Der faktorielle Notation Es wird verwendet, um das Produkt des ersten zu berechnen N natürliche Zahlen, dh positive Ganzzahlen, beginnend von 1 zum Wert von n. Es wird durch ein Zeichen der Bewunderung bezeichnet und heißt N Fakultät:

N! = 1 Planung… 3… . (N-1) · n

Die Berechnung des Fakultäts einer Zahl ist einfach, beispielsweise wird das Produkt der ersten sechs natürlichen Zahlen ausgedrückt:

6! = 1 Planung

Abbildung 1. Die faktorielle Notation kann durch das Produktsymbol von k = 1 bis n kompakt geschrieben werden. Quelle: f. Zapata.

Faktoren erscheinen in Themen wie Newtons Binomial- und Kombinatortheorie, die häufig bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verwendet wird. In diesen erscheinen oft Anrufe Kombinationszahlen das kann als faktorisch ausgedrückt werden.

Die Notation N! Es ist die Schaffung des französischen Arztes und der Mathematik. Unabhängig voneinander wurden die Faktorien auch von einem anderen französischen Mathematiker entdeckt: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Wie bei den Summierungen gibt es eine Möglichkeit, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen auf eine summarische Weise auszudrücken:

 Das Symbol ähnlich einem Kapitalbuchstaben "pi", der im Ausdruck erscheint, heißt "produzieren" oder "multiplikatorisch".

Faktorielle Notationseigenschaften

Lassen Sie M und N zwei positive Ganzzahlen erfüllt, dass:

1. Nach Annehmlichkeit wurde vereinbart, 0 zu definieren! So gleich 1, das ist: 0! = 1.
2. Der Wert von 1! = 1
3. Ja! = b!, Es bedeutet, dass a = b, vorausgesetzt, aoffe ≠ 0. Die Ausnahme beträgt die Werte 0 und 1, da 1! = 1 = 0!, Wie bereits erwähnt, aber es ist klar, dass 1  0.
4. ja m < n, entonces M! < N! und deshalb M! Es ist in enthalten in N!:
   N! = 1 Möglich
5. Für n größer oder gleich 2 musst du:
   N! = Nebook (n-1)!
   Seit der Definition:
   N! = [1offe 2 Märatur 4 Märat… . (N-1)] ≤ n
   Der in quadratischen Klammern enthaltene Ausdruck ist genau (N-1)!
6. Nebook! = (n+1)! - N!
   In der Tat erhöhen Sie die Operationen der rechten Seite der Gleichheit:
   (N+1)! - N! = [1 ≤ 2 Märatur 3 Märd 4 · 5… N ≤ (N+1)] - [1 · 2 24 · 4 · 5… . n] =
   = [1…2 Märatur 4 · 5… . N] ≤ [(n+1) - 1] = [1 ≤2 Märatur 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ≤ n

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Co-Faktorial, Halbdaten oder Quasi-Phakutorials einer Nummer

Das Halbwirkmal einer natürlichen Zahl hängt davon ab, ob es gerade oder ungerade ist. In der Notation wird das doppelte Zeichen von Bewunderung oder Doppelfaktor verwendet und durch die folgende Regel definiert:

-Wenn n überhaupt ist:

N!! = 2offe 4 Märaturen 8… n

-Wenn n seltsam ist:

N!! = 1 Planung

Formeln für Halbfaktorien

Die folgenden Formeln helfen bei der Berechnung der Halbfaktorials leichter, insbesondere wenn es um große Zahlen geht.

Das Folgende wird für den Fall beobachtet, dass N ausgeglichen ist:

N!! = (2bung1) ≤ (2º2) · (2 ​​Märed) · (2 ​​Märed)… 2 Märed (N/2) = (2 Märed 2 24 · 2 2 24).…) · [1 Märed 2,3 · 4… (N/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Und wenn n seltsam ist, dann:

N!! = 1 Planung

Multiplizieren und gleichzeitig mit [2) multiplizieren und dividieren . 4 . 6… (n - 1)] bleibt der Ausdruck:

N!! = [1Mero

Aber die Menge zwischen den Schlüsseln beträgt:

1 Planung 1 25 · 4 Märatur 5 · 600… 7… . (N -1) ≤ n

Und das ist n!, Wie oben zu sehen, dann beim Ersetzen:

N!! = n! ÷ [2 · 4 ≤ 6… (n -1)]

Was auf dem Platz ist, wird so umgeschrieben:

[2 ≤ 4 · 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ≤ [(n-1)/2)]!

Deshalb:

N!! = n! ÷ [2 ≤ 4 ≤ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ≤ [(n-1)/2)]!

Beispiele

Die oben genannten Eigenschaften werden angewendet, um die Ausdrücke zu vereinfachen, die Faktorien enthalten, und berücksichtigen, dass im Allgemeinen die folgenden Ausdrücke nicht gleichwertig sind:

1. (M ± N)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (M^N)! ≠ (m!)^N
5. (M!)! ≠ m!!

Beispiel 1

Bei direkter Berechnung dieser Faktorien:

bis 5!

