweiligen quadratischen Wurzeln: "2x" und "Y":

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4xy = 2 ∙ 2x ∙ und

Die bisher vorgestellten Trinome sind in der Variablen "x" Grad 2, müssen aber nicht unbedingt so sein. Das folgende Trinom ist Grad 4 in "x":

9x⁴ - 30x²Yz + 25y²z²

Es ist leicht zu überprüfen, dass dies ein perfekter quadratischer Trinom ist. Der erste Begriff ist der perfekte 3x Quadrat², seit (3x²)² = 9x⁴.

Die Begriff 25y²z² ist gleich (5yz)². Schließlich beträgt der verbleibende Begriff 2 ∙ 3x²∙ 5yz = 30 x²und z.

Andererseits sind die unten gezeigten Trinome keine perfekten quadratischen Trinome:

• X²  + 8x - 16

Es ist kein perfekter quadratischer Trinom, weil es 16, obwohl es 4 ist², Es geht ein negatives Vorzeichen voraus, während der andere quadratische Begriff (x²) ist positiv.

• X²  - 15x + 25

Es ist auch nicht ein perfekter quadratischer Trinom, denn obwohl es zwei quadratische Begriffe hat: x² und 5², Die Term 15x entspricht nicht 2 ∙ 5 ∙ x.

• 4x²  + 10x + 32

Dieses Trinom ist kein perfektes Quadrat, da es nur einen quadratischen Begriff enthält: 4x² = (2x)².

Summe und Quadrat eines Unterschieds

Perfekte quadratische Trinome werden erhalten, indem zwei Arten bemerkenswerter Produkte entwickelt werden:

• Das Quadrat der Summe.
• Das Quadrat des Unterschieds.

Zunächst wird die Entwicklung aus der Verteilungseigenschaft erhalten, da die Erhöhung der quadratischen Binomial bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:

(A ± b)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± A ∙ B ± B ∙ a + b² = a² ± 2a ∙ b + b²

Das erhaltene Trinom ist ein Ergebnis, das nur mit ein wenig Praxis auswendig gelernt wird und eine Art Abkürzung ist, die die Entwicklung erleichtert, weshalb es als bemerkenswertes Produkt bezeichnet wird.

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Die folgenden Trinome sind leicht durch bemerkenswerte Produkte zu erhalten, ohne dass die Verteilungseigenschaft erneut angewendet wird.

• (x + 6)² = x² + 2 ∙ 6 ∙ x + 6² = x² + 12x + 36
• (2x - 10)² = (2x)² - 2 ∙ 10 ∙ 2x + 10² = 4x² - 40x + 100
• (5y + 2x)² = (5y)² + 2 ∙ 5y ∙ 2x + (2x)² = 25 und² +20xy + 4x²

Faktorisierung eines perfekten quadratischen Trinoms

Eine häufige und notwendige Operation in Algebra ist die Faktorisierung des perfekten quadratischen Trinomials, durch den das Trinom als Quadrat einer Summe oder als Subtraktion von zwei Begriffen ausgedrückt wird (ein Binomial).

Es ist der umgekehrte Betrieb, um das bemerkenswerte Produkt zu entwickeln, da es die Idee ist, das Binomial zu erhalten, das es entsteht, wenn es zu den 2 steigt.

Zum Beispiel in dem zuvor analysierten 4x Perfect Square Trinomial² + 4xy + und², Was ist das Binomial, das Sie, wenn es quadratisch ist?

Die jeweiligen quadratischen Wurzeln der quadratischen Begriffe sind:

√ (4x²) = 2x

Das entspricht: 4x² = (2x)²

√ (und²) = y

Entspricht dem zu sagen: und² = (y)²

Deshalb:

4x² + 4xy + und² = (2x + y)²

Und was ist das Binomial, das den perfekten quadratischen Trinom 9x entsteht?⁴ - 30x²Yz + 25y²z²? Wieder werden die quadratischen Wurzeln der quadratischen Begriffe extrahiert:

√ (9x⁴) = 3x²

√ (25 und²z²) = 5yz

So:

(3x² - 5yz)² = 9x⁴ - 30x²Yz + 25y²z²

Gelöste Übungen

Übung 1

Vervollständigen Sie in jedem der folgenden Trinome den Leerzeichen mit dem Begriff, der ein perfektes quadratisches Trinom ist:

Bin² + 18m + _____

b) 4x² - _____ + 64

c) _____ + 30n + 25

• Lösung für

Nach der Formel des bemerkenswerten Produkts:

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(A ± b)² = A² ± 2a ∙ b + b²

Des Trinomials:

M² + 18m + _____

Es folgt dem:

a = m (so dass das² = m²)

Zusätzlich ist der zentrale Begriff: 2 ∙ A ∙ B = 2 m ∙ B = 18 m, daher ist B = 9 und sein Quadrat 9² = 81. Guy Nach der Formel des bemerkenswerten Produkts ist das Trinom wie folgt:

(M + 9)² = M² + 18m + 81

• Lösung b

In diesem Trinom:

4x² - _____ + 64

Sie können wissen und b:

A = √ (4x²) = 2x

B = √64 = 8

Daher ist der fehlende Begriff das Doppelprodukt von A und B:

2 ∙ ab = 2 ∙ 8 ∙ 2x = 32x

Und das gesuchte Trinom ist:

4x² - 32x + 64

• Lösung c

Im Trinom:

_____ + 30n + 25

Der erste Begriff fehlt, aber es ist bekannt, dass:

B = √25 = 5

UND

2 ∙ ab = 2 ∙ a ∙ 5 = 10a = 30n

Daher ist a = 3n und das gesuchte Trinom:

9n² + 30n + 25

Übung 2

Überprüfen Sie, ob der nächste ein perfekter quadratischer Trinom ist und dies faktor:

16y² - 24yz + 9z²

• Lösung

Zuerst ist nachgewiesen, dass die quadratischen Begriffe das gleiche Zeichen vorausgehen und dann die jeweiligen quadratischen Wurzeln gefunden werden:

A = √ (16y²) = 4y

B = √ (9z²) = 3z

Dann müssen Sie überprüfen, ob der verbleibende Begriff das Doppelprodukt von A und B ist:

2 ∙ ab = 2 ∙ 4y ∙ 3Z = 24yz

Wenn dies der Fall ist, kann der Trinom als das Quadrat eines Unterschieds faktor sein, da dem zentralen Term ein negatives Vorzeichen vorausgeht:

16y² - 24yz + 9z² = (4y - 3z)²

Verweise

1. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Kates Mathematikunterricht. Perfekte quadratische Trinome. Erholt von: Katesmathessons.com.
3. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Zill, d. 2008. Präzision mit Berechnungsvorschriften. 4. Auflage. McGraw Hill.