Diskrete Zufallsvariable

Wir erklären, was eine diskrete zufällige Variable ist, ihre Eigenschaften, wir geben Beispiele und lösen Übungen

Was ist eine diskrete Zufallsvariable?

A diskrete Zufallsvariable Es ist ein numerischer Wert, der zufällig aufgrund eines Experiments erhalten wird und nur endliche oder Buchhaltungswerte erforderlich ist. Dies bedeutet, dass bei zwei aufeinanderfolgenden Werten der Variablen kein Zwischenwert zwischen ihnen besteht.

Beispiele für diskrete Variablen sind die Anzahl der Blütenblätter, wie viele Gesichter (oder Kreuze) gleichzeitig zwei Münzen, die Anzahl der Mitglieder oder Kinder einer Familie, die Anzahl der Menschen in einem Haus und viele mehr.

In allen Fällen sind die Ergebnisse der Durchführung des Experiments die Buchhaltung. Eine zufällige Variable namens "x = Anzahl der Kinder einer Familie" kann definiert werden, und diese Variable kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen ..

Für einen allgemeinen Fall wird also eine diskrete zufällige Variable identifiziert durch:

X = x₁, X₂, X₃... X_k

Wo x₁, X₂, X₃... sind die möglichen Ergebnisse des Experiments.

Es ist oft daran interessiert, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jedes dieser möglichen Ergebnisse zu kennen, die als bezeichnet werden:

P₁ = P (x = x₁)

P₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Und so weiter für jeden x -Wert. Der "I" -Index variiert von 1 bis k: i = 1,2,3 ... k.

Diese Liste, die die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments enthält, wird aufgerufen Wahrscheinlichkeitsverteilung entweder Wahrscheinlichkeitsfunktion, vorausgesetzt, dass die Zufallsvariable numerisch ist, liegt die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses zwischen 0 und 1 und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten entspricht 1 1.

Beispiele von Diskrete Zufallsvariablen

Die diskreten Zufallsvariablen sind immer numerisch und buchstäblich. Sie messen normalerweise die Häufigkeit, mit der ein Ereignis auftritt, zum Beispiel:

• Anzahl der Anrufe, die an einem Nachmittag von einem Callcenter erhalten wurden.
• Betrag der Bankeinlagen an einem einzigen Tag.
• Starten Sie eine Würfel und lesen Sie die Nummer, die auf der oberen Gesicht erscheint.
• Anzahl der Gesichter, die beim Starten von zwei identischen Währungen herauskommen.
• Studenten, die die Algebra I -Prüfung genehmigten, die zufällig aus einer Gruppe von 100 Ingenieurstudenten einer Universität ausgewählt wurden.
• Erwachsene Mitglieder einer Elefantenherde in einem Afrika -Reservat.
• Anzahl der Kinder pro Familie in einer bestimmten Stadt.
• Menschen, die an einer Mitternachtsfilmfunktion teilnehmen.
• Anzahl der Autos, die einen Tribut auf einer Autobahn durchlaufen.

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Ganze und Bruchwerte

Alle diskreten zufälligen Variablen nehmen ganze Werte an. Diskrete Zufallsvariablen können jedoch mit fraktionalen Werten definiert werden, z. B. der zufälligen Variablen f gegeben durch:

F = Fraktion der defekten Stücke, indem Sie zufällig 50 Elemente von viel auswählen

Mögliche Werte sind wie folgt:

• Es wird kein defektes Stück gefunden: F₁= 0
• Nur 1 defektes Stück 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Zwei defekte Stücke sind in 50: F zu finden₃= 2/50 = 0.04
• Und so weiter, bis zu dem Fall, in dem die 50 ausgewählten Stücke schlecht sind: F₅₁ = 50/50 = 1

Gelöste Übungen

Übung 1: Identifizieren Sie diskrete Zufallsvariablen

Sie haben die zufälligen Variablen von:

X = Anzahl der Erdbeben pro Jahr, in einer bestimmten geografischen Zone aufgetreten

Y = genaue Länge des menschlichen Fußes

Z = Schuhe der Erwachsenenschuh

R = Dauer eines Anrufs zu a Call Center

Sind alle diskrete Zufallsvariablen? Rechtfertigen die Antwort.

Lösung

Die X- und Z -Variablen sind diskret, da die Anzahl der Erdbeben in einem Jahr eine Buchhaltungsmenge ist. Auf der anderen Seite sind die Schuhegrößen endlich, die Nummerierung kann je nach Land variieren, zum Beispiel 6, 6.5, 7 ..., aber es ist auch eine endliche Menge.

