Proportionale Variation

Was ist eine proportionale Variation?

Die proportionale Variation zwischen zwei Variablen "x" und "y" erfolgt, wenn durch Multiplizieren eines davon mit einer Konstante auch die andere durch die gleiche Konstante vervielfacht oder geteilt wird. Viele Situationen in der realen Welt können mit ihnen richtig beschrieben werden.

Die Verhältnismäßigkeit zwischen den Variablen kann direkt oder umgekehrt sein. In direkter Verhältnismäßigkeit ist die Beziehung vom Typ:

y = k ∙ x

Oder gleichwertig:

K = y/x

Wo k eine Konstante genannt wird Proportionalitätskonstante entweder Verhältnis von Verhältnismäßigkeit. Beachten Sie, dass, wenn "x" zunimmt, "y" es im gleichen Verhältnis tut und wenn "x" abnimmt, es auch "y" wird. Wenn die Beziehung zwischen den Variablen Diagramme sind, wird eine gerade Linie erhalten, die den Ursprung des Koordinatensystems durchläuft (siehe die später aufgelöste Übung).

Die direkte Variation kann auch zwischen einer Variablen und einer Leistung der anderen auftreten, z. B. kann "y" direkt proportional zu x sein², X³ und so.

Andererseits werden die Variablen in umgekehrter Verhältnismäßigkeit durch den Ausdruck verknüpft:

x ∙ y = k

Dieser Ausdruck bedeutet, dass das Produkt der Variablen eine Konstante ist. Wenn die Beziehung zwischen den Variablen grafisch ist, ist eine Hyperbel. Wenn das Produkt einer Variablen mit einer Leistung der anderen konstant ist, stellt es auch einen Fall von umgekehrter Verhältnismäßigkeit dar, zum Beispiel:

X²∙ y = k; X³∙ y = k ..

Beispiele

Eine Anwendung proportionaler Variation ist das Kartenlayout

Viele Gesetze der Physik und Chemie werden mathematisch als Proportionen ausgedrückt. Zum Beispiel die Kraft, die eine Feder und die Dehnung desselben ausübt, die Beziehung zwischen dem Druck und dem Volumen in einem Gas bei konstanter Temperatur, der Periode eines einfachen Pendels und der Quadratwurzel seiner Länge und vielem mehr. Wenn Sie das Modell kennen, das das Phänomen regiert, können Sie Ihr Verhalten für jeden Wert der Variablen herausfinden.

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Und nicht nur das, sie gelten auch in solchen unzähligen Situationen:

• Übergeben Sie das Muster eines Kleidungsstücks mit einer kleineren Größe auf eine größere Größe (oder umgekehrt).
• In Umwandlungsfaktoren, um von einer Einheit in eine andere zu wechseln, z. B. Kilometer zu Meilen, Gallonen zu Litern und mehr.
• Berechnen Sie die Zutaten eines Rezepts für 6 Personen, die die Anforderung für 4 Personen kennen.
• Bestimmen Sie den Betrag bestimmter Steuern gemäß den erhaltenen Einkünften.
• Bei der Berechnung von einfachem Interesse.
• Beim Zeichnen von Flugzeugen im Maßstab.
• Wenn Sie den Preis einer Produktmenge berechnen müssen, die den Einheitspreis kennen.
• In der Ähnlichkeit von Dreiecken.

Im Detail gibt es zwei interessante Situationen, in denen proportionale Variationen gelten:

Beispiel 1

Auf der Skala einer Stadt misst die Hermitage Avenue 3.2 cm, seine wirkliche Länge von 400 m ist. Andererseits muss die Straße von La Fuente, die wirklich 180 m lang ist, mit einem proportional kürzeren Schlaganfall zeichnen. Wie groß ist der Schlaganfall?

