Physisch

Vektordirektorgleichung der Linie, gelöste Übungen

Vektordirektorgleichung der Linie, gelöste Übungen

Es wird verstanden von Direktor Vektor Derjenige, der die Richtung einer Linie definiert, entweder in der Ebene oder im Raum. Daher kann ein Vektor parallel zur Linie als Direktor desselben angesehen werden.

Dies ist dank eines Axioms der euklidischen Geometrie möglich, dass zwei Punkte eine Linie definieren. Dann definiert das orientierte Segment, das diese beiden Punkte bildet.

Abbildung 1. Vektordirektor einer Linie. (Eigene Ausarbeitung)

Einen Punkt gegeben P Zugehörigkeit zur Linie (L) und gegeben einen Direktor Vector oder Von dieser Linie ist die Linie vollständig bestimmt.

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Gleichung der Linie und Direktorin des Direktors

Figur 2. Gleichung der Linie und Direktorin des Direktors. (Eigene Ausarbeitung)

Einen Punkt gegeben P von Koordinaten F: (xo, ich) und ein Vektor oder Direktor einer Linie (L), Alle Punkte Q von Koordinaten F: (x, y) muss erfüllen, dass der Vektor Pq parallel zu u sein. Diese letzte Bedingung ist garantiert, wenn Pq Es ist proportional zu oder:

Pq = Túoder

Im vorherigen Ausdruck T Es ist ein Parameter, der zu realen Zahlen gehört.

Wenn die kartesischen Komponenten von Pq und von oder Die vorherige Gleichung ist wie folgt geschrieben:

(X-xo, y-yo) = tú (a, b)

Wenn die Komponenten der Vektorgleichheit dem folgenden Gleichungspaar entsprechen:

X - xo = a · t      Und   Und - me = boge 

Parametrische Gleichung der Linie

Die Koordinaten X Und UND von einem Punkt zur Linie (L) Das durchläuft einen Koordinatenpunkt (Xo, ich) Und es ist parallel zu Direktor Vektor oder= (a, b) Sie werden bestimmt, indem reale Werte dem variablen Parameter t zugewiesen werden:

X = xo + aX; Y = me + boge

Beispiel 1

Um die Bedeutung der parametrischen Gleichung der Linie zu veranschaulichen, nehmen wir als Director Vector an

Kann Ihnen dienen: wellige Optik

oder = (a, b) = (2, -1) 

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt 

P = (xo, me) = (1, 5). 

Die parametrische Gleichung der Linie lautet:

X = 1 + 2 · T; Y = 5 - 1 · T; -∞

Um die Bedeutung dieser Gleichung zu veranschaulichen Abbildung 3 zeigt, wobei der Parameter t den Wert und den Punkt ändert Q  von Koordinaten (X, y) Nehmen Sie verschiedene Positionen auf der Linie ein.

Figur 3. Pq = t u. (Eigene Ausarbeitung)

Die Linie in Vektorform

Bei einem Punkt P der Linie und ihrem Direktor oder der Gleichung der Linie können in einem Vektorformular geschrieben werden:

Oq = Op + λogeoder 

In der vorherigen Gleichung, die ein Punkt ist, aber zur Linie gehört und zur Linie gehört und λ Eine reelle Zahl.

Die Vektorgleichung der Linie gilt für eine beliebige Anzahl von Dimensionen, selbst ein Hyper-Eret kann definiert werden.

In dem dreidimensionalen Fall für einen Direktor Vector oder= (a, b, c) und ein Punkt P = (xo, ich, Zo), Die Koordinaten eines generischen Punktes Q = (x, y, z) Zu der Linie gehört::

(X und z) = (Xo, i, zo) + λplan (a, b, c)

Beispiel 2

Betrachten Sie erneut die Linie, die als Direktorin des Direktors hat  

oder = (a, b) = (2, -1) 

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt 

P = (xo, me) = (1, 5). 

Die Vektorgleichung dieser Linie lautet:

(X, y) = (1, 5) + λoge (2, -1) 

Kontinuierliche Form der Linie und des Direktors Vector

Ausgehend von der parametrischen Form, löschen und übereinstimmen Sie den Parameter λ, den Sie haben:

(X-xo)/a = (y-yo)/b = (z-zo)/c

Dies ist die symmetrische Form der Liniengleichung. Ich fühle, dass Zu, B Und C Sie sind die Komponenten des Direktors Vector.

Beispiel 3

Betrachten Sie die Linie, die als Direktorin des Direktors hat  

oder = (a, b) = (2, -1) 

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt 

Kann Ihnen dienen: Was ist der Strom?? (Mit Experiment)

P = (xo, me) = (1, 5). Finden Sie seine symmetrische Form.

