Kontinuierliche variable Eigenschaften, Beispiele und Übungen

Der Kontinuierliche Variable Es ist eine, die eine unendliche Anzahl von numerischen Werten zwischen zwei gegebenen Werten aufnehmen kann, auch wenn diese beiden Werte willkürlich schließen. Sie werden verwendet, um messbare Attribute zu beschreiben; Zum Beispiel Größe und Gewicht. Die von einer kontinuierlichen Variablen genommenen Werte können rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sein, obwohl dieser letzte Fall in der Statistik weniger häufig ist. 

Das Hauptmerkmal von kontinuierlichen Variablen ist, dass zwischen zwei rationalen oder realen Werten immer gefunden werden kann und zwischen dem anderen und dem ersten einen anderen Wert finden kann, und so unbegrenzt.

Abbildung 1. Die Kurve repräsentiert eine kontinuierliche Verteilung und die Balken eine diskrete. Quelle: Pixabay

Nehmen wir beispielsweise die Gewichtsvariable in einer Gruppe an, in der das größte Gewicht 95 kg und das niedrigste Gewicht von 48 kg hat; Das wäre der Bereich der Variablen und die Anzahl der möglichen Werte ist unendlich.

Zum Beispiel können zwischen 50,00 kg und 50,10 kg 50,01 sein. Aber zwischen 50.00 und 50.01 kann die Maßnahme 50.005 betragen. Das ist eine kontinuierliche Variable. Andererseits wäre die verwendete Variable diskret, wenn im möglichen Gewicht eine einzige Dezimalgenauigkeit festgelegt wurde.

Kontinuierliche Variablen gehören zur Kategorie der quantitativen Variablen, da sie einen numerischen Wert haben. Mit diesem numerischen Wert ist es möglich, mathematische Operationen von Arithmetik bis hin zu den Methoden der infinitesimalen Berechnung auszuführen. 

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Beispiele

Die meisten Variablen der Physik sind kontinuierliche Variablen, darunter können wir nennen: Länge, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie, Temperatur und andere.

Kontinuierliche Variablen und diskrete Variablen

In Statistiken können verschiedene Arten von Variablen definiert werden, sowohl qualitativ als auch quantitativ. Kontinuierliche Variablen gehören zu dieser letzten Kategorie. Mit ihnen ist es möglich, Arithmetik- und Berechnungsvorgänge durchzuführen.

Zum Beispiel die Variable H, Entsprechend Menschen mit Höhe zwischen 1,50 m und 1,95 m ist es eine kontinuierliche Variable. 

Vergleichen wir diese Variable mit dieser anderen: die Häufigkeit, die beim Start einer Währung teuer ist, die wir nennen werden N.

Die Variable N Sie können Werte zwischen 0 und Unendlichkeit nehmen, wie auch immer N Es ist keine kontinuierliche Variable, da er den Wert 1,3 oder 1,5 nicht einnehmen kann, da zwischen den Werten 1 und 2 kein anderes gibt. Dies ist ein Beispiel für Diskrete Variable.

Ausübung kontinuierlicher Variablen

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Eine Maschine erzeugt Phosphorübereinstimmungen und packt sie in ihre Box ein. Es werden zwei statistische Variablen definiert:

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Variable 1: l = Plockslänge.

Variable 2: n = Anzahl der Schweine pro Box.

Die nominale Übereinstimmung länger beträgt 5,0 cm mit einer Toleranz von 0,1 cm. Die Anzahl der Schweine pro Box beträgt 50 mit einer Toleranz von 3.

a) Geben Sie den Wertebereich an, der dauern kann L Und N.

b) Wie viele Werte können Sie nehmen L?

c) Wie viele Werte können Sie nehmen N?

Sagen Sie in jedem Fall, ob es sich um eine diskrete oder kontinuierliche Variable handelt.

Lösung

Die Werte von L Sie werden im Intervall verstanden [5,0-0,1; 5,0+0,1]; das heißt, dass der Wert von L ist in Intervall [4,9 cm; 5.1 cm] und die Variable L Sie können unendliche Werte zwischen diesen beiden Maßnahmen ergreifen. Es ist dann eine kontinuierliche Variable.

Der Wert der Variablen N ist im Intervall [47; 53]. Die Variable N Es kann nur 6 mögliche Werte im Toleranzintervall benötigen, es ist dann eine diskrete Variable.

Ausübung von Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wenn sie nicht nur kontinuierlich sind, haben die von der Variablen genommenen Werte eine bestimmte Auftrittswahrscheinlichkeit verbunden, dann ist es a Kontinuierliche Zufallsvariable. Es ist sehr wichtig zu unterscheiden.

Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist vollständig definiert, wenn die Werte, die sie annehmen können, bekannt sind, und die Wahrscheinlichkeit, dass jeder von ihnen passieren muss.

-Übung 1 der Wahrscheinlichkeiten

Die Übereinstimmungsfabrik macht sie so, dass die Länge der Sticks immer zwischen 4,9 cm und 5,1 cm und Null dieser Werte liegt. Es besteht die Wahrscheinlichkeit, einen Stock zu erhalten, der zwischen 5,00 und 5,05 cm misst, obwohl wir auch einen von 5 extrahieren könnten.0003 cm. Sind diese Werte gleich wahrscheinlich?.

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Lösung

Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist einheitlich. Als nächstes werden die Chancen aufgelistet, einen Phosphor mit einer bestimmten Länge zu finden:

-Dass ein Phosphor im Bereich liegt [4,9; 5,1] hat eine Wahrscheinlichkeit = 1 (oder 100%), da die Maschine diese Werte nicht herausnimmt.