Die Erklärung enthält die vollständigen Informationen der Ermita Avenue: Lassen Sie die reale Länge der Avenue und ihre Länge in der Ebene, da die Variation von direkter Verhältnismäßigkeit ist, und muss sie:

L = k ∙ ℓ

Aus den Daten auf der Hermitage Avenue können Sie den Wert der Verhältnismäßigkeitskonstante K kennen, bevor es jedoch erforderlich ist, alle Längen in denselben Einheiten zu hinterlassen:

3.2 cm = 0.032 m

So:

400 m = k ∙ 0.032 m

Daher ist die Verhältnismäßigkeitskonstante:

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K = 400/0 0.032 = 12500

Jetzt ist bekannt, dass:

L = 12500 ∙ ℓ ℓ

Dieses Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Die Länge der Straßen auf dieser Karte ist 12500 -mal kleiner als die reale Länge. Daher misst die Linie der Straße von La Fuente:

ℓ = 180 m/ 12500 = 0.0144 m = 1.44 cm

Beispiel 2

Ein Analyst hat die folgende Wertetabelle für die Variablen "x" und "y", die experimentell erhalten wurden, und möchte wissen, ob diese Daten zu einem Modell der direkten proportionalen Variation oder einer inversen proportionalen Variation passen.

Was solltest du tun, um es zu wissen??

Erstens wird beobachtet, dass der Analyst die Möglichkeit hat, zu beurteilen, ob der Quotient und/x konstant sind (proportional (proportional Variation direkt) oder wenn Produkt x.und ist konstant (inverse proportionale Variation).

Testen mit der ersten Option:

1 ÷ 5 = 0.2

½ ÷ 10 = 0.05

⅓ ÷ 15 = 0.022 ..

Es wird der Schluss gezogen, dass es sich nicht um eine direkte proportionale Variation handelt, da der Quotient und//x für jede Daten unterschiedliche Werte angeben.

Wir müssen überprüfen, ob das Produkt x ∙ konstant ist:

5 × 1 = 5

10 × ½ = 5

15 × ⅓ = 5

20 × ¼ = 5

25 × ⅕ = 5

Und wie das Produkt x ∙ y = 5 wird der Schluss gezogen, dass die Variation von umgekehrter Verhältnismäßigkeit ist.

Diese Informationen dienen dazu, Werte zu kennen, die nicht in der Tabelle enthalten sind, beispielsweise, was der Wert von „Y“ wäre, wenn x = 30?

Aus x ∙ y = 5 wird „y“ gelöscht und ersetzt x = 30:

y = 5/x

y = 5/30 = 1/6

Übung gelöst

Wenn ein Stoffmesser 6 kostet.75 US -Dollar, und zu wissen, dass der Preis direkt proportional zur Kaufmenge ist, finden Sie:

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A) Der algebraische Ausdruck, der den Variablen "Preis zu $" und "Anzahl der Meter Stoff" verbindet, verbindet.

b) Bereiten Sie eine Werte Tabelle mit Preisen für 3, 6, 9, 12, 15 und 18 Meter Stoff vor.

c) Diagramm die erhaltenen Werte.

Antwort auf

Lassen Sie "y" den Variablenpreis bei $ $ "und" X "die Variable" -Meter Stoff "". Wie direkt proportional, müssen Sie:

y = k ∙ x

Für x = 1 Meter y = 6.$ 75, daher K = 6.75 $/Meter. Dies ist der Einheitspreis des Stoffes, der Preis eines anderen "X" -Febens wird durch Multiplizieren mit diesem Wert erhalten. Der gesuchte algebraische Ausdruck lautet:

y = 6.75 ∙ x

Antwort b

Die Wertentabelle mit Preisen für 3, 6, 9, 12, 15 und 18 Meter ist:

Antwort c

Schließlich bestätigt die Grafik der Werte in der vorherigen Tabelle, dass es sich um eine direkte proportionale Variation handelt:

Die Kosten bei $ und die Menge der Meter Stoff sind direkt proportionale Beträge. Quelle: f. Zapata.

Beachten Sie, dass der Wert (0.0) enthalten ist, da die Zeile y = 6.75 ∙ x durchläuft den Ursprung des Koordinatensystems, wie zuvor erläutert. Es ist sinnvoll, da ein Kauf nicht dem Kauf von 0 m Stoff entspricht, dessen Wert 0 $ beträgt.

Verweise

1. Larson, r. 2012. Vorkulptur. 8. Auflage. Cengage Lernen.
2. Sekretariat für öffentliche Bildung von Mexiko. Die proportionale Variation. Abgerufen von: pps.K12.Oder.uns.
3. Stewart, J. 2007. Vorkalkulation: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Unam. Studienführer: Mathematik i. Erholt von: Dirre.Unam.mx.
5. Zill, d. 2008. Vorkalkulation mit Berechnungsvorschriften. 4. Auflage. McGraw Hill.