Die symmetrische oder kontinuierliche Form lautet von der Linie:

(X - 1)/2 = (y - 5)/( - 1)

Allgemeine Form der Liniengleichung

Es ist als allgemeine Form der Linie in der XY -Ebene zur Gleichung bekannt, die die folgende Struktur hat:

A · x + boge = c

Der Ausdruck der symmetrischen Form kann so umgeschrieben werden, dass sie die allgemeine Form hat:

Boge - a ·y = Boge - A · O

Vergleich mit der allgemeinen Form der Linie bleibt: 

A = b, b = -a und c = Bëxo - a · o 

Beispiel 3

Finden Sie die allgemeine Form der Linie, deren Direktor u = (2, -1) ist

 Und was durch Punkt P = (1, 5) geht.

Um das allgemeine Formular zu finden, können wir die angegebenen Formeln verwenden. Ein alternativer Weg wird jedoch gewählt.

Wir beginnen mit dem doppelten W -Vektor des U -Vektors, definiert als den Vektor, der durch den Austausch der Komponenten von u erhalten wird und sich mit -1 multipliziert. Die zweite:

W= (-1, -2)

Der duale Vektor W Entspricht einer Rotation in 90 ° im Zeitplan des Direktors Direktor v.

Wir multiplizieren das Klettern W mit (X, y) und mit (Xo, ich) Und wir stimmen überein:

(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X -2y = -1 -2 Planung = -11

Endlich verbleiben:

X + 2y = 11

Standardform der Liniengleichung

Es ist als Standardform der Linie in der XY -Ebene bekannt, die die folgende Struktur hat:

Y = m�x + d

wobei m die Steigung und das D -Abfangen mit der Achse darstellt und.

Angesichts des Direktors u = (a, b) Vektor ist die Steigung M b/a.

Und D wird erhalten, indem X und Y durch den bekannten Punkt XO, ME ersetzt werden:

I = (b/a) xo + d.

Kurz gesagt, m = b/a y d = me -(b/a) xo

Beachten Sie, dass die Steigung M der Quotient zwischen der Komponente ist Und des Direktors und der Komponente X vom selben.

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Beispiel 4

Finden Sie die Standardform der Linie, deren Regisseur u = (2, -1) ist 

Und was durch Punkt P = (1, 5) geht.

M = -½ und d = 5 -( -½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) x + 11/2

Gelöste Übungen

-Übung 1

Finden Sie einen Vektordirektor der Linie (L), der die Schnittstelle der Ebene (π) ist: x - y + z = 3 und der Ebene (ω): 2x + y = 1.

Schreiben Sie dann die kontinuierliche Form der Linie der Linie (l).

Lösung

Aus der Ebenengleichung (ω) Clearance y: y = 1 -2x

Dann ersetzen wir in der Ebenengleichung (π):

X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x

Dann haben wir x parametrisieren, wir wählen die Parametrisierung x = λ aus

Dies bedeutet, dass die Linie eine Vektorgleichung hat, die durch:

(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

Das kann umgeschrieben werden wie:

(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

Mit dem klar, dass der Vektor oder = (1, -2, -3) ist ein gerader verwalteter Vektor (l).

Die kontinuierliche Form der Linie (l) lautet:

(X - 0)/1 = (y - 1)/( - 2) = (z - 4)/( - 3)

-Übung 2

Angesichts der 5x -Ebene + Zu Y + 4z = 5 

und die Linie, deren Gleichung x/1 = (y-2)/3 = (z -2)/(-2) ist

Den Wert von bestimmen Zu so dass das Flugzeug und die Linie parallel sind.

Lösung 2

Der Vektor N = (5, a, 4) ist ein normaler Vektor der Ebene.

Der Vektor oder = (1, 3, -2) ist ein direkter Manager.

Wenn die Linie parallel zum Flugzeug ist, dann n • v = 0.

(5, Zu, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3Zu -8 = 0 ⇒ Zu= 1.

Verweise

  1. Fleming, w., & Varberg, D. UND. (1989). Prealculus Mathematik. Prentice Hall PTR.
  2. Kolman, geb. (2006). Lineare Algebra. Pearson Ausbildung.
  3. Loyal, j. M., & Viloria, n. G. (2005). Flache analytische Geometrie. Mérida - Venezuela: Venezolanisches Editorial C. ZU.
  4. Navarro, Rocio. Die Vektoren. Erholt aus: Bücher.Google.CO.gehen.
  5. Pérez, c. D. (2006). Prequalkulus. Pearson Ausbildung.
  6. Prenowitz, w. 2012. Grundkonzepte der Geometrie. Rowman & Littlefield.
  7. Sullivan, m. (1997). Prequalkulus. Pearson Ausbildung.