-Das Finden eines Phosphors zwischen 4,9 und 5,0 hat eine Wahrscheinlichkeit = ½ = 0,5 (50%), da es sich um die Hälfte des Längenbereichs handelt.

-Und die Wahrscheinlichkeit, dass das Match eine Länge zwischen 5,0 und 5,1 hat, beträgt ebenfalls 0,5 (50%)

-Es ist bekannt, dass es keine Phosphorstangen mit einer Länge zwischen 5,0 und 5,2 gibt. Wahrscheinlichkeit: Null (0%).

Wahrscheinlichkeit, einen Stock in einem bestimmten Bereich zu finden

Beobachten wir nun die folgenden Wahrscheinlichkeiten P, um Stöcke zu erhalten, deren Länge zwischen l ist₁ und ich₂:

 P = (l₂ -l₁) /(L_Max - L_Mindest)

-P, dass ein Match eine Länge zwischen 5,00 und 5,05 hat, wird als bezeichnet als als P ([5.00; 5,05]):

P ([5,00; 5,05]) = (5,05 - 5,00)/(5,1 - 4,9) = 0,05/0,2 = ¼ = 0,25 (25%)

-P, dass das Cerrillo zwischen 5,00 und 5,01 Länge hat::

P ([5,00; 5,01]) = (5,00 - 5,01)/(5,1 - 4,9) = 0,01/0,2 = 1/20 = 0,05 (5 %)

-P, dass das Cerrillo eine Länge zwischen 5.000 und 5.001 hat, ist noch niedriger:

P (5.000; 5,001) = 0,001/0,2 = 1/200 = 0,005 (0,5%)

Wenn wir das Intervall weiter verringern, um sich immer mehr auf 5,00 zu nähern, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stock genau 5,00 cm hat, Null (0%). Was wir haben, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Übereinstimmung in einem bestimmten Bereich zu finden.

Wahrscheinlichkeit, mehrere Stöcke in einem bestimmten Bereich zu finden

Wenn die Ereignisse unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Sticks in einem bestimmten Bereich befinden.

-Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Sticks zwischen 5,0 und 5,1 liegen, beträgt 0,5*0,5 = 0,25 (0,25%)

-Die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Sticks zwischen 5,0 und 5,1 liegen, beträgt (0,5)^50 = 9 × 10^-16, das ist fast nil.

-Die Wahrscheinlichkeit, dass 50 Sticks zwischen 4,9 und 5,1 liegen, beträgt (1)^50 = 1 (100%)

-Aufgabe 2 der Wahrscheinlichkeiten

Im vorherigen Beispiel wurde die Annahme getroffen, dass die Wahrscheinlichkeit im gegebenen Intervall einheitlich ist, jedoch nicht immer der Fall ist.

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Im Falle der realen Maschine, die die Stöcke erzeugt, ist die Möglichkeit, dass der Stock im zentralen Wert liegt. Aus mathematischer Sicht wird dies mit einer Funktion f (x) modelliert, die als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maßnahme zwischen A und B ist. 

Angenommen, wir möchten die Funktion F (x) finden, die eine einheitliche Verteilung zwischen den Werten 4.9 und 5.1 von Übung 1 darstellt. 

Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung einheitlich ist, ist f (x) gleich konstant c, was bestimmt wird, was das Integral zwischen 4,9 und 5,1 von C übernimmt. Da dieses Integral die Wahrscheinlichkeit ist, muss das Ergebnis 1 sein.

Figur 2. Gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsdichte. (Eigene Ausarbeitung)

Das bedeutet, dass C 1/0,2 = 5 wert ist. Mit anderen Worten, die Funktion der gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsdichte ist f (x) = 5 wenn 4,9 ≤ x ≤ 5.1 und 0 aus diesem Bereich heraus. Abbildung 2 zeigt eine gleichmäßige Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Beachten Sie wie in Intervallen derselben Breite (z. B. 0.02). Die Wahrscheinlichkeit ist in der Mitte gleich wie am Ende des kontinuierlichen variablen Bereichs L (Gurkenlänge).

Ein realistischeres Modell wäre eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie folgt:

-f (x) = -750 ((x-5,0)^2-0,01), wenn 4,9 ≤ x ≤ 5,1

-0 außerhalb dieses Bereichs 

Figur 3. Uneinheitliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. (Eigene Ausarbeitung)

In Abbildung 3 kann es beobachtet werden, dass die Wahrscheinlichkeit, Sticks zwischen 4,99 und 5,01 (Breite 0,02) zu finden, größer ist als Sticks zwischen 4,90 und 4,92 (Breite 0,02)

Verweise

1. Dinov, Ivo. Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Erholt von: Status.UCLA.Edu
2. Diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen. Erholt von: ocw.MIT.Edu
3. Diskrete Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Erholt von: Homepage.DDMS.Uiowa.Edu
4. H. Peshro. Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Erholt von: Wahrscheinlichkeitskurs.com
5. Mendenhall, w. 1978. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Ibero -American Editorial Group. 103-106.
6. Zufällige variable Probleme und Wahrscheinlichkeitsmodelle. Geborgen von: Ugr.Ist.
7. Wikipedia. Kontinuierliche Variable. Von Wikipedia geborgen.com
8. Wikipedia. Statistische Variable. Von Wikipedia geborgen.com.