Absoluter Wert

Was ist der absolute Wert??

Er Absolutwert einer realen Zahl ist definiert als der Abstand zwischen dieser Zahl und 0 der realen Linie. Um einen Abstand zu sein, ist sein Wert immer positiv oder null und gleich der Zahl der Zahl.

Der absolute Wert wird dargestellt, indem die Zahl zwischen zwei vertikalen Balken platziert wird, ein Symbol, das lautet: "Absolutwert von”, Wie in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Zum Beispiel wird der absolute Wert von -3 als │ -3│ geschrieben und entspricht 3. Dies bedeutet, dass zwischen -3 und 0 drei Einheiten vorhanden sind, was die Zahlen auf der realen Linie darstellt. Andererseits beträgt der Absolutwert von +3 oder einfach 3 ebenfalls 3, da er durch Messung seiner Entfernung zu 0 auch drei Einheiten ist.

Der Absolutwert von -3 entspricht dem absoluten Wert von +3, da der Abstand zwischen beiden zu 0 gleich ist

Zusammenfassend ist der Absolutwert einer Zahl die gleiche Zahl der Zahl, aber immer mit einem positiven Vorzeichen.

Eigenschaften von absolutem Wert

Definition des absoluten Wertes

Die Haupteigenschaften des Absolutwerts:

• 1) Der absolute Wert einer Zahl ist immer positiv oder 0, daher:

│x│ ≥ 0

• 2) Der Absolutwert von Null ist ebenfalls Null, dh │0│ = 0, daher kann bestätigt werden, dass:

│x│ = 0, ja y nur wenn x = 0

• 3) Für jede Zahl x, die zur Realzahlen angehört, ist der Absolutwert von x gleich dem absoluten Wert von - x:

│x│ = │ - x│

• 4) Wenn der absolute Wert einer X -Zahl a ist, bedeutet dies, dass es zwei Optionen für diese Zahl gibt: i) x = +a oder ii) x = -a.

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Wenn beispielsweise der Absolutwert einer Zahl 5 beträgt, besteht die beiden Möglichkeiten, dass die Zahl +5 oder -5 beträgt.

Operationen mit absolutem Wert

Die folgenden Eigenschaften sind sehr nützlich, um Operationen mit absoluten Werten durchzuführen:

• 5) Für "X" und "Y", die zwei reelle Zahlen sind, wird die folgende Ungleichheit immer erfüllt, genannt dreieckige Ungleichheit des absoluten Wertes:

│x│+│y│ ≥ │x+y│

Zum Beispiel: seien Sie:

x = -6

y = 9

Die linke Seite der Ungleichheit ist:

│-6│ + │9│ = 6 + 9 = 16

Und die rechte Seite ist:

│-6+9│ = │3│ = 3

Offensichtlich ist 16 größer als oder gleich 3, und dies ist immer der Fall, wenn die Zahlen x und unterschiedliche Zeichen haben. Wenn sie gleiche Zeichen haben, wird die Gleichheit erhalten. Sehen Sie dieses andere Beispiel mit zwei anderen verschiedenen Werten:

x = -5

y = -3

│-5│+│-3│ ≥ │-5-3│

5+3 ≥ │-8│

In der Tat:

8 = 8

• 6) Das Produkt der jeweiligen absoluten Werte zweier realer Zahl "x" und "y" entspricht dem absoluten Wert des Produkts der Zahlen:

│x│ ∙ │y│ = │x ∙ y│

Auch hier sind die Werte:

x = -6

y = 9

So:

│-6│ ∙ │9│ = 6 ∙ 9 = 54

Das ist gleich:

│ (-6) ∙ 9│ = │-54│ = 54

• 7) Der Quotient des Absolutwerts zweier realer Zahlen "x" und "y" mit dem unterschiedlichen Nenner von 0 ist der absolute Wert des Quotienten zwischen diesen Zahlen:

So lange wie und ≠ 0.

Beispiel:

Beispiele für absolute Wert

Einfache Beispiele

Die Berechnung des Absolutwerts einer reellen Zahl ist sehr einfach, beispielsweise der absolute Wert der folgenden Zahlen lautet:

a) │-14│ = 14

b) │-(-5) │ = │5│ = 5

c) │π│ = π

Berechnungen mit dem absoluten Wert einer reellen Zahl

Führen Sie die folgenden Operationen aus, die den absoluten Wert beinhalten:

A) 2 Märed8│ + 5 Plan

B) │5- (8 Märed) │- 6 + │81 ÷ (-3) │ │ │ 

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Dies ist eine kombinierte Operation, daher ist es vorzuziehen, sie durch Schritte zu lösen. Der erste absolute Wert ist:

│5- (8offe) │ = │5-24│ = │-19│ = 19

Der zweite Absolutwert, der erscheint, wird wie folgt berechnet:

│81 ÷ (-3) │ = │-27│ = 27

Dann werden die erhaltenen Ergebnisse gesammelt und die endgültige Berechnung erfolgt:

│5- (8offe 3) │- 6 + │81 ÷ (-3) │ = 19- 6 + 27 = 40

Der Abstand zwischen zwei Punkten auf der realen Linie

Der absolute Wert erscheint in vielen Anwendungen, z. B. den Abstand zwischen zwei Zahlen, die zur realen Linie gehören. Wenn a eine reelle Zahl ist, befindet es sich in der realen Linie an dem Punkt, dessen Abscissa „A“ ist, das gleiche mit einer reellen Zahl b.

Lassen Sie "A" und "B" zwei Zahlen in der realen Linie, die Entfernung, die sie trennt, ist:

D_Ab = │b - a│

Das kann auch berechnet werden durch:

D_Ab = │a - b│

Zum Beispiel beträgt der Abstand zwischen a = 5 und b = 12:

D = │5-12│ = │12–5│ = 7

Auf diese Weise ist der Absolutwert der Subtraktion zwischen zwei reellen Zahlen einfach die Entfernung, die sie in der realen Linie trennt.

Absolutwertfunktion

Die Absolutwertfunktion ist eine Anwendung, die sich auf den Satz realer Zahlen ℛ bis ℛ befindet⁺, das entspricht jeder reellen Zahl ihr absoluter Wert. Es ist definiert durch:

Und seine Grafik hat die typische V -Form:

Der absolute Wert als Funktion. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Eigenschaften der Absolutwertfunktion

-Ihre Domain ist die Menge aller reellen Zahlen.

-Es ist kontinuierlich.

-Es ist sogar, da es erfüllt ist, dass f (x) = f (-x) ist, daher ist die vertikale Achse eine Symmetrieachse.

-Der Bereich der Absolutwertfunktion ist der Satz positiver realer, einschließlich 0, da die Funktion immer einen Abstand darstellt und dies immer positiv oder null ist.

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-Es ist eine Funktion nach Abschnitten oder nach Teilen.

-Abnimmt im Intervall (-∞, 0) und wächst in (0,+∞).

Das Absolutwertargument kann auch eine quadratische oder andere Funktion sein, beispielsweise kann es definiert werden:

• f (x) = │x²-5x+3│
• g (x) = │sen x│

Der absolute Wert ist dafür verantwortlich, die Bilder des Arguments, die ein negatives Vorzeichen haben, positiv zu werden.

Gelöste Übungen

Übung 1

Bewerten Sie die folgenden algebraischen Ausdrücke mit absolutem Wert:

a) │2x -5│ + │ --x + 1│ bei x = 3

b) │ (x - 5) ÷ (x+4) │ bei x = −1

Lösung für

│2plane 3 - 5│ + │ - 3 + 1│ = │6–5│ + │ - 2│ = │1│ + 2 = 3

Lösung b

│ (–1 - 5) ÷ (−1+4) │ = │ (–6) ÷ (3) │ = │ - 2│ = 2

Übung 2

Was ist der Satz von Werten, der die folgende Ungleichheit darstellt?

│x│ ≤ 3

Lösung

Die Ungleichheit repräsentiert alle reellen Zahlen, deren absoluter Wert kleiner oder gleich 3 ist. Daher ist es der Satz aller Zahlen zwischen -3 und +3, einschließlich dieser.

In der Intervallnotation bleibt es:

[-3,3]

Übung 3

Lösen Sie die folgende Gleichung mit absolutem Wert:

│2x-1│ = 5

Lösung 

Wie bereits erwähnt, müssen Sie die beiden Optionen berücksichtigen, um eine Gleichung mit absolutem Wert zu lösen. Ich meine ja:

│f (x) │ = c

So:

1) f (x) = c

2) f (x) = -c

Daher hat diese Gleichung, deren Argument linear ist, zwei Lösungen:

Erste Lösung

2x - 1 = 5

2x = 6 ⇒ x₁ = 3

Zweite Lösung

2x - 1 = -5

2x = -4 ⇒ x₂ = -2

Bei der Bewertung x₁ = 3 oder x₂ = -2 In der ursprünglichen Gleichung muss eine Gleichheit erhalten werden, auf diese Weise wird verifiziert, dass die erhaltenen Werte Lösung der vorgeschlagenen Gleichung sind. In der Tat:

│ (2offe) -1│ = │6-1│ = 5

Und wenn Sie es mit der zweiten Option versuchen, wird auch eine Gleichheit erhalten:

│2 · (-2) -1│ = │-4-1│ = 5

Verweise

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturelle Heimatgruppe.
2. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
3. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
4. Stewart, J. 2007. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.