Andererseits kann die genaue Länge des menschlichen Fußes jeden Wert annehmen. Zum Beispiel zwischen zwei Personen, deren Fuß misst 23.5 und 23.8 cm, es ist immer möglich, einen anderen zu finden, dessen Fußmessung 23 ist.6 cm. Diese Art von Variable ist ebenfalls zufällig, geht aber weiter.

Was die Zeit betrifft, die einen Anruf dauert, ist es keine diskrete Variable, da zwischen zweimal unendliche Werte vorhanden sind₁ und T₂ Dauer.

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Übung 2: Gleichzeitige zwei Münzen

Ein Experiment besteht darin, zwei identische Währungen gleichzeitig zu starten, für die die zufällige Variable x = Anzahl der Gesichter definiert ist. Finden:

a) Die Werte, die x nimmt.

b) die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Lösung für

Die möglichen Ergebnisse des Experiments sind Folgendes: Keine teuer (zwei Siegel), A teuer und ein Siegel, A Siegel und ein teuer Und schließlich zwei Gesichter.

Wenn die Ergebnisse das Gesicht als C und das Siegel als S verweigern, werden die Ergebnisse wie folgt zusammengefasst:

Ω = (s, s); (C, s); (Sc); (DC)

Dieses Set ist als das bekannt Probenraum.

Daher nimmt die Zufallsvariable X die Werte an: 0 (kein Gesicht), 1 (ein Gesicht in beiden Münzen) und 2 (es war in beiden Münzen teuer). Da die Ergebnisse Bilanzierung sind, ist die Variable zusätzlich zu zufällig diskret:

X = 0,1,2

Lösung b

Wenn eine Münze gestartet wird, wenn ehrlich, die teuer entweder Siegel Sie haben die gleiche Chance zu verlassen, gleich ½. Wenn zwei Münzen gleichzeitig auf den Markt gebracht werden, da die Ergebnisse unabhängig sind, weil die Münzen sich nicht gegenseitig beeinflussen.

Wenn zwei Kreuze erhalten werden, bedeutet dies, dass kein Gesicht herauskam:

P (2 Kreuze = 0 Gesichter) = P (x = 0) = ½ ½ = ¼

Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit der CS- oder SC -Kombination die Summe der beiden günstigen Wahrscheinlichkeiten:

P (1 Gesicht) = P (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Gesichter zu erhalten,:

P (2 Gesichter) = P (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Beachten Sie, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung den zu Beginn festgelegten Anforderungen erfüllt:

Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses liegt zwischen 0 und 1.

Durch Hinzufügen der drei Wahrscheinlichkeiten 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Kann Ihnen dienen: Kolineale Vektoren Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Start von zwei identischen Währungen. In der horizontalen Achse wird die zufällige Variable platziert, die Mitte des Balkens entspricht dem Wert der Variablen. Und in der vertikalen Achse wird die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall der Prozentsatz platziert. Quelle: f. Zapata.

Übung 3: DSie werfen einen ausgewogenen Würfel

Ein Experiment besteht darin, zweimal einen ausgewogenen Würfel zu werfen. Die zufällige Variable, die definiert ist, lautet:

X = Anzahl mit 1 kommt heraus

a) Listen Sie die möglichen Ergebnisse des Experiments auf und bestimmen Sie die Werte der Zufallsvariablen.

b) Finden Sie Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Lösung für

Da es sich um einen ausgewogenen Würfel handelt, haben alle Gesichter die gleiche Wahrscheinlichkeit zu gehen, und da der Würfel ein Würfel mit sechs Gesichtern ist, ist diese Wahrscheinlichkeit 1/6 entspricht.

Die möglichen Ergebnisse des Experiments können wie folgt synthetisiert werden:

• Sie bekommen nicht 1 oder einmal: x₁= 0
• Der 1 kommt nur einmal heraus: x₂= 1
• Beide Starts sind 1: x₃= 2

Daher ist die Zufallsvariable X diskret und hat drei Werte:

X = 0,1,2

Lösung b

Was die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Variablen betrifft, so ist das erste, was der Satz aller möglichen Ergebnisse aus 36 Paaren besteht, aus denen der Beispielraum besteht:

Ω = (1,1), (1,2), (1,3)… (1,6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5,6); (6,1), (6.2)… (6,6)

-Jetzt werden diese Paare gezählt, in denen eine 1 nicht erhalten wird:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5,3)…; (6.2), (6.3)…

Insgesamt gibt es 25 Paare, in denen der 1 nicht herauskommt, daher ist die Wahrscheinlichkeit, einen dieser Kollegen zu erhalten,:

P₁ = P (x = 0) = 25/36

-Dann die Kollegen, in denen ich nur einmal erscheint:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Es gibt also 10 Paare, deshalb:

P₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Schließlich gibt es nur ein Paar, in dem ich zweimal herauskommt: (1,1). So:

P₃ = P (x = 2) = 1/36