Es kann Ihnen dienen: Frequenzwahrscheinlichkeit: Konzept, wie es berechnet wird und Beispiele

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Werte werden erhalten:

bis 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2echen = 8

d) 11!! = 11 März 9 · 7 Märatur 3plane 3 = 10395

e) 14!! = 14 Planung12 · 10,8 Märatur6plan

f) (2n+1)!! = 1 Märed 300 · (2N-3) ≤ (2N-1) · (2N+1)

Die Ergebnisse von a) bis e) können auch mit einem Taschenrechner bestätigt werden. Wissenschaftliche Taschenrechner haben eine Funktion, um den Wert von x direkt zu berechnen!.

Wie zu sehen ist, sind die Ergebnisse der Faktorien, außer mit kleinen Zahlen, Werte, die sehr schnell wachsen.

Beispiel 2

Die folgenden fraktionalen Ausdrücke können bei Verwendung der Eigenschaften vereinfacht werden:

Gelöste Übungen

Übung gelöst 1

Überprüfen Sie die zuvor erhaltenen Ergebnisse mit der Formel des Co-Factory:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Lösung für

Da 11 ungerade ist, werden die Werte in der entsprechenden Formel sorgfältig ersetzt:

N!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Und dann wird das Ergebnis durch die Eigenschaften der Faktorien vereinfacht:

elf!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11 Märatur 10395

Wie erwartet wurde das gleiche Ergebnis wie durch Berechnung 11 erzielt!! Die Verwendung der Formel ist jedoch für einen großen N -Wert von Vorteil, da sie das Doppelfaktor als Produkt von zwei Faktoren ausdrücken können.

Lösung b

Durch die Anwendung der semi-faktorischen Formel für n tar und das Ersetzen von Werten wird Folgendes erhalten:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ≤ 7! = 128 × 5040 = 645120

Übung gelöst 2

Schreiben Sie die folgenden Operationen als faktorielle Quotienten:

A) 7 Märed 6 Märed 4 · 4

B) Nú (N-1) ≤ (N-2) ≤ (N-3)

c) (n-1) ≤ (n-2) .. .(N-9)

Lösung für

7 Planung 600 = 7! / 2!

Lösung b

Nebook (n-1) ≤ (n-2) ≤ (n-3) = n! / (N - 4)!

Lösung c

(N-1) ≤ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Übung gelöst 3

Es gibt 4 Farbenquadrate: Blau, Orange, Violett und Grün, und Sie möchten sich nach dem anderen auf einem Tisch finden. Wie viele Möglichkeiten können die Quadrate platziert werden?

Kann Ihnen dienen: Konstante Funktion: Merkmale, Beispiele, Übungen Figur 2. Wie viele Kombinationen können hergestellt werden, indem vier Farbenquadrate ausgerichtet werden??. Das Ergebnis kann als faktorielle Zahlenquelle ausgedrückt werden: F. Zapata.

Lösung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Quadrate zu entsorgen, beispielsweise zuerst die Farbe zu beheben. Hier sind einige Optionen:

-Blau, orange, violett und grün

-Blau, Grün, Orange und Violett

-Blau, violett, grün und orange

Usw. Der Leser kann überprüfen, ob es 6 Kombinationen von Quadraten gibt, die mit Blau beginnen.

Beachten Sie, dass Sie die anderen 3 Farben beheben können, wenn Sie eine Farbe als erste Option festlegen. Sobald die zweite festgelegt ist, stehen 2 zur Auswahl, und sobald diese Farbe ausgewählt ist, bleibt nur 1 Farbe erhalten.

Dies kann durch Produkt ausgedrückt werden: 4offe 3 Märatur!:

4! = 4offe 3 Märed 2 = 24

Es wird der Schluss gezogen, dass es insgesamt 24 mögliche Kombinationen gibt.

Auf diese Weise wird es so genannt Permutation, in der die Reihenfolge, in der die Elemente platziert werden.

Übung gelöst 4

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

a) (x² + X)! = 720

Lösung für

Am Anfang wurde gesehen, dass 6! = 720, deshalb:

(X² + X)! = 6!

Dann muss die Menge zwischen Klammern 6 betragen: 6:

X² + x = 6

Dies ist eine Gleichung zweiten Grades in x:

X² + x - 6 = 0

Diese Gleichung kann mit der allgemeinen Formel oder durch Trinomfaktorisierung gelöst werden.

Mit dieser letzten Methode wird das Trinom wie folgt faktorisiert:

X² + x - 6 = (x+3) ≤ (x -2) = 0

Die Gleichungslösungen sind x₁ = -3 und x₂ = 2

Lösung b

Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind Faktor, um das Beste zu vereinfachen, das der Ausdruck sein kann. Zunächst können Sie im Nenner Faktor sein (x+7)!

Damit ist es möglich, den Begriff (x+7) zu stornieren!, bleiben:

As (x+9)! = (x+9) ≤ (x+8)! Der Nenner kann abgesagt werden und bleibt weiterhin:

(x+8)! = 14!

Eigenschaft 3 ist eine einfache Gleichung:

x+8 = 14

x = 6

Verweise

1. Hoffman, J.G. Auswahl der Mathematikfragen. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Diskrete Mathematik. Schaum -Serie. 3. Auflage. McGraw Hill.
3. Mathematik macht Spaß. Faktorielle Funktion. Erholt von: Mathisfun.com.
4. Smartick. Faktor, wofür verwenden wir sie??. Erholt von: Smartick.Ist.
